Giải SBT Toán 8 KNTT Bài 14: Hình thoi và hình vuông có đáp án

Xét hình bình hành ABCD có đường cao AH (H thuộc đường thẳng CD), và đường cao AK (K thuộc đường thẳng BC), AH = AK.

Xét DACH vuông tại H và DACK vuông tại K có:

Cạnh AC chung, AH = AK

Do đó ∆ACH = ∆ACK (cạnh huyền – một cạnh góc vuông)

Suy ra $\widehat{ACK}=\widehat{ACH}$ (hai góc tương ứng)

Nên CA là tia phân giác của $\widehat{C}$.

Hình bình hành ABCD có CA là phân giác $\widehat{C}$ nên là hình thoi.

Gọi P, Q lần lượt là giao điểm ba đường phân giác của tam giác OAB, OCD thì O, P, Q thẳng hàng trên đường phân giác của góc AOB .

Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, AD // BC

Suy ra $\widehat{ODC}=\widehat{OBA};\widehat{OCD}=\widehat{OAB}$ (các cặp góc ở vị trí so le trong)

Mà DQ, BP lần lượt là tia phân giác của $\widehat{ODC};\widehat{OBA}$ nên $\widehat{OBP}=\widehat{ODQ}$

Xét ∆OBP và ∆ODQ có:

$\widehat{OBP}=\widehat{ODQ}$; OB = OD; $\widehat{BOP}=\widehat{QOD}$ (đối đỉnh)

Do đó ∆OBP = ∆ODQ (g.c.g)

Suy ra OP = OQ, hay O là trung điểm của PQ

Gọi R, S lần lượt là giao điểm ba đường phân giác của tam giác OAD, OBC thì tương tự như trên, ta cũng chứng minh được O là trung điểm của RS và đường thẳng RS là đường phân giác của góc $\widehat{AOD}.$

Do góc AOB và góc AOD là hai góc kề bù nên hai đường phân giác PQ, RS vuông góc với nhau.

Tứ giác PSQR có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và vuông góc với nhau nên là hình thoi.

Đường thẳng NP ⊥ AM cắt AM ở Q.

Do ABCD là hình vuông nên ND ⊥ AD.

Xét DADN vuông tại D và DAQN vuông tại Q có:

AN là cạnh chung, $\widehat{NAD}=\widehat{NAQ}$ (do AN là tia phân giác của $\widehat{DAM}$)

Do đó ∆ADN = ∆AQN (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra AD = AQ;

Mà AD = AB nên AQ = AB

Xét DAQP vuông tại Q và DABP vuông tại B có:

Cạnh AP chung; AQ = AB

Do đó ∆AQP = ∆ABP (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra $\widehat{QAP}=\widehat{BAP}$.

Ta có: $\widehat{BAD}=\widehat{DAN}+\widehat{NAQ}+\widehat{QAP}+\widehat{BAP}$

Mà $\widehat{NAD}=\widehat{NAQ};$ $\widehat{QAP}=\widehat{BAP}$ nên ta có:

$\widehat{BAD}=2(\widehat{NAQ}+\widehat{PAQ})=2\widehat{NAP}$

Suy ra $\widehat{NAP}=\frac{1}{2}\widehat{DAB}=\frac{1}{2}\cdot 90^{\circ}=45^{\circ}.$

Tia Ox phải cắt một cạnh của hình vuông, giả sử Ox cắt cạnh AB tại M.

• Khi M trùng với A hay B thì tia Oy phải qua một đỉnh của hình vuông và dễ thấy phần hình vuông nằm trong góc xOy là một phần tư của hình vuông.

• Khi M nằm giữa A và B thì tia Oy phải cắt cạnh BC hoặc cạnh AD; giả sử Oy cắt BC tại N thì N nằm giữa B và C.

Do ABCD là hình vuông nên AC và BD là các đường phân giác các góc của hình vuông, BD ⊥ AC.

Suy ra $\widehat{MAO}=\widehat{NBO}$ (cùng phụ với $\widehat{MBO}$)

Ta có: $\widehat{MOA}+\widehat{MOB}=90^{\circ}$, $\widehat{NOB}+\widehat{MOB}=90^{\circ}$

Suy ra $\widehat{MOA}=\widehat{NOB}$

Xét ∆OAM và ∆OBN có:

$\widehat{MAO}=\widehat{NBO}$; OA = OB; $\widehat{MOA}=\widehat{NOB}$

Do đó ∆OAM = ∆OBN (g.c.g), nên hai tam giác này có cùng diện tích.

Ta có: diện tích phần hình vuông nằm trong góc xOy là diện tích tứ giác OMBN

Mà S$_{OMBN}$ = S$_{OBM}$ + S$_{OBN}$; S$_{OAB}$ = S$_{OAM}$ + S$_{OBM}$

Suy ra S$_{OMBN}$ = S$_{OAB}$

Tức diện tích phần hình vuông nằm trong góc xOy bằng $\frac{1}{4}$ diện tích hình vuông.

• Cũng lập luận tương tự khi N nằm giữa A và D.

Vậy trong mọi trường hợp diện tích cần tìm bằng $\frac{1}{4}\cdot {2}^{2}=1({\text{cm}}^{2})$.

Do ∆ABC vuông cân tại A nên $\widehat{B}=\widehat{C}=45^{\circ}$.

Xét ∆GBD vuông tại D và ∆EFC vuông tại E có:

BD = EC; $\widehat{B}=\widehat{C}$

Do đó ∆GBD = ∆FCE (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra $\widehat{DGB}=\widehat{EFC}$

Mà $\widehat{B}+\widehat{DGB}=90^{\circ}$ nên $\widehat{DGB}=90^{\circ}-\widehat{B}=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$

Do đó $\widehat{DGB}=\widehat{EFC}=45^{\circ}$

Suy ra ∆GBD vuông cân tại D và ∆EFC vuông cân tại E.

Vì vậy GD = BD, EF = EC.

Mà $BD=DE=EC=\frac{1}{3}BC$

Suy ra GD = DE = EF.

Do GD ⊥ BC, EF ⊥ BC nên GD // EF

Tứ giác GDEF có GD // EF, GD = EF nên GDEF là hình chữ nhật.

Lại có GD và DE là hai cạnh kề của hình chữ nhật GDEF bằng nhau nên GDEF là hình vuông.