Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 3. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ có đáp án

Ta có: $\overrightarrow a = 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j - 5\overrightarrow k$ suy ra $\overrightarrow a$ = (2; 3; −5).

$\overrightarrow b = - 3\overrightarrow j + 4\overrightarrow k$ suy ra $\overrightarrow b$ = (0; −3; 4).

$\overrightarrow c = - \overrightarrow i - 2\overrightarrow j$ suy ra $\overrightarrow c$ = (−1; −2; 0).

Do OABD là hình bình hành với O là gốc tọa độ, nên

$\overrightarrow {OD} = \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} = \left( {\overrightarrow i + \overrightarrow j } \right) - \left( { - \overrightarrow i + \overrightarrow j } \right) = 2\overrightarrow i$

Suy ra $\overrightarrow {OD}$ = (2; 0; 0) hay D(2; 0; 0).

Gọi A(a; b; c).

Có G là trọng tâm nên $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GO} = \overrightarrow 0$

⇔$\overrightarrow {GA} + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AB} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AC} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AO} } \right) = \overrightarrow 0$

⇔ $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AO} = 4\overrightarrow {AG}$

Ta có: $\overrightarrow {AB}$ = (1; 2; 3), $\overrightarrow {AC}$ = (−1; 4; −2), $\overrightarrow {AO}$ = (−a; −b; −c),

⇒ $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AO}$ = (−a; 6 – b; 1 – c).

$\overrightarrow {AG}$ = (3 – a; −3 – b; 6 – c) ⇒ $4\overrightarrow {AG}$ = (12 – 4a; −12 – 4b; 24 – 4c).

Do đó, $\left\{ \begin{array}{l} - a = 12 - 4a\\6 - b = - 12 - 4a\\1 - c = 24 - 4c\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = - 6\\c = \frac{{23}}{3}\end{array} \right.$ ⇒ A$\left( {4; - 6;\frac{{23}}{3}} \right)$.

Do ABCD.A*'B'C'D'* là hình hộp nên ta có $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} = (2; - 4;0)$.

Gọi D(x; y; z) suy ra $\left\{ \begin{array}{l} - 1 - x = 2\\4 - y = - 4\\ - 7 - z = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = 8\\z = - 7\end{array} \right.$ ⇒ D(−3; 8; −7).

Ta có: $\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {DD'} = \left( {9;0;17} \right)$

Gọi B*'(a; b; c) suy ra $\left\{ \begin{array}{l}a - 4 = 9\\b - 0 = 0\\c - 0 = 17\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 13\\b = 0\\c = 17\end{array} \right.$ ⇒ B'*(13; 0; 17).

Ta có: A(2; 2; 1), suy ra OA = $\left| {\overrightarrow {OA} } \right|$ = $\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}}$ = 3.

Vậy OA = 3.