Giải SBT Toán 11 KNTT Bài 7. Cấp số nhân có đáp án

a) Từ ${u}_{n}=-3.{(\frac{1}{2})}^{n}$ suy ra ${u}_{n+1}=-3.{(\frac{1}{2})}^{n+1}=-\frac{3}{2}.{(\frac{1}{2})}^{n}$.

Như vậy $\frac{{u}_{n+1}}{{u}_{n}}=\frac{-\frac{3}{2}.{(\frac{1}{2})}^{n}}{-3.{(\frac{1}{2})}^{n}}=\frac{1}{2}$ không đổi với mọi n.

Vậy dãy số đã cho là cấp số nhân có số hạng đầu u$_{1}$ = $-\frac{3}{2}$ và công bội $q=\frac{1}{2}$.

b) Từ ${u}_{n}=\frac{{2}^{n}}{{3}^{n-1}}$ suy ra ${u}_{n+1}=\frac{{2}^{n+1}}{{3}^{n+1-1}}=\frac{{2.2}^{n}}{{3.3}^{n-1}}=\frac{2}{3}.\frac{{2}^{n}}{{3}^{n-1}}$.

Như vậy $\frac{{u}_{n+1}}{{u}_{n}}=\frac{\frac{2}{3}.\frac{{2}^{n}}{{3}^{n-1}}}{\frac{{2}^{n}}{{3}^{n-1}}}=\frac{2}{3}$ không đổi với mọi n.

Vậy dãy số đã cho là cấp số nhân có số hạng đầu u$_{1}$ = 2 và công bội q = $\frac{2}{3}$.

Theo giả thiết ta có $\{\begin{matrix}{u}_{4}=125 \\ {u}_{10}=\frac{125}{64}\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{u}_{1}{q}^{3}=125 \\ {u}_{1}{q}^{9}=\frac{125}{64}\end{matrix}$.

Chia vế theo vế của hai phương trình trên ta được ${q}^{6}=\frac{1}{64}\Leftrightarrow q=\pm \frac{1}{2}$.

Với $q=\frac{1}{2}\Rightarrow {u}_{1}=\frac{125}{{q}^{3}}=\frac{125}{{(\frac{1}{2})}^{3}}=1000\Rightarrow {u}_{14}={u}_{1}{q}^{13}=1000.{(\frac{1}{2})}^{13}=\frac{125}{1024}$.

Với $q=-\frac{1}{2}\Rightarrow {u}_{1}=\frac{125}{{q}^{3}}=\frac{125}{{(-\frac{1}{2})}^{3}}=-1000$ < 0 (loại vì các số hạng của cấp số nhân đều là số dương).

Vậy số hạng thứ 14 của cấp số nhân đã cho là ${u}_{14}=\frac{125}{1024}$.

Vì x, x + 2 và x + 3 là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân nên ta suy ra

x(x + 3) = (x + 2)$^{2}$

⇔ x$^{2}$ + 3x = x$^{2}$ + 4x + 4

⇔ x = – 4.

Thử lại, ta có ba số là – 4; – 2; – 1 thoả mãn bài toán.

Vậy x = − 4.