(Trả lời ngắn) 17 bài tập Phương trình mặt cầu (có lời giải)

Đáp án: $\left( {1\,;\, - 2\,;\,3} \right)$

Mặt cầu $\left( S \right):\,{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$ có tâm là $I\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)$.

Suy ra, mặt cầu $\left( S \right):\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 16$ có tâm là $I\left( {1\,;\, - 2\,;\,3} \right)$.

Đáp án: $m < 1$ hoặc $m > 2$.

Điều kiện để phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + 4my + 19m - 6 = 0$ là phương trình mặt cầu là: ${\left( {m + 2} \right)^2} + 4{m^2} - 19m + 6 > 0 \Leftrightarrow 5{m^2} - 15m + 10 > 0$$\Leftrightarrow m < 1$ hoặc $m > 2$.

Đáp án: $\frac{{\sqrt {14} }}{2}$

Gọi $\left( S \right)$ là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$.

Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có dạng: ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$.

Vì $O$, $A$, $B$, $C$ thuộc $\left( S \right)$ nên ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}d = 0\\1 + 2a + d = 0\\4 - 4c + d = 0\\9 + 6b + d = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{2}\\b = - \frac{3}{2}\\c = 1\\d = 0\end{array} \right.$.

Vậy bán kính mặt cầu $\left( S \right)$ là: $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}$$= \sqrt {\frac{1}{4} + \frac{9}{4} + 1}$$= \frac{{\sqrt {14} }}{2}$.

Đáp án: $P = 9$

Vì mặt cầu tâm $I$ tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ nên $d\left( {I,\,\left( {Oyz} \right)} \right) = d\left( {I,\,\left( {Ozx} \right)} \right) = d\left( {I,\,\left( {Oxy} \right)} \right)$ $\Leftrightarrow \left| a \right| = \left| b \right| = \left| c \right|$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b = c\\a = b = - c\\a = - b = c\\a = - b = - c\end{array} \right.$

Nhận thấy chỉ có trường hợp $a = - b = c$ thì phương trình $AI = d\left( {I,\,\left( {Oxy} \right)} \right)$ có nghiệm, các trường hợp còn lại vô nghiệm.

Thật vậy:

Với $a = - b = c$ thì $I\left( {a;\, - a;\,a} \right)$

$AI = d\left( {I,\,\left( {Oyx} \right)} \right)$$\Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {a - 4} \right)^2} = {a^2}$ $\Leftrightarrow {a^2} - 6a + 9 = 0$ $\Leftrightarrow a = 3$

Khi đó $P = a - b + c = 9$.

Đáp án: $m = \sqrt 3$

Mặt cầu $\left( S \right)$: ${\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = {m^2} + 1$ có tâm $I\left( {3\,;\,0\,;\,2} \right)$, bán kính $R = \sqrt {{m^2} + 1}$.

$\left( S \right)$ tiếp xúc với $\left( {Oxy} \right)$$\Leftrightarrow d\left( {I,\left( {Oxy} \right)} \right) = R$

$\Leftrightarrow 2 = \sqrt {{m^2} + 1}$$\Leftrightarrow {m^2} = 3$$\Leftrightarrow m = \sqrt 3$ (do $m$ dương).

Đáp án: $2\sqrt {26}$

Gọi tâm mặt cầu là: $I\left( {x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}0} \right)$.

$$\left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\IA = IC\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2} + {4^2}} = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 3} \right)}^2} + {1^2}} \\\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2} + {4^2}} = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2} + {3^2}} \end{array} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {y - 2} \right)^2} + {4^2} = {\left( {y + 3} \right)^2} + {1^2}\\{x^2} - 2x + 1 + 16 = {x^2} - 4x + 4 + 9\end{array} \right.$$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}10y = 10\\2x = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 1\end{array} \right.$$\Rightarrow l = 2R = 2\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {4^2}} = 2\sqrt {26}$.

Đáp án: $5\sqrt 2$

Gọi $I$ là tâm của mặt cầu $\left( S \right)$. Vì $\left( S \right)$ tiếp xúc với các trục $Ox$, $Oy$, $Oz$ tại các điểm $A\left( {a\,;\,0\,;\,0} \right)$, $B\left( {0\,;\,b\,;\,0} \right)$, $C\left( {0\,;\,0\,;\,c} \right)$ nên ta có $IA \bot Ox$, $IB \bot Oy$, $IC \bot Oz$ hay $A$, $B$, $C$ tương ứng là hình chiếu của $I$ trên $Ox$, $Oy$, $Oz$$\Rightarrow I\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)$.

$\Rightarrow$ Mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình: ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ với ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0$.

Vì $\left( S \right)$ đi qua $A$, $B$, $C$, $D$ nên ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = {b^2} = {c^2} = d{\rm{ }}\left( 1 \right)\\5 - 2b - 4c + d = 0{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array} \right.$.

Vì $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {0\,;\,1} \right\}$ nên $0 < d \ne 1$. Mặt khác, từ $\left( 1 \right) \Rightarrow R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \sqrt {2d}$.

· TH1: Từ $\left( 1 \right) \Rightarrow b = c = \sqrt d$. Thay vào $\left( * \right)$: $5 - 6\sqrt d + d = 0 \Leftrightarrow d = 25$ (nhận).

$\Rightarrow R = \sqrt {2.25} = 5\sqrt 2$.

· TH2: Từ $\left( 1 \right) \Rightarrow b = c = - \sqrt d$. Thay vào $\left( * \right)$: $5 + 6\sqrt d + d = 0$ (vô nghiệm).

· TH3: Từ $\left( 1 \right) \Rightarrow b = \sqrt d$, $c = - \sqrt d$. Thay vào $\left( * \right)$: $5 + 2\sqrt d + d = 0$ (vô nghiệm).

· TH4: Từ $\left( 1 \right) \Rightarrow b = - \sqrt d$, $c = \sqrt d$. Thay vào $\left( * \right)$: $5 - 2\sqrt d + d = 0$ (vô nghiệm).

Vậy mặt cầu $\left( S \right)$ có bán kính $R = 5\sqrt 2$.

Đáp án: $R = \sqrt 2$

Giả sử $M\left( {x;y;z} \right)$.

Ta có: $M{A^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2}$; $M{B^2} = {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2}$; $M{C^2} = {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2}$. $M{A^2} = M{B^2} + M{C^2}$$\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} + {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2}$$\Leftrightarrow - 2x + 1 = {\left( {y - 2} \right)^2} + {x^2} + {\left( {z - 3} \right)^2}$$\Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 2$.

Vậy tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $M{A^2} = M{B^2} + M{C^2}$ là mặt cầu có bán kính là $R = \sqrt 2$.

Đáp án: $a = \left\{ { - 1;11} \right\}$

Đường tròn lớn có chu vi bằng $8\pi$ nên bán kính của $\left( S \right)$ là $\frac{{8\pi }}{{2\pi }} = 4$.

Từ phương trình của $\left( S \right)$ suy ra bán kính của $\left( S \right)$ là $\sqrt {2{}^2 + {1^2} + {a^2} - 10a}$.

Do đó: $\sqrt {2{}^2 + {1^2} + {a^2} - 10a} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 1\\a = 11\end{array} \right.$.

Đáp án: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \frac{{71}}{3}$

Gọi hình chiếu vuông góc của $I$ trên $MN$ là $K$.

Dễ thấy $AN = NK = \frac{1}{3}AM$, mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1;2;3} \right)$ và bán kính $R = 5$

Có $AM.AN = A{I^2} - {R^2} = 4 \Rightarrow A{N^2} = \frac{4}{3} \Rightarrow KN = AN = \frac{{2\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow IK = \sqrt {I{N^2} - K{N^2}} = \frac{{\sqrt {213} }}{3}$.

Nhận thấy mặt cầu đồng tâm với mặt cầu $\left( S \right)$ và tiếp xúc với các đường sinh của hình nón $\left( H \right)$ chính là mặt cầu tâm $I\left( {1;2;3} \right)$ có bán kính $IK = \frac{{\sqrt {213} }}{3}$.

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \frac{{71}}{3}$.

Đáp án: $r = \frac{{\sqrt {11} }}{2}$

Gọi $M\left( {x;y;z} \right)$ là tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ta có

$\overrightarrow {AM} = \left( {x;y + 1;z - 2} \right)$, $\overrightarrow {BM} = \left( {x - 2;y + 3;z} \right)$, $\overrightarrow {CM} = \left( {x + 2;y - 1;z - 1} \right)$, $\overrightarrow {DM} = \left( {x;y + 1;z - 3} \right)$.

Từ giả thiết: $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = 1\\\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} = 1\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\left( {x - 2} \right) + \left( {y + 1} \right)\left( {y + 3} \right) + z\left( {z - 2} \right) = 1\\x\left( {x + 2} \right) + \left( {y + 1} \right)\left( {y - 1} \right) + \left( {z - 1} \right)\left( {z - 3} \right) = 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z + 2 = 0\\{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4z + 1 = 0\end{array} \right.$

Suy ra quỹ tích điểm $M$ là đường tròn giao tuyến của mặt cầu tâm ${I_1}\left( {1; - 2;1} \right)$, ${R_1} = 2$ và mặt cầu tâm ${I_2}\left( { - 1;0;2} \right)$, ${R_2} = 2$.

Ta có: ${I_1}{I_2} = \sqrt 5$. Dễ thấy: $r = \sqrt {R_1^2 - {{\left( {\frac{{{I_1}{I_2}}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {4 - \frac{5}{4}} = \frac{{\sqrt {11} }}{2}$.

Gọi 3 điểm ở trên mặt nước lần lượt là ${\rm{A}},{\rm{B}},{\rm{C}}$ và ba điểm tương ứng ở đáy bể là ${A^\prime },{B^\prime },{C^\prime }$ sao cho $A{A^\prime } = 4\;{\rm{m}},{B^\prime } = 4{,}4\;{\rm{m}},{C^\prime } = 4{,}8\;{\rm{m}}$.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, O là trung điểm của AC .

Ta có A(0; $1;0),B(\sqrt 3 ;0;0),{\rm{C}}(0; - 1;0),{{\rm{A}}^\prime }(0;1;4),{B^\prime }(\sqrt 3 ;0;4{,}4),{{\rm{C}}^\prime }(0; - 1$; 4,8 .

Ta có $\overrightarrow {{A^\prime }{B^\prime }} = (\sqrt 3 ; - 1;0{,}4),\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} = (0; - 2;0{,}8)$

Có $\left[ {\overrightarrow {{A^\prime }{B^\prime }} ,\overrightarrow {{A^\prime }{C^\prime }} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 1}&{0{,}4}\\{ - 2}&{0{,}8}\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{0{,}4}&{\sqrt 3 }\\{0{,}8}&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\sqrt 3 }&{ - 1}\\0&{ - 2}\end{array}} \right|} \right)$$= (0; - 0{,}8\sqrt 3 ; - 2\sqrt 3 )$

Mặt phẳng đáy bể là mặt phẳng ( $\left. {{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }} \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec n = (0; - 0{,}8\sqrt 3 ; - 2\sqrt 3 )$

Mặt phẳng nằm ngang (mặt nước) chính là mặt phẳng ${\rm{Oxy}}:{\rm{z}} = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec k = (0;0;1)$

Do đó $\cos \left( {\left( {{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }} \right),(Oxy)} \right) = \frac{{|0.0 - 0{,}8\sqrt 3 .0 - 2\sqrt 3 .1|}}{{\sqrt {{0^2} + {{( - 0{,}8\sqrt 3 )}^2} + {{( - 2\sqrt 3 )}^2}} \cdot \sqrt 1 }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{{\frac{{2\sqrt {87} }}{5}}} = \frac{{5\sqrt {29} }}{{29}}$

Suy ra $(({A}^{'}{B}^{'}{C}^{'}),(Oxy))\approx {21{,}8}^{^{\circ}}$

Mặt cầu $(S)$ có tâm $O(0;0;0)$ và ${\rm{R}} = 1$.

Ta có $A \in (S)$ nên $OA = 1$.

${\rm{ Có }}OB = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 1)}^2}} = \sqrt 3$

Xét tam giác BOA vuông tại $O$ có: $AB = \sqrt {O{B^2} - O{A^2}} = \sqrt {3 - 1} = \sqrt 2$

Vậy khoảng cách AB là $\sqrt 2$.

a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phủ sóng trong không gian là:

${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 25$

b)

· Ta có: $IM = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 + 2} \right)}^2} + {{\left( {0 + 3} \right)}^2}} = 5$

Vì $IM = R = 5$ nên điểm $M\left( {1;2;0} \right)$ nằm trên mặt cầu . Vậy bạn Minh Hiền có thể sử dụng dịch vụ của trạm này.

· Ta có: $IN = \sqrt {{{\left( { - 3 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 + 2} \right)}^2} + {{\left( {0 - 3} \right)}^2}} = \sqrt {34} > 5$

Vì $IN > R$ nên điểm $N\left( { - 3;1;0} \right)$ nằm ngoài mặt cầu . Vậy bạn Trúc Linh không thể sử dụng dịch vụ của trạm này.

a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phát sóng của rađa trong không gian là:

${\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 250000$

b)

· Ta có: $IM = \sqrt {{{\left( { - 200 + 2} \right)}^2} + {{\left( {100 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 250 + 1} \right)}^2}} \approx 335{,}6 < 500$

Vì $IM < R$ nên điểm $M$ nằm trong mặt cầu . Vậy chiếc máy bay do thám của Mỹ có thể bị phát hiện bởi trạm rađa này.

· Ta có: $IN = \sqrt {{{\left( {350 + 2} \right)}^2} + {{\left( { - 100 - 1} \right)}^2} + {{\left( {300 + 1} \right)}^2}} \approx 474 < 500$

Vì $IN < R$ nên điểm $N$ nằm trong mặt cầu . Vậy chiếc máy bay do thám của Anh có thể bị phát hiện bởi trạm rađa này.