Giải SGK Toán 12 CTST Bài 1. Nguyên hàm có đáp án

Cho hàm số f(x) = 3x$^{2}$ xác định trên ℝ.

a) Chứng minh rằng F(x) = x$^{3}$ là một nguyên hàm của f(x) trên ℝ.

b) Với C là hằng số tùy ý, hàm số H(x) = F(x) + C có là nguyên hàm của f(x) trên ℝ không?

c) Giả sử G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên ℝ. Tìm đạo hàm của hàm số G(x) – F(x). Từ đó, có nhận xét gì về hàm số G(x) – F(x)?

Tìm:

a) $\int {x}^{4}dx$; b) $\int \frac{1}{{x}^{3}}dx$; c) $\int \sqrt{x}dx\ (x>0)$

Cho hàm số F(x) = ln|x| với x ≠ 0.

a) Tìm đạo hàm của F(x).

b) Từ đó, tìm $\int {\frac{1}{x}} dx$.

a) Tìm đạo hàm của các hàm số y = sinx, y = −cosx, y = tanx, y = −cotx.

b) Từ đó, tìm $\int {\cos xdx,\int {\sin xdx,\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} } }$ và $\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx}$.

a) Tìm đạo hàm của các hàm số y = e$^{x}$, $y=\frac{{a}^{x}}{\ln a}$ với a > 0, a ≠ 1.

b) Từ đó, tìm $\int {{e^x}dx}$ và $\int {{a^x}} dx$ (a > 0, a ≠ 1).

Tìm:

a) $\int {3}^{x}dx$; b) $\int {e}^{2x}dx$.

Ta có ${(\frac{{x}^{3}}{3})}^{'}={x}^{2}$ và (x$^{3}$)' = 3x$^{2}$.

a) Tìm $\int {{x^2}dx}$ và $3\int {{x^2}dx}$.

b) Tìm $\int {3{x^2}dx}$.

c) Từ các kết quả trên, giải thích tại sao $\int {3{x^2}dx} = 3\int {{x^2}dx}$.

Tìm:

a) $\int (-\frac{\cos x}{4})dx$; b) $\int {2}^{2x+1}dx$.

Ta có ${(\frac{{x}^{3}}{3})}^{'}={x}^{2}$, (x$^{2}$)' = 2x và ${(\frac{{x}^{3}}{3}+{x}^{2})}^{'}={x}^{2}+2x$.

a) Tìm $\int {{x^2}dx} ,\int {2xdx}$ và $\int {{x^2}dx} + \int {2xdx}$.

b) Tìm $\int {\left( {{x^2} + 2x} \right)dx}$.

c) Từ các kết quả trên, giải thích tại sao $\int {\left( {{x^2} + 2x} \right)dx} = \int {{x^2}dx} + \int {2xdx}$.

Tìm:

a) $\int (3{x}^{3}+\frac{2}{\sqrt[5]{{x}^{3}}})dx\ (x>0)$; b) $\int (\frac{3}{{\cos }^{2}x}-\frac{1}{{\sin }^{2}x})dx$.

Tìm:

a) $\int {x}^{5}dx$; b) $\int \frac{1}{\sqrt[3]{{x}^{2}}}dx(x>0)$; c) $\int {7}^{x}dx$; d) $\int \frac{{3}^{x}}{{5}^{x}}dx$.

Tìm:

a) $\int (2{x}^{5}+3)dx$; b) $\int (5\cos x-3\sin x)dx$;

c) $\int (\frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{2}{x})dx$; d) $\int ({e}^{x-2}-\frac{2}{{\sin }^{2}x})dx$.

Tìm:

a) $\int x{(2x-3)}^{2}dx$; b) $\int {\sin }^{2}\frac{x}{2}dx$;

c) $\int {\tan }^{2}xdx$; d) $\int {2}^{3x}{.3}^{x}dx$.

Kí hiệu h(x) là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng x năm. Biết rằng sau năm đầu tiên cây cao 2 m. Trong 10 năm tiếp theo, cây phát triển với tốc độ ${h}^{'}(x)=\frac{1}{x}$ (m/năm).

a) Xác định chiều cao của cây sau x năm (1 ≤ x ≤ 11).

b) Sau bao nhiêu năm cây cao 3 m?