Giải SGK Toán 12 CTST Bài 1. Nguyên hàm có đáp án

Sau khi học xong bài này, ta sẽ giải quyết bài toán này như sau:

Kí hiệu v(t) là tốc độ của vật, s(t) là quãng đường vật đi được cho đến thời điểm t giây kể từ khi vật bắt đầu rơi.

Vì a(t) = v'(t) với mọi t ≥ 0 nên $v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt = \int {10dt = 10t + C} }$.

Vì v(0) = 0 nên C = 0. Vậy v(t) = 10t (m/s).

Vì v(t) = s'(t) với mọi t ≥ 0 nên $s\left( t \right) = \int {v\left( t \right)} dt = \int {10tdt} = 5{t^2} + C$.

Ta có s(0) = 0 nên C = 0. Vậy s(t) = 5t$^{2}$ (m).

Vật rơi từ độ cao 20 m nên s(t) ≤ 20, suy ra 0 ≤ t ≤ 2.

Vậy sau khi vật rơi được t giây (0 ≤ t ≤ 2) thì vật có tốc độ v(t) = 10t m/s và đi được quãng đường s(t) = 5t$^{2}$ mét.

a) Ta có F'(x) = (x$^{3}$)' = 3x$^{2}$ = f(x).

Do đó F(x) = x$^{3}$ là một nguyên hàm của f(x) trên ℝ.

b) Có H(x) = F(x) + C = x$^{3}$ + C.

Có H'(x) = (x$^{3}$ + C)' = 3x$^{2}$ = f(x).

Do đó hàm số H(x) = F(x) + C cũng là nguyên hàm của f(x) trên ℝ.

c) Có (G(x) – F(x))' = G'(x) – F'(x) = f(x) – f(x) = 0.

Vì (G(x) – F(x))' = 0 nên G(x) – F(x) là một hằng số.

Hay G(x) = F(x) + C, C là hằng số bất kì.

Có F'(x) = (e$^{2x + 1}$)' = e$^{2x + 1}$.(2x + 1)' = 2e$^{2x + 1}$ = f(x).

Vậy F(x) = e$^{2x + 1}$ là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 2e$^{2x + 1}$ trên ℝ.

a) Vì (C)' = 0 nên $\int {0dx = C}$.

Vì (x + C)' = 1 nên $\int {1dx = x + C}$.

b) Có $F'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}} \right)^\prime }$$= \frac{{\left( {\alpha + 1} \right){x^\alpha }}}{{\alpha + 1}} = {x^\alpha }$.

Do đó $\int {{x^\alpha }} dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C,\left( {\alpha \ne - 1} \right)$.

a) $\int {{x^4}dx} = \frac{{{x^5}}}{5} + C$.

b) $\int {\frac{1}{{{x^3}}}dx}$$= \int {{x^{ - 3}}dx = - \frac{1}{2}} {x^{ - 2}} + C = \frac{{ - 1}}{{2{x^2}}} + C$.

c) $\int {\sqrt x dx}$$= \int {{x^{\frac{1}{2}}}dx}$$= \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + C = \frac{2}{3}x\sqrt x + C$.

a) Với x > 0 thì F(x) = lnx Þ F'(x) = $\frac{1}{x}$.

Với x < 0 thì F(x) = ln(−x) $\Rightarrow F'\left( x \right) = \frac{{{{\left( { - x} \right)}^\prime }}}{{ - x}} = \frac{1}{x}$.

Vậy $F'\left( x \right) = \frac{1}{x},x \ne 0$.

b) Có $\int {\frac{1}{x}} dx = \ln \left| x \right| + C$.

a) Ta có (sinx)' = cosx, (−cosx)' = sinx, ${\left( {\tan x} \right)^\prime } = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$, ${\left( { - \cot x} \right)^\prime } = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$.

b) $\int {\cos xdx = \sin x + C,\int {\sin xdx = - \cos x + C,} }$

$\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = \tan x + C}$, $\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} = - \cot x + C$.

Có $F\left( x \right) = \int {\cos xdx = \sin x + C}$.

Vì $F\left( 0 \right) + F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0$ nên $\sin 0 + C + \sin \frac{\pi }{4} + C = 0 \Leftrightarrow 2C = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow C = - \frac{{\sqrt 2 }}{4}$.

Vậy $F\left( x \right) = \sin x - \frac{{\sqrt 2 }}{4}$.

a) Có (e$^{x}$)' = e$^{x}$, ${\left( {\frac{{{a^x}}}{{\ln a}}} \right)^\prime } = \frac{{{a^x}.\ln a}}{{\ln a}} = {a^x}$, a > 0, a ≠ 1.

b) $\int {{e^x}dx} = {e^x} + C$.

$\int {{a^x}} dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C$, (a > 0, a ≠ 1).

a) Ta có $\int {{3^x}dx} = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C$.

b) Ta có $\int {{e^{2x}}dx} = \frac{1}{2}{e^{2x}} + C$.

a) $\int {{x^2}dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + C'$; $3\int {{x^2}dx} = 3\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + C'} \right) = {x^3} + 3C' = {x^3} + C$.

b) $\int {3{x^2}dx} = {x^3} + C$.

c) $\int {3{x^2}dx} = 3\int {{x^2}dx} = {x^3} + C$.

a) $\int {\left( { - \frac{{\cos x}}{4}} \right)dx}$$= - \frac{1}{4}\int {\cos xdx}$$= - \frac{1}{4}\sin x + C$.

b) $\int {{2^{2x + 1}}dx}$$= \int {{4^x}.2dx}$$= 2\int {{4^x}dx}$$= 2.\frac{{{4^x}}}{{\ln 4}} + C$.

a) $\int {{x^2}dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + {C_1},\int {2xdx} = {x^2} + {C_2}$.

$\int {{x^2}dx} + \int {2xdx} = \frac{{{x^3}}}{3} + {C_1} + {x^2} + {C_2} = \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} + C$.

b) $\int {\left( {{x^2} + 2x} \right)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} + C$.

c) $\int {\left( {{x^2} + 2x} \right)dx} = \int {{x^2}dx} + \int {2xdx} = \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} + C$.

a) $\int {\left( {3{x^3} + \frac{2}{{\sqrt[5]{{{x^3}}}}}} \right)dx} = \int {3{x^3}dx} + \int {\frac{2}{{\sqrt[5]{{{x^3}}}}}dx}$$= 3\int {{x^3}dx} + 2\int {{x^{\frac{{ - 3}}{5}}}dx}$$= \frac{{3{x^4}}}{4} + 5{x^{\frac{2}{5}}} + C$.

b) $\int {\left( {\frac{3}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx}$$= 3\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} - \int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx}$$= 3\tan x + \cot x + C$.

Kí hiệu s(t) là quãng đường ô tô đi được.

Ta có $s(t)=\int v(t)dt=\int (19-2t)dt=19t-{t}^{2}+C$.

Vì s(0) = 0 Þ C = 0.

Do đó s(t) = 19t – t$^{2}$.

Quãng đường ô tô đi được sau 1 giây là: s(1) = 19.1 – 1$^{2}$ = 18 m.

Quãng đường ô tô đi được sau 2 giây là: s(2) = 19.2 – 2$^{2}$ = 34 m.

Quãng đường ô tô đi được sau 3 giây là: s(3) = 19.3 – 3$^{2}$ = 48 m.

Có F'(x) = (xe$^{x}$)' = e$^{x}$ + xe$^{x}$ = (1 + x)e$^{x}$.

Do đó $\int f(x)dx=\int (x+1){e}^{x}dx=x{e}^{x}+C$.

a) $\int {{x^5}dx} = \frac{{{x^6}}}{6} + C$.

b) $\int {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}} dx = \int {{x^{\frac{{ - 2}}{3}}}} dx = 3{x^{\frac{1}{3}}} + C = 3\sqrt[3]{x} + C$.

c) $\int {{7^x}dx} = \frac{{{7^x}}}{{\ln 7}} + C$.

d) $\int {\frac{{{3^x}}}{{{5^x}}}} dx = \int {{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^x}} dx = \frac{{{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^x}}}{{\ln \frac{3}{5}}}$.

Có $F\left( x \right) = \int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = - \cot x + C}$.

Vì $F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1$ nên $- \cot \frac{\pi }{2} + C = 1 \Leftrightarrow C = 1$.

Vậy $F\left( x \right) = - \cot x + 1$.

a) $\int {\left( {2{x^5} + 3} \right)dx}$$= 2\int {{x^5}dx} + 3\int {dx}$$= \frac{{{x^6}}}{3} + 3x + C$.

b) $\int {\left( {5\cos x - 3\sin x} \right)dx}$$= 5\int {\cos xdx} - 3\int {\sin xdx}$$= 5\sin x + 3\cos x + C$.

c) $\int {\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} - \frac{2}{x}} \right)} dx$$= \frac{1}{2}\int {{x^{\frac{1}{2}}}} dx - 2\int {\frac{1}{x}} dx$$= \frac{1}{3}{x^{\frac{3}{2}}} - 2\ln \left| x \right| + C$$= \frac{1}{3}x\sqrt x - 2\ln \left| x \right| + C$.

d) $\int {\left( {{e^{x - 2}} - \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx}$$= \frac{1}{{{e^2}}}\int {{e^x}dx} - 2\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx}$$= \frac{{{e^x}}}{{{e^2}}} + 2\cot x + C$$= {e^{x - 2}} + 2\cot x + C$.

a) $\int {x{{\left( {2x - 3} \right)}^2}dx}$$= \int {x\left( {4{x^2} - 12x + 9} \right)dx}$$= \int {\left( {4{x^3} - 12{x^2} + 9x} \right)dx}$

$= {x^4} - 4{x^3} + \frac{9}{2}{x^2} + C$.

b) $\int {{{\sin }^2}\frac{x}{2}dx}$$= \int {\frac{{1 - \cos x}}{2}dx}$$= \frac{1}{2}\int {dx} - \frac{1}{2}\int {\cos xdx}$$= \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\sin x + C$.

c) $\int {{{\tan }^2}xdx}$$= \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx}$$= \int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} - \int {dx}$$= \tan x - x + C$.

d) $\int {{2^{3x}}{{.3}^x}dx}$$= \int {{8^x}{{.3}^x}dx}$$= \int {{{24}^x}dx}$$= \frac{{{{24}^x}}}{{\ln 24}} + C$.

a) Chiều cao của cây sau x năm là:

$h\left( x \right) = \int {h'\left( x \right)dx = \int {\frac{1}{x}} } dx = \ln x + C$ (1 ≤ x ≤ 11).

Có h(1) = 2 nên ln1 + C = 2 Þ C = 2.

Do đó $h\left( x \right) = \ln x + 2,\;\left( {1 \le x \le 11} \right)$.

b) Cây cao 3 m tức là $\ln x + 2 = 3$$\Leftrightarrow \ln x = 1$$\Leftrightarrow x = e \approx 2{,}72$.

Vậy sau khoảng 2,72 năm thì cây cao 3 m.

Kí hiệu v(t) là tốc độ của xe, s(t) là quãng đường xe đi được cho đến thời điểm t giây kể từ khi xe tăng tốc.

Vì a(t) = v'(t) với mọi t ≥ 0 nên $v\left( t \right) = \int {a\left( t \right)dt = \int {2dt = 2t + C} }$.

Mà v(0) = 10 nên C = 10.

Do đó v(t) = 2t + 10.

Có $s\left( t \right) = \int {\left( {2t + 10} \right)dt} = {t^2} + 10t + C$.

Vì s(0) = 0 Þ C = 0.

Do đó s(t) = t$^{2}$ + 10t.

Quãng đường xe đó đi được trong 3 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc là:

s(3) = 3$^{2}$ + 10.3 = 39 (m).