Giải SGK Toán 12 CTST Bài 3. Phương trình mặt cầu có đáp án

Ta đã biết trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình đường tròn tâm I(a; b), bán kính R có dạng: (x – a)$^{2}$ + (y – b)$^{2}$ = R$^{2}$.

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu có dạng như thế nào?

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S(I; R) có tâm I(a; b; c) và bán kính R.

Xét một điểm M(x; y; z) thay đổi.

a) Tính khoảng cách IM theo x, y, z và a, b, c.

b) Nêu điều kiện cần và đủ của x, y, z để điểm M(x; y; z) nằm trên mặt cầu S(I; R).

Viết phương trình mặt cầu (S):

a) Có tâm I(3; −2; −4), bán kính R = 10;

b) Có đường kính EF với E(3; −1; 8) và F(7; −3; 0);

c) Có tâm M(−2; 1; 3) và đi qua điểm N(2; −3; −4).

Trong không gian Oxyz (đơn vị của các trục tọa độ là mét), các nhà nghiên cứu khí tượng dùng một phần mềm mô phỏng bề mặt của một quả bóng thám không có dạng hình cầu bằng phương trình (x – 300)$^{2}$ + (y – 400)$^{2}$ + (z – 2000)$^{2}$ = 1. Tìm tọa độ tâm, bán kính của quả bóng và tính khoảng cách từ tâm của quả bóng đến mặt đất có phương trình z = 0.

a) Trong không gian Oxyz, cho điểm M(x; y; z) thay đổi có tọa độ luôn thỏa mãn phương trình x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 2x – 4y – 6z – 11 = 0. (*)

i) Biến đổi (*) về dạng: (x – 1)$^{2}$ + (y – 2)$^{2}$ + (z – 3)$^{2}$ = 25.

ii) Chứng tỏ M(x; y; z) luôn thuộc mặt cầu (S). Tìm tâm và bán kính của (S).

b) Bằng cách biến đổi phương trình x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 2x – 4y – 6z + 15 = 0 (**) về dạng (x – 1)$^{2}$ + (y – 2)$^{2}$ + (z – 3)$^{2}$ = −1, hãy cho biết phương trình (**) có thể là phương trình mặt cầu hay không?

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

a) x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ + 4z – 32 = 0;

b) x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ + 2x + 2y – 2z + 4 = 0.

Bề mặt của một bóng thám không dạng hình cầu có phương trình x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 200x – 600y – 4000z + 4099900 = 0. Tìm tọa độ tâm và bán kính mặt cầu.

Đầu in phun của một máy in 3D đang in bề mặt của một mặt cầu có phương trình ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}+\frac{1}{8}x-\frac{1}{8}y-z+\frac{1}{16}=0$. Tính khoảng cách từ đầu in phun đến tâm mặt cầu.

Viết phương trình mặt cầu (S):

a) Có tâm I(7; −3; 0), bán kính R = 8;

b) Có tâm M(3; 1; −4) và đi qua điểm N(1; 0; 1);

c) Có đường kính AB với A(4; 6; 8) và B(2; 4; 4).

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

a) x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ + 5x – 7y + z – 1 = 0;

b) x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ + 4x + 6y – 2z + 100 = 0;

c) x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – x – y – z + $\frac{1}{2}$ = 0.

Phần mềm mô phỏng thiết bị thám hiểm đại dương có dạng hình cầu trong không gian Oxyz. Cho biết tọa độ tâm mặt cầu là I(360; 200; 400) và bán kính r = 2 m. Viết phương trình mặt cầu.

Người ta muốn thiết kế một bồn chứa khí hóa lỏng hình cầu bằng phần mềm 3D. Cho biết phương trình bề mặt của bồn chứa là (S): (x – 6)$^{2}$ + (y – 6)$^{2}$ + (z – 6)$^{2}$ = 25. Phương trình mặt phẳng chứa nắp là (P): z = 10.

a) Tìm tâm và bán kính của bồn chứa.

b) Tính khoảng cách từ tâm bồn chứa đến mặt phẳng chứa nắp.