Giải SBT Toán 11 KNTT Bài 7. Cấp số nhân có đáp án

a) Từ ${u}_{n}=-3.{(\frac{1}{2})}^{n}$ suy ra ${u}_{n+1}=-3.{(\frac{1}{2})}^{n+1}=-\frac{3}{2}.{(\frac{1}{2})}^{n}$.

Như vậy $\frac{{u}_{n+1}}{{u}_{n}}=\frac{-\frac{3}{2}.{(\frac{1}{2})}^{n}}{-3.{(\frac{1}{2})}^{n}}=\frac{1}{2}$ không đổi với mọi n.

Vậy dãy số đã cho là cấp số nhân có số hạng đầu u$_{1}$ = $-\frac{3}{2}$ và công bội $q=\frac{1}{2}$.

b) Từ ${u}_{n}=\frac{{2}^{n}}{{3}^{n-1}}$ suy ra ${u}_{n+1}=\frac{{2}^{n+1}}{{3}^{n+1-1}}=\frac{{2.2}^{n}}{{3.3}^{n-1}}=\frac{2}{3}.\frac{{2}^{n}}{{3}^{n-1}}$.

Như vậy $\frac{{u}_{n+1}}{{u}_{n}}=\frac{\frac{2}{3}.\frac{{2}^{n}}{{3}^{n-1}}}{\frac{{2}^{n}}{{3}^{n-1}}}=\frac{2}{3}$ không đổi với mọi n.

Vậy dãy số đã cho là cấp số nhân có số hạng đầu u$_{1}$ = 2 và công bội q = $\frac{2}{3}$.

Theo giả thiết ta có $\{\begin{matrix}{u}_{4}=125 \\ {u}_{10}=\frac{125}{64}\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{u}_{1}{q}^{3}=125 \\ {u}_{1}{q}^{9}=\frac{125}{64}\end{matrix}$.

Chia vế theo vế của hai phương trình trên ta được ${q}^{6}=\frac{1}{64}\Leftrightarrow q=\pm \frac{1}{2}$.

Với $q=\frac{1}{2}\Rightarrow {u}_{1}=\frac{125}{{q}^{3}}=\frac{125}{{(\frac{1}{2})}^{3}}=1000\Rightarrow {u}_{14}={u}_{1}{q}^{13}=1000.{(\frac{1}{2})}^{13}=\frac{125}{1024}$.

Với $q=-\frac{1}{2}\Rightarrow {u}_{1}=\frac{125}{{q}^{3}}=\frac{125}{{(-\frac{1}{2})}^{3}}=-1000$ < 0 (loại vì các số hạng của cấp số nhân đều là số dương).

Vậy số hạng thứ 14 của cấp số nhân đã cho là ${u}_{14}=\frac{125}{1024}$.

Vì x, x + 2 và x + 3 là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân nên ta suy ra

x(x + 3) = (x + 2)$^{2}$

⇔ x$^{2}$ + 3x = x$^{2}$ + 4x + 4

⇔ x = – 4.

Thử lại, ta có ba số là – 4; – 2; – 1 thoả mãn bài toán.

Vậy x = − 4.

a) Ta có 1 + 4 + 16 + 64 + ... + 4$^{9}$ = 4$^{0}$ + 4$^{1}$ + 4$^{2}$ + 4$^{3}$ + ... + 4$^{9}$.

Ta nhận thấy các số hạng của tổng trên là cấp số nhân có số hạng đầu u$_{1}$ = 4$^{0}$ = 1, công bội q = 4 và có 10 số hạng.

Vậy 1 + 4 + 16 + 64 + ... + 4$^{9}$ = $\frac{1.(1-{4}^{10})}{1-4}$ = 349 525.

b) Ta có $\frac{1}{3}+\frac{2}{3}+\frac{{2}^{2}}{3}+...+\frac{{2}^{12}}{3}$.

Ta nhận thấy các số hạng của tổng trên là cấp số nhân có số hạng đầu u$_{1}$ = $\frac{1}{3}$ và công bội q = 2 và có 13 số hạng.

Vậy $\frac{1}{3}+\frac{2}{3}+\frac{{2}^{2}}{3}+...+\frac{{2}^{12}}{3}=\frac{\frac{1}{3}(1-{2}^{13})}{1-2}=\frac{8191}{3}$.

Gọi u$_{n}$ là số người bị bệnh ở cuối tuần thứ n. Vì có năm người bị bệnh trong tuần đầu tiên của một đợt dịch, và mỗi người bị bệnh sẽ lây bệnh cho bốn người vào cuối tuần tiếp theo nên dãy số (u$_{n}$) là một cấp số nhân có số hạng đầu u$_{1}$ = 5 và công bội q = 4.

Suy ra số người bị ảnh hưởng bởi dịch bệnh ở cuối tuần 10 là

u$_{10}$ = u$_{1}$q$^{9}$ = 5 . 4$^{9}$ = 1 310 720 (người).

Gọi u$_{n}$ là số triệu đồng mà người kĩ sư đó nhận được ở năm thứ n.

Vì người kĩ sư được công ty thuê với mức lương hằng năm là 180 triệu đồng và nhận được mức tăng lương hằng năm là 5% nên dãy số (u$_{n}$) là một cấp số nhân có u$_{1}$ = 180 và công bội q = 1 + 5% = 1,05.

Khi bắt đầu năm thứ sáu làm việc cho công ty thì mức lương năm của người kĩ sư đó là u$_{6}$ = u$_{1}$q$^{5}$ = 180 . (1,05)$^{5}$ ≈ 229,73 (triệu đồng).

Gọi u$_{n}$ là số tiền (triệu đồng) mà cô Hoa có trong chương trình tích luỹ ở lần gửi thứ n (vào đầu tháng thứ n).

Kí hiệu a = 0,5 triệu đồng, r = 0,5% .

Số tiền của cô Hoa trong chương trình ở đầu tháng 1 là u$_{1}$ = a.

Số tiền của cô Hoa trong chương trình ở đầu tháng 2 là

u$_{2}$ = u$_{1}$(1 + r) + a = a(1 + r) + a.

Số tiền của cô Hoa trong chương trình ở đầu tháng 3 là

u$_{3}$ = u$_{2}$(1 + r) + a = a(1 + r)$^{2}$ + a(1 + r) + a.

Tương tự cho các tháng tiếp theo, suy ra số tiền của cô Hoa trong chương trình ở đầu tháng n là

u$_{n}$ = a(1 + r)$^{n – 1}$ + a(1 + r)$^{n – 2}$ + ... + a(1 + r) + a

= a[(1 + r)$^{n – 1}$ + (1 + r)$^{n – 2}$ + ... + (1 + r) + 1]

= $a.\frac{{(1+r)}^{n}-1}{(1+r)-1}=a\frac{{(1+r)}^{n}-1}{r}$.

Vào thời điểm gửi khoản tiền thứ 180, cô ấy sẽ tích luỹ được

${u}_{180}=0{,}5.\frac{{(1+0{,}5\%)}^{180}-1}{0{,}5\%}$ ≈ 145,41 (triệu đồng).

Khi đó, tuổi của con gái cô Hoa là 3 + 180 : 12 = 18 (tuổi).

Gọi u$_{n}$ là diện tích hai tam giác được tô màu ở lần thực hiện thứ n.

Gọi a là độ dài cạnh của hình vuông ban đầu.

Hai tam giác được tạo thành là các tam giác vuông cân có độ dài cạnh góc vuông bằng $\frac{1}{2}$ độ dài của hình vuông trước mỗi lần chia.

Ở lần 1 thì độ dài cạnh tam giác vuông cân là $\frac{a}{2}$ nên u$_{1}$ = $2.\frac{1}{2}.{(\frac{a}{2})}^{2}=\frac{{a}^{2}}{{2}^{2}}$ và độ dài cạnh hình vuông sau đó là $\sqrt{{(\frac{a}{2})}^{2}+{(\frac{a}{2})}^{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ (sử dụng định lí Pythagore).

Ở lần 2 thì độ dài cạnh tam giác vuông cân là $\frac{a}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}$ nên ${u}_{2}=2.\frac{1}{2}.{(\frac{a}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}=\frac{{a}^{2}}{{2}^{3}}$.

Ở lần 3 thì độ dài cạnh tam giác vuông cân là $\frac{a}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}$, suy ra ${u}_{3}=\frac{{a}^{2}}{{2}^{4}}$.

Cứ tiếp tục như vậy, ta được dãy số (u$_{n}$) là cấp số nhân với ${u}_{1}=\frac{{a}^{2}}{{2}^{2}}$ và công bội $q=\frac{1}{2}$.

Với a = 16 cm thì u$_{1}$ = $\frac{{16}^{2}}{{2}^{2}}$ = 64 cm.

Vậy tổng diện tích sau năm lần thực hiện là ${S}_{5}={u}_{1}\frac{1-{q}^{5}}{1-q}=64.\frac{1-{(\frac{1}{2})}^{5}}{1-\frac{1}{2}}$ = 124 (cm$^{2}$).

a) Theo định nghĩa, chèn hai trung bình nhân vào giữa 3 và 24 ta được cấp số nhân có số hạng đầu u$_{1}$ = 3 và u$_{2 + 2}$ = u$_{4}$ = 24.

Do tính chất của cấp số nhân nên u$_{4}$ = u$_{1}$q$^{3}$ = 3q$^{3}$ = 24. Suy ra q = 2.

Khi đó u$_{2}$ = 3 . 2 = 6, u$_{3}$ = 6 . 12 = 12.

Vậy chèn hai trung bình nhân vào giữa 3 và 24 ta được cấp số nhân là: 3, 6, 12, 24.

b) Theo định nghĩa, chèn ba trung bình nhân vào giữa 2,25 và 576 ta được cấp số nhân có u$_{1}$ = 2,25 và u$_{2 + 3}$ = u$_{5}$ = 576.

Do tính chất của cấp số nhân nên u$_{5}$ = u$_{1}$q$^{4}$ = 2,25q$^{4}$ = 576. Suy ra q = ± 4.

+ Với q = 4, ta có u$_{2}$ = 2,25 . 4 = 9; u$_{3}$ = 9 . 4 = 36; u$_{4}$ = 36 . 4 = 144.

Khi đó chèn ba trung bình nhân vào giữa 2,25 và 576 ta được cấp số nhân 2,25; 9; 36; 144; 576.

+ Với q = − 4, ta có u$_{2}$ = 2,25 . (− 4) = − 9; u$_{3}$ = (− 9) . (− 4) = 36; u$_{4}$ = 36 . (− 4) = − 144.

Khi đó chèn ba trung bình nhân vào giữa 2,25 và 576 ta được cấp số nhân 2,25; − 9; 36; − 144; 576.