Đề tuyển sinh vào lớp 10 Toán năm 2026-2027 (Chung) Sở Lạng Sơn (có đáp án)

Một chiếc thang được tựa vào tường, đầu thang cách mặt đất $5{\rm{ m}}$ và thang nghiêng một góc $60^\circ$ so với mặt đất. Chiều dài của chiếc thang là (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

(1,5 điểm)

a) Tính giá trị của biểu thức $A = 3\sqrt 2 - \sqrt {18} + \sqrt {25} .$

b) Rút gọn biểu thức $P = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{3}{{\sqrt x - 3}}} \right):\frac{{x + 1}}{{x - 9}}$ với $x \ge 0,x \ne 9.$ Tìm $x$ để $P = 3.$

(2,5 điểm)

a) Cho hàm số $y = - 3{x^2}$ có đồ thị $\left( P \right).$ Tìm tọa độ các điểm thuộc $\left( P \right)$ có tung độ bằng $- 27.$

b) Giải hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{4x + y = 11}\\{3x - y = 3}\end{array}} \right.$

c) Một bạn học sinh đi xe đạp điện từ nhà đến trường trên quãng đường $8{\rm{ km}}$ với tốc độ không đổi. Lúc về, bạn tăng tốc độ thêm $4{\rm{ km/h}}$ nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 4 phút. Tính tốc độ lúc đi của bạn học sinh đó.

(1,0 điểm) Thống kê số lượng đặc sản na Chi Lăng đóng hộp bán ra trong một ngày tại một cửa hàng, ta được bảng sau:

Giả sử trong ngày hôm đó mỗi khách hàng đến cửa hàng mua 1 hộp na.

a) Lập bảng tần số tương đối cho bảng dữ liệu trên.

b) Phỏng vấn ngẫu nhiên một khách hàng mua na. Tính xác suất của biến cố A: “Khách hàng được phỏng vấn mua na loại hộp 5 kg trở lên”.

(1,0 điểm)

a) Để phục vụ việc di chuyển của khách hàng giữa các tầng trong trung tâm thương mại X, chủ đầu tư cho lắp hệ thống thang cuốn tự động. Biết rằng thang cuốn $AB$ có chiều dài $7{,}5{\rm{ m}}$ và nghiêng một góc $33^\circ$ so với phương ngang. Tính khoảng cách giữa hai tầng liên tiếp $AH$ của trung tâm thương mại X (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười, đơn vị là m).

b) Bạn Thu dùng gáo nước dạng nửa hình cầu bán kính $6{\rm{ cm}}$ múc nước trong thùng hình trụ có bán kính đáy là $12{\rm{ cm}},$ chiều cao $40{\rm{ cm}}$ để tưới cây cảnh trong sân trường. Biết rằng mỗi cây cần tưới 2 gáo nước đầy.

i) Tính thể tích thùng nước (Không làm tròn kết quả, lấy $\pi \approx 3{,}14,$ đơn vị là ${\rm{c}}{{\rm{m}}^3}$).

ii) Thùng nước hình trụ khi đầy nước sẽ đủ nước để tưới cho bao nhiêu cây?

(2,0 điểm) Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB < AC)$ nội tiếp trong đường tròn $\left( O \right).$ Các đường cao $BE,CF$ cắt nhau tại $H.$

a) Chứng minh tứ giác $BFEC$ nội tiếp.

b) Gọi $AM$ là đường kính của đường tròn $\left( O \right),$ $N$ là giao điểm của $BC$ và $AM,$ $P$ là giao điểm của $AH$ và $FE.$ Giả sử $HM$ cắt đường tròn $\left( O \right)$ tại điểm thứ hai $G.$ Chứng minh rằng $\widehat {BAH} = \widehat {MAC}$ và $NP \bot AG.$