(Đúng sai) 41 bài tập Phương trình đường thẳng trong không gian (có lời giải)

a) Chọn Sai

Ta có: $\vec u = (2;3;6)$ là một vectơ chì phương của đường thẳng $\Delta$, $\vec n = (1; - 2; - 2)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.

$\sin \alpha = \frac{{|\vec u \cdot \vec n|}}{{|\vec u| \cdot |\vec n|}} = \frac{{|2 \cdot 1 + 3 \cdot ( - 2) + 6 \cdot ( - 2)|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {6^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{{16}}{{21}}.$ Suy ra $α\approx {50}^{^{\circ}}$

b) Chọn Sai

Ta có: $\vec u = (2;3;6)$ là một vectơ chì phương của đường thẳng $\Delta$, $\vec n = (1; - 2; - 2)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.

$\sin \alpha = \frac{{|\vec u \cdot \vec n|}}{{|\vec u| \cdot |\vec n|}} = \frac{{|2 \cdot 1 + 3 \cdot ( - 2) + 6 \cdot ( - 2)|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {6^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{{16}}{{21}}.$ Suy ra $α\approx {50}^{^{\circ}}$

c) Chọn đúng

Ta có: $\vec u = (2;3;6)$ là một vectơ chì phương của đường thẳng $\Delta$, $\vec n = (1; - 2; - 2)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.

$\sin \alpha = \frac{{|\vec u \cdot \vec n|}}{{|\vec u| \cdot |\vec n|}} = \frac{{|2 \cdot 1 + 3 \cdot ( - 2) + 6 \cdot ( - 2)|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {6^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{{16}}{{21}}.$ Suy ra $α\approx {50}^{^{\circ}}$

d) Chọn đúng

Ta có: $\vec u = (2;3;6)$ là một vectơ chì phương của đường thẳng $\Delta$, $\vec n = (1; - 2; - 2)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.

$\sin \alpha = \frac{{|\vec u \cdot \vec n|}}{{|\vec u| \cdot |\vec n|}} = \frac{{|2 \cdot 1 + 3 \cdot ( - 2) + 6 \cdot ( - 2)|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {6^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{{16}}{{21}}.$ Suy ra $α\approx {50}^{^{\circ}}$

a) Chọn đúng

Ta có: ${\vec n_1} = (2; - 3; - 6)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right)$, ${\vec n_2} = (2;2;1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {{P_2}} \right)$.

$\cos \alpha = \frac{{\left| {{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_2}} \right|}} = \frac{{|2 \cdot 2 + ( - 3) \cdot 2 + ( - 6) \cdot 1|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 3)}^2} + {{( - 6)}^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{8}{{21}}.$ Suy ra $α\approx {68}^{^{\circ}}$

b) Chọn Sai

Ta có: ${\vec n_1} = (2; - 3; - 6)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right)$, ${\vec n_2} = (2;2;1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {{P_2}} \right)$.

$\cos \alpha = \frac{{\left| {{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_2}} \right|}} = \frac{{|2 \cdot 2 + ( - 3) \cdot 2 + ( - 6) \cdot 1|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 3)}^2} + {{( - 6)}^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{8}{{21}}.$ Suy ra $α\approx {68}^{^{\circ}}$

c) Chọn đúng

Ta có: ${\vec n_1} = (2; - 3; - 6)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right)$, ${\vec n_2} = (2;2;1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {{P_2}} \right)$.

$\cos \alpha = \frac{{\left| {{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_2}} \right|}} = \frac{{|2 \cdot 2 + ( - 3) \cdot 2 + ( - 6) \cdot 1|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 3)}^2} + {{( - 6)}^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{8}{{21}}.$ Suy ra $α\approx {68}^{^{\circ}}$

d) Chọn Sai

Ta có: ${\vec n_1} = (2; - 3; - 6)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right)$, ${\vec n_2} = (2;2;1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {{P_2}} \right)$.

$\cos \alpha = \frac{{\left| {{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_2}} \right|}} = \frac{{|2 \cdot 2 + ( - 3) \cdot 2 + ( - 6) \cdot 1|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 3)}^2} + {{( - 6)}^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{8}{{21}}.$ Suy ra $α\approx {68}^{^{\circ}}$

a. $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 6 - 4t\\y = - 2 - t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( { - 4; - 1;2} \right)$.

Chọn đúng

b. Thế toạ độ điểm $A\left( {1\,;\,1\,;1} \right)$ vào đường thẳng $d$ ta có : $\left\{ \begin{array}{l}1 = 6 - 4t\\1 = - 2 - t\\1 = - 1 + 2t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \frac{5}{4}\\t = - 3\\t = 1\end{array} \right. \Rightarrow A \notin d$

Chọn Sai

c. Mặt phẳng qua điểm $A$ và vuông góc với đường thẳng $d$ có phương trình là

$4\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 1} \right) - 2\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + y - 2z - 3 = 0$.

Chọn đúng

d. Ta có $A'\, \in d$ nên gọi $A'\left( {\,6 - 4t\,;\, - 2 - t\,;\, - 1 + 2t} \right)$; $\overrightarrow {AA'} = \left( {5 - 4t\,;\, - 3 - t\,;\, - 2 + 2t} \right)$; đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( { - 4\,;\, - 1\,;2} \right)$.

+$AA' \bot d \Leftrightarrow \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow u = 0 \Leftrightarrow \left( {5 - 4t} \right).\left( { - 4} \right) + \left( { - 3 - t} \right).\left( { - 1} \right) + \left( { - 2 + 2t} \right).2 = 0 \Leftrightarrow t = 1$$\Rightarrow A'\left( {2\,;\, - 3\,;\,1} \right)$.

Vậy $A'\left( {2\,;\, - 3\,;\,1} \right)$.

Chọn đúng

a. Đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow a = \left( {2;1;2} \right)$.

Chọn đúng

b. Thế toạ độ điểm $A\left( {1;0;0} \right)$ vào đường thẳng $d$ ta có : $\frac{{1 - 1}}{2} \ne \frac{{0 + 2}}{1} \ne \frac{{0 - 1}}{2} \Rightarrow A \notin d$

Chọn đúng

c) Đường thẳng $\Delta$ qua $A$ và song song với $d$ có phương trình tham số là $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = t\\z = 2t\end{array} \right.$.

Chọn Sai

d. Vectơ chỉ phương của $d$ là $\overrightarrow a = \left( {2;1;2} \right)$ và $B\left( {1; - 2;1} \right) \in d$.

Khi đó: $\overrightarrow {AB} = \left( {0; - 2;1} \right)$.

Do đó véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow a } \right] = \left( {5, - 2; - 4} \right)$.

Từ đó suy ra phương trình mặt phẳng cần tìm là $5\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y - 0} \right) - 4\left( {z - 0} \right) = 0$

hay $5x - 2y - 4z - 5 = 0$.

Chọn đúng

a. Điểm $M\left( {0; - 2;3} \right)$ thuộc đường thẳng $d$.

Chọn đúng

b. Mặt phẳng $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {2;1; - 2} \right)$.

Chọn Sai

c. Đường thẳng $d$ có phương trình tham số $\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 2 - t\\z = 3 - 2t\end{array} \right.$.

Chọn đúng

d. Ta có: $I = d \cap \left( P \right)$ suy ra tọa độ của điểm $I$ là nghiệm của hệ phương trình sau

$\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 2 - t\\z = 3 - 2t\\2x + y - 2z + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 3\\z = 1\\t = 1\end{array} \right.$.

Suy ra $I\left( {1; - 3;1} \right)$$\Rightarrow a = 1;\,b = - 3;\,c = 1$.

Do đó $a + 2b + 3c = 1 - 6 + 3 = - 2$.

Chọn Sai

a. Phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)$ có dạng $\Delta :\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}$ .

Chọn đúng

b. Phương trình tham số của đường thẳng $d$ đi qua điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)$ có dạng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.$ .

Chọn đúng

c. Tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow u ,\,\,\overrightarrow v$ là

$\left[ {\overrightarrow u ,\,\,\overrightarrow v } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 1}&2\\1&{ - 3}\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}2&1\\{ - 3}&5\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}1&{ - 1}\\5&1\end{array}} \right|} \right) = \left( {1;13;6} \right)$.

Chọn Sai

d. Ta có $\overrightarrow {MN} = \left( {5;3;3} \right)$ và $\left[ {\overrightarrow u ,\,\,\overrightarrow v } \right].\overrightarrow {MN} = 1.5 + 13.3 + 6.3 = 62$. Vậy hai đường thẳng $\Delta$ và $d$ chéo nhau.

Chọn đúng

a. Mặt phẳng $\left( P \right)$ vuông góc với đường thẳng $d$ nên có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow a = \left( { - 2;3;1} \right)$.

Chọn đúng

b. Đường thẳng $AB$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {BA} = \left( { - 1; - 2;3} \right)$.

Chọn đúng

c. Đường thẳng $AB$ qua $A\left( { - 1;2;7} \right)$ và có vec tơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}} = \overrightarrow {AB} = \left( {1;2; - 3} \right)$ nên có phương trình tham số là $\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 2 + 2t\\z = 7 - 3t\end{array} \right.$.

Chọn đúng

d.

Đường thẳng $d$ đi qua ${M_1}\left( {1;0; - 1} \right)$ và có một véc tơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 2;3;1} \right)$.

Đường thẳng $AB$ đi qua $A\left( { - 1;2;7} \right)$ và có một véc tơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;2; - 3} \right)$.

Ta có $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 11; - 5; - 7} \right)$, $\overrightarrow {{M_1}A} = \left( { - 2;2;8} \right)$.

Suy ra $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}A} = ( - 11)( - 2) + ( - 5).2 + ( - 7).(8) = - 44 \ne 0$. Do đó $d$ và $AB$ chéo nhau (1)

Ta có: $\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 2} \right).1 + 3.2 + 1.\left( { - 3} \right) = 1 \ne 0$ suy ra $d$ và $AB$ không vuông góc (2)

Vậy $d$ và $AB$ chéo nhau nhưng không vuông góc.

Chọn Sai

a. Mặt phẳng $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1;2; - 2} \right)$.

Chọn đúng

b. Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$: $d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.2 - 2.3 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{2}{3}$.

Chọn Sai

c. Đường thẳng $d$ qua $A\left( {1;2;3} \right)$ và và vuông góc với $\left( P \right)$ nên có vec tơ chỉ phương $\overrightarrow n = \left( {1;2; - 2} \right)$.

Do đó $d$ có phương trình tham số là $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 2t\\z = 3 - 2t\end{array} \right.$.

Chọn Sai

d.

+ $\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 3; - 2} \right)$

+ Đường thẳng $\Delta$ qua $B$, vuông góc với đường thẳng $AB$ và song song với mặt phẳng $\left( P \right)$ nên có vectơ chỉ phương $\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( { - 10;4; - 1} \right)$, do đó $\overrightarrow u = = \left( {10; - 4;1} \right)$ cũng là vec tơ chỉ phương của $\Delta$.

Phương trình chính tắc của đường thẳng $\Delta$ là $\frac{x}{{10}} = \frac{{y + 1}}{{ - 4}} = \frac{{z - 1}}{1}$.

Chọn đúng

a. Toạ độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $BC$ là $M\left( {1;1;1} \right)$.

Chọn đúng

b.

+ $\overrightarrow {BC} = \left( { - 2;2;4} \right) \Rightarrow BC = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2} + {4^2}} = 2\sqrt 6$.

Chọn Sai

c. Phương trình tham số của đường thẳng $BC$ qua $B\left( {2;0; - 1} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow a = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \left( { - 1;1;2} \right)$ là $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.$.

Chọn đúng

d. Gọi $H\left( {a;b;c} \right)$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $BC$. Khi đó $a + b + c = 3$.

+ Do $H\left( {a;b;c} \right)$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $BC$ nên $H\left( {2 - t;t; - 1 + 2t} \right)$.

+ $\overrightarrow {AH} = \left( { - t + 1;t + 1;2t - 3} \right)$

+ Do $\overrightarrow {AH} \bot \overrightarrow {BC} \Rightarrow - 2\left( { - t + 1} \right) + 2\left( {t + 1} \right) + 4\left( {2t - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 12t = 12 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow H\left( {1;1;1} \right) \Rightarrow a + b + c = 3$

Chọn đúng

a. Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow a = \left( {1; - 1;2} \right)$.

Chọn Sai

b. Thế toạ đô điểm $A\left( {2; - 1;2} \right)$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta có: $\frac{{2 + 1}}{1} = \frac{{ - 1 - 2}}{{ - 1}} \ne \frac{2}{2} \Rightarrow A \notin d$

Chọn Sai

c. Đường thẳng $\Delta$ qua $A$ và song song với $d$có vectơ chỉ phương $\overrightarrow a = \left( {1; - 1;2} \right)$ nên có phương trình tham số là $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 1 - t\\z = 2 + 2t\end{array} \right.$.

Chọn đúng

d.

+ Đường thẳng $d$ qua $M\left( { - 1;2;0} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow a = \left( {1; - 1;2} \right)$.

+ $\overrightarrow {AM} = \left( { - 3;3; - 2} \right)$.

+ $\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow {AM} } \right] = \left( { - 4; - 4;0} \right)$$\Rightarrow \overrightarrow n = \left( {1;1;0} \right)$ là vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$.

+ Mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $A\left( {2; - 1;2} \right)$ và vec tơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {1;1;0} \right)$ nên có phương trình là $\left( {x - 2} \right) + \left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 1 = 0$.

Chọn Sai

a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta '$ có tọa độ là $\left( { - 1;\,0;\,1} \right)$;

Chọn Sai

b) Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M\left( {2; - 1;3} \right)$;

Chọn đúng

c) Gọi $\vec u$, $\overrightarrow {u'}$ lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta '$. Khi đó, công thức tính góc giữa hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta '$ là $\cos \left( {\Delta ,\,\Delta '} \right) = \left| {\cos \left( {\vec u,\,\overrightarrow {u'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\vec u.\overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\vec u} \right|.\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}$;

Chọn Sai

d) Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương là $\vec u = \left( {1;\,1;\,0} \right)$;

Đường thẳng $\Delta '$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {u'} = \left( { - 1;\,0;\,1} \right)$;

Khi này $\cos \left( {\Delta ,\,\Delta '} \right) = \left| {\cos \left( {\vec u,\,\overrightarrow {u'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.( - 1) + 1.0 + 0.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {0^2}} .\sqrt {{{( - 1)}^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{2}$

Do vậy, góc giữa hai đường thẳng $\Delta$, $\Delta '$ là 60$^{0}$

Chọn đúng

a) Đường thẳng $d$ đi qua điểm $N\left( {0; - 1;1} \right)$;

Chọn Sai

b) Đường thẳng $d'$ có một vectơ chỉ phương là $\vec u' = \left( { - 1;\,1;1} \right)$. Ta thấy $\vec x$, $\vec u'$ không cùng phương.

Do vậy, $\vec x = \left( {1; - 1;1} \right)$ không là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d'$;

Chọn Sai

c) $\left| {\vec x} \right| = \sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2} + {1^2}} = \sqrt 3$;

Chọn Sai

d) Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là $\vec u = \left( {1;\, - 1;2} \right)$;

Đường thẳng $d'$ có một vectơ chỉ phương là $\vec u' = \left( { - 1;\,1;1} \right)$.

Ta thấy $\vec u.\vec u' = 1.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).1 + 2.1 = 0$

Do vậy, hai đường thẳng $d$ và $d'$ vuông góc với nhau.

Chọn đúng

a) $\vec n = \left( {1;\, - 1;\,2} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$;

Chọn đúng

b) Trục $Ox$ có vectơ đơn vị $\vec i = \left( {1;\,0;\,0} \right)$

Đường thẳng $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là $\vec u = \left( {1;\,2;\, - 1} \right)$

Khi đó $\cos \varphi = \frac{{\left| 1 \right|}}{{1.\sqrt 6 }} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}$;

Chọn đúng

c) Thay tọa độ của điểm $E\left( { - 1;\,2;\,1} \right)$ vào phương trình của mặt phẳng $\left( P \right)$, ta thấy: $- 1 - 2 + 2.1 \ne 1$

Do đó, $E\left( { - 1;\,2;\,1} \right)$ không thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$;

Chọn Sai

d) Đường thẳng $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là $\vec u = \left( {1;\,2;\, - 1} \right)$

$\vec n = \left( {1;\, - 1;\,2} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$

Khi đó $\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1.1 + 2.( - 1) + ( - 1).2} \right|}}{{\sqrt 6 .\sqrt 6 }} = \frac{1}{2}$

Do vậy, góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng 30$^{0}$.

Chọn đúng

a) Dựa vào phương trình đường thẳng, một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\vec x = \left( {1;\, - 1;\,1} \right)$.

Ta thấy $\vec x$, $\vec u$ cùng phương. Do đó, $\vec u = \left( { - 1;\,1;\, - 1} \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$;

Chọn đúng

b) Thay tọa độ của điểm $M$ vào $x$, $y$, $z$ của đường thẳng $\Delta$, ta thấy:

$\left\{ \begin{array}{l}0 = 1 + t\\3 = 2 - t\\ - 2 = 3 + t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 1\\t = - 1\\t = - 5\end{array} \right.$

Do vậy,$M\left( {0;3; - 2} \right)$ không thuộc đường thẳng $\Delta$;

Chọn đúng

c) Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương là $\vec x = \left( {1;\, - 1;\,1} \right)$

Mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến là $\vec n = \left( {1;\,2;\,1} \right)$.

Ta thấy $\vec x$, $\vec n$ không cùng phương. Do vậy, đường thẳng $\Delta$ không vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$.

Chọn Sai

d) $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\,\,\,(1)\\y = 2 - t\,\,(2)\\z = 3 + t\,\,(3)\end{array} \right.$ và mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y + z - 4 = 0$ (4)

Thay (1), (2), (3) vào (4), ta được: $1 + t + 2(2 - t) + 3 + t - 4 = 0 \Leftrightarrow 0t + 4 = 0$ - phương trình vô nghiệm

Do vây, Đường thẳng $\Delta$ không cắt mặt phẳng $\left( P \right)$.

Chọn Sai

a) Thay tọa độ của điểm $F\left( {0;\, - 1;\,3} \right)$ vào phương trình của mặt phẳng $\left( P \right)$, ta thấy:

$0 + 2.( - 1) - 3 + 1 = - \,4 \ne 0$

Do vậy, $F\left( {0;\, - 1;\,3} \right)$ không thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$;

Chọn đúng

b) Mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến $\vec n = \left( {1;\,2;\, - 1} \right)$

Mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$ có vectơ pháp tuyến $\vec j = \left( {0;\,1;\,0} \right)$

Khi này, $\cos \varphi = \frac{{\left| 2 \right|}}{{1.\sqrt 6 }} = \frac{2}{{\sqrt 6 }}$$\Rightarrow \sin \varphi = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\varphi } = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$;

Chọn Sai

c) Mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến $\vec n = \left( {1;\,2;\, - 1} \right)$

Khi $m = 2$, mặt phẳng $\left( Q \right)$ có vectơ pháp tuyến $\vec n' = \left( {1;\, - 1;\,2} \right)$

Do đó $\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {1.1 + 2.( - 1) + 2.( - 1)} \right|}}{{\sqrt 6 .\sqrt 6 }} = \frac{1}{2}$

Vậy góc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right)$, $\left( Q \right)$ bằng 60$^{0}$ khi $m = 2$;

Chọn đúng

d) Mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến $\vec n = \left( {1;\,2;\, - 1} \right)$

Khi $m = 1$, mặt phẳng $\left( Q \right)$ có vectơ pháp tuyến $\vec n' = \left( {1;\, - 1;\,1} \right)$

Khi đó $\vec n.\vec n' = 1.1 + 2.( - 1) + ( - 1).(1) = - 2 \ne 0$.

Do vậy, hai mặt phẳng $\left( P \right)$, $\left( Q \right)$ không vuông góc với nhau khi $m = 1$.

Chọn Sai

a) Gọi $C\left( {x;\,y;\,z} \right)$

Vì đáy $OBCD$ là hình chữ nhật nên $\overrightarrow {OD} = \overrightarrow {BC}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\y - 0 = 2\\z - 0 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = 0\end{array} \right.$

Vậy $C\left( {1;\,2;\,0} \right)$.

Chọn Sai

b) $\overrightarrow {OB} = \left( {1;\,0;\,0} \right)$, $\overrightarrow {SC} = \left( {1;\,2;\,3} \right)$

Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng $OB$ và $SC$. Khi đó: $\cos \varphi = \frac{{\left| 1 \right|}}{{1.\sqrt {14} }} = \frac{1}{{\sqrt {14} }}$;

Chọn đúng

c) $\overrightarrow {SB} = \left( {1;\,0;\,3} \right)$, $\overrightarrow {SD} = \left( {0;\,2;\,3} \right)$

Khi đó một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ là $\left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SD} } \right] = \left( { - 6; - 3;2} \right)$;

Chọn Sai

d) $\overrightarrow {SO} = \left( {0;\,0;\,3} \right)$

Góc giữa đường thẳng $SO$ và mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$: $\sin \left( {SO,\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{{\left| {2.3} \right|}}{{3.7}} = \frac{2}{7}$

Do vậy, góc giữa đường thẳng $SO$ và mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ bằng 16$^{0}$36'

Chọn đúng

a) $\overrightarrow {AB} = \left( {0;\, - 3;\, - 4} \right)$, $\overrightarrow {AD} = \left( {3;\,0;\, - 4} \right)$

Khi đó $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {12;\, - 12;\,9} \right) = 3\left( {4; - 4;3} \right)$.

Do vậy ${\vec n_1} = \left( {4;\, - 4;\,3} \right)$là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {ABD} \right)$;

Chọn đúng

b) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {ABD} \right)$ là ${\vec n_1} = \left( {4;\, - 4;\,3} \right)$

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ là $\overrightarrow i = \left( {1;\,0;\,0} \right)$

Khi đó $\cos ((ABD),(Oyz))=\frac{|4|}{1.\sqrt{41}}=\frac{4}{\sqrt{41}}\Rightarrow ((ABD),(Oyz))\approx {51}^{o}{20}^{'}$

Chọn Sai

c) $\overrightarrow {AC} = \left( {0;\,3;\, - 4} \right)$, $\overrightarrow {AD} = \left( {3;\,0;\, - 4} \right)$

Khi đó $\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( { - 12;\, - 12;\, - 9} \right) = - 3\left( {4;4;3} \right)$

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ là ${\vec n_2} = \left( {4;4;3} \right)$

Gọi $\varphi$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( {ABD} \right)$ và $\left( {ACD} \right)$. Khi đó: $\cos \varphi = \frac{{\left| {4.4 - 4.4 + 3.3} \right|}}{{\sqrt {41} .\sqrt {41} }} = \frac{9}{{41}}$;

Chọn đúng

d) $\overrightarrow{CB}=(0;\ -6;0),\overrightarrow{CD}=(3;\ -3;\ 0)$

$\cos \widehat{BCD}=\cos (\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CD})=\frac{0.3-6.(-3)}{6.3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \widehat{BCD}={45}^{o}$

Chọn đúng

a) $A \in Oy \Rightarrow A\left( {0;\, - 2;\,0} \right)$

Chọn đúng

b) Vì $OB$ là đường cao của tam giác $ABC$ nên $OB = 2\sqrt 3$$\Rightarrow B'\left( {2\sqrt 3 ;\,0;\,6} \right)$;

Chọn Sai

c)$A'\left( {0; - 2;7} \right)$, $B'\left( {2\sqrt 3 ;\,0;\,6} \right)$, $C'\left( {0;\,2;\,5} \right)$

$\overrightarrow {A'B'} = \left( {2\sqrt 3 ;\,2;\, - 1} \right)$, $\overrightarrow {A'C'} = \left( {0;\,4;\, - 2} \right)$

Khi đó $\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = \left( {0;\,4\sqrt 3 ;8\sqrt 3 } \right) = 4\sqrt 3 \left( {0;1;2} \right)$

Do đó một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {A'B'C'} \right)$ là $\vec u = \left( {0;1;2} \right)$;