Giải SGK Toán 12 CTST Bài 3. Phương trình mặt cầu có đáp án

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R có phương trình là:

(x – a)$^{2}$ + (y – b)$^{2}$ + (z – c)$^{2}$ = R$^{2}$.

a) Ta có $IM = \sqrt {{{\left( {x - a} \right)}^2} + {{\left( {y - b} \right)}^2} + {{\left( {z - c} \right)}^2}}$.

b) Để điểm M(x; y; z) nằm trên mặt cầu S(I; R) Û IM = R

$\sqrt {{{\left( {x - a} \right)}^2} + {{\left( {y - b} \right)}^2} + {{\left( {z - c} \right)}^2}} = R$ hay (x – a)$^{2}$ + (y – b)$^{2}$ + (z – c)$^{2}$ = R$^{2}$.

a) Mặt cầu (S) có tâm I(3; −2; −4), bán kính R = 10 có phương trình là:

(x – 3)$^{2}$ + (y + 2)$^{2}$ + (z + 4)$^{2}$ = 100.

b) Mặt cầu (S) có đường kính EF nên có tâm I(5; −2; 4) là trung điểm của EF và bán kính $IE = \sqrt {{{\left( {5 - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 1 + 2} \right)}^2} + {{\left( {8 - 4} \right)}^2}} = \sqrt {21}$ có phương trình là:

(x – 5)$^{2}$ + (y + 2)$^{2}$ + (z – 4)$^{2}$ = 21.

c) Bán kính của mặt cầu là $MN = \sqrt {{{\left( {2 + 2} \right)}^2} + {{\left( { - 3 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 4 - 3} \right)}^2}} = \sqrt {81} = 9$.

Mặt cầu (S) có M(−2; 1; 3) và bán kính R = 9 có phương trình là:

(x + 2)$^{2}$ + (y – 1)$^{2}$ + (z – 3)$^{2}$ = 81.

Tọa độ tâm I(300; 400; 2000), R = 1.

Khoảng cách từ tâm của quả bóng đến mặt đất có phương trình z = 0 là

$d=\frac{|2000|}{\sqrt{{1}^{2}}}=2000$ (mét).

ai) x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 2x – 4y – 6z – 11 = 0

Û x$^{2}$ – 2x + 1 + y$^{2}$ – 4y + 4 + z$^{2}$ – 6z + 9 – 25 = 0

Û (x – 1)$^{2}$ + (y – 2)$^{2}$ + (z – 3)$^{2}$ = 25.

aii) Ta thấy (x – 1)$^{2}$ + (y – 2)$^{2}$ + (z – 3)$^{2}$ = 25 là phương trình mặt cầu với tâm I(1; 2; 3) và bán kính R = 5.

b) Ta có x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 2x – 4y – 6z + 15 = 0

Û x$^{2}$ – 2x + 1 + y$^{2}$ – 4y + 4 + z$^{2}$ – 6z + 9 – 14 + 15 = 0

Û (x – 1)$^{2}$ + (y – 2)$^{2}$ + (z – 3)$^{2}$ = −1.

Vì −1 < 0 nên đây không phải là phương trình mặt cầu.

a) Phương trình x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ + 4z – 32 = 0 có dạng x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với a = 0; b = 0; c = −2; d = −32.

Ta có a$^{2}$ + b$^{2}$ + c$^{2}$ – d = (−2)$^{2}$ + 32 = 34 > 0.

Do đó đây là phương trình mặt cầu với I(0; 0; −2) và $R=\sqrt{34}$.

b) Phương trình x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ + 2x + 2y – 2z + 4 = 0 có dạng x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với a = −1; b = −1; c = 1; d = 4.

Có a$^{2}$ + b$^{2}$ + c$^{2}$ – d = (−1)$^{2}$ + (−1)$^{2}$ + 1$^{2}$ – 4 = −1 < 0.

Do đó đây không phải là phương trình mặt cầu.

Phương trình mặt cầu ${x^2} + {y^2} + {z^2} + \frac{1}{8}x - \frac{1}{8}y - z + \frac{1}{{16}} = 0$ có dạng x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với $a = - \frac{1}{{16}};b = \frac{1}{{16}};c = \frac{1}{2};d = \frac{1}{{16}}$.

Có $R = \sqrt {{{\left( { - \frac{1}{{16}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{{16}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} - \frac{1}{{16}}} = \frac{{5\sqrt 2 }}{{16}}$.

Khoảng cách từ đầu in phun đến tâm mặt cầu bằng bán kính của mặt cầu và bằng $\frac{{5\sqrt 2 }}{{16}}$.

a) Mặt cầu (S) có tâm I(7; −3; 0), bán kính R = 8 có phương trình là

(x – 7)$^{2}$ + (y + 3)$^{2}$ + z$^{2}$ = 64.

b) Bán kính của mặt cầu là $MN = \sqrt {{{\left( {1 - 3} \right)}^2} + {{\left( {0 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 + 4} \right)}^2}} = \sqrt {30}$

Mặt cầu (S) có tâm M(3; 1; −4) , bán kính $R = \sqrt {30}$ có phương trình là:

(x – 3)$^{2}$ + (y – 1)$^{2}$ + (z + 4)$^{2}$ = 30.

c) Có I(3; 5; 6) là trung điểm của AB, bán kính của mặt cầu là $IA = \sqrt {{{\left( {4 - 3} \right)}^2} + {{\left( {6 - 5} \right)}^2} + {{\left( {8 - 6} \right)}^2}} = \sqrt 6$.

Mặt cầu (S) có tâm I(3; 5; 6) và bán kính $R = \sqrt 6$ có phương trình là:

(x – 3)$^{2}$ + (y – 5)$^{2}$ + (z – 6)$^{2}$ = 6.

a) Phương trình x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ + 5x – 7y + z – 1 = 0 có dạng x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với $a = - \frac{5}{2};b = \frac{7}{2};c = - \frac{1}{2};d = - 1$.

Có ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {\left( { - \frac{5}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{7}{2}} \right)^2} + {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^2} + 1 = \frac{{79}}{4} > 0$.

Do đó đây là phương trình mặt cầu với tâm $I\left( { - \frac{5}{2};\frac{7}{2}; - \frac{1}{2}} \right),R = \frac{{\sqrt {79} }}{2}$.

b) Phương trình x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ + 4x + 6y – 2z + 100 = 0 có dạng x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với a = −2; b = −3; c = 1 và d = 100.

Có a$^{2}$ + b$^{2}$ + c$^{2}$– d = 4 + 9 + 1 – 100 = −86 < 0.

Do đó đây không phải là phương trình mặt cầu.

c) Phương trình x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – x – y – z + $\frac{1}{2}$ = 0 có dạng x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với $a = \frac{1}{2};b = \frac{1}{2};c = \frac{1}{2};d = \frac{1}{2}$.

Có ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} > 0$.

Do đó đây là phương trình mặt cầu với tâm $I\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)$ và $R = \frac{1}{2}$.

Ta có $\overrightarrow {MA} = \left( {x - 1;y;z} \right),\overrightarrow {MB} = \left( {x - 5;y;z} \right)$.

Có $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = 0$ Û (x – 1)(x – 5) + y$^{2}$ + z$^{2}$ = 0

Û x$^{2}$ – 6x + 9 + y$^{2}$ + z$^{2}$– 4 = 0

Û (x – 3)$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ = 4.

Do đó M luôn thuộc mặt cầu tâm I(3; 0; 0) và R = 2.

Mặt cầu có tâm I(360; 200; 400) và bán kính r = 2 có phương trình là:

(x – 360)$^{2}$ + (y – 200)$^{2}$ + (z – 400)$^{2}$ = 4.

a) Tâm của bồn chứa I(6; 6; 6) và bán kính R = 5.

b) Ta có $d\left( {I,(P)} \right) = \frac{{\left| {6 - 10} \right|}}{{\sqrt {{1^2}} }} = 4$.