Đề thi Giữa kì 1 Toán 8 năm 2024-2025 Archimedes (Hà Nội) có đáp án

a) $A = 2x\left( {x + 1} \right) + \left( {x + 2} \right)\left( {1 - 2x} \right)$

$A = 2{x^2} + 2x + x - 2{x^2} + 2 - 4x$

$A = - x + 2$.

b) $B = {(x + 1)^2} + \left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)$

$B = {x^2} + 2x + 1 + 4{x^2} - 1$

$B = 5{x^2} + 2x$.

c) $C = \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right) - 2\left( {{x^2} + 4} \right)$

$C = {x^3} + 8 - 2{x^2} - 8$

$C = {x^3} - 2{x^2}$.

d) $D = \left( {2x + 4} \right)\left( {x - 2} \right) + {(x - 2)^2} + {(x + 2)^2}$

$D = {(x + 2)^2} + 2\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right) + {(x - 2)^2}$

$D = {(x + 2 + x - 2)^2}$

$D = {(2x)^2}$

$D = 4{x^2}$.

a) $x\left( {x + 1} \right) - \left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right) = 0$

${x^2} + x - {x^2} + 4 = 0$

$x + 4 = 0$

$x = - 4$

Vậy $x = - 4$.

b) ${(2x + 1)^2} - 4{(x + 1)^2} = 0$

$4{x^2} + 4x + 1 - 4({x^2} + 2x + 1) = 0$

$4{x^2} + 4x + 1 - 4{x^2} - 8x - 4 = 0$

$- 4x - 3 = 0$

$- 4x = 3$

$x = \frac{{ - 3}}{4}$

Vậy $x = \frac{{ - 3}}{4}$.

c) ${x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 = 27$

${\left( {x - 1} \right)^3} = {3^3}$

$x - 1 = 3$

$x = 4$

Vậy $x = 4$.

d) ${(x + 2)^3} - \left( {{x^3} + 8} \right) = 0$

${x^3} + 6{x^2} + 12x + 8 - {x^3} - 8 = 0$

$6{x^2} + 12x = 0$

$6x\left( {x + 2} \right) = 0$

Suy ra: $x = 0$ hoặc $x = - 2$

Vậy $x \in \left\{ {0; - 2} \right\}$.

a) Phần diện tích tăng lên của mảnh mảnh vườn theo $x$ là $S = 5\,.\,x\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$

b) Thay $x = 20$ vào $S$ ta có $S = 5\,.\,20 = 100\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$

a) Vì $ABCD$ là hình vuông (giả thiết) nên $OA = OC\,;\,\,OB = OD\,;\,\,AD\parallel BC$ (tính chất)

$\Rightarrow \widehat {EBO} = \widehat {FDO}$ (hai góc so le trong)

Xét $\Delta OBE$ và $\Delta ODF$ có:

$\widehat {EOB} = \widehat {FOC}$ (đối đỉnh)

$OB = OD$ (chứng minh trên)

$\widehat {EBO} = \widehat {FDO}$ (chứng minh trên)

Do đó $\Delta OBE = \Delta ODF$ (g.c.g).

b) Vì $DFOI$ là hình bình hành nên $DF = OI$, $DF\parallel OI$ (tính chất)

Ta có $\Delta OBE = \Delta ODF$ (chứng minh trên) nên $BE = DF$ (hai cạnh tương ứng)

Mà $DF = OI$ (chứng minh trên) nên $BE = OI.$

Ta có $AD\parallel BC$ (chứng minh trên) nên $BE\parallel DF$ (vì $E$ thuộc $BC$, $F$ thuộc $AD$)

Mà $DF\parallel OI$(chứng minh trên) nên $BE\parallel OI.$

Xét tứ giác $OBEI$ có:

$BE = OI$ (chứng minh trên); $BE\parallel OI$ (chứng minh trên)

Suy ra $OBEI$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết) nên $OB\parallel IE$ (tính chất)

mà $OB \bot OC$ (vì $O$ là giao điểm của hai đường chéo trong hình vuông $ABCD$)

Do đó $IE \bot OC$.

c) Có $OBEI$ là hình bình hành (chứng minh trên), mà $M$ là trung điểm của $BI$ (giả thiết)

$\Rightarrow M$là trung điểm của $OE$ (tính chất)

Có $OC = CE$ (giả thiết) $\Rightarrow \Delta OCE$ cân tại $C$ (định nghĩa).

Mà $CM$ là đường trung tuyến của $\Delta OCE$ (vì $M$ là trung điểm $OE$ – chứng minh trên)

$\Rightarrow CM$là đường cao của $\Delta OCE$ (tính chất tam giác cân).

$\Delta OCE$ có:

$CM$ là đường cao (chứng minh trên)

$EI$ là đường cao (vì $EI \bot OC$ - chứng minh trên)

$CM$ cắt $EI$ tại $H$ (giả thiết)

$\Rightarrow H$ là trực tâm của $\Delta OCE$ (tính chất).

d) Có $OB\parallel IE$ (cmt) $\Rightarrow OB\parallel HE$ (vì $H$ thuộc $IE$)

$\Rightarrow OBEH$ là hình thang đáy $OB$, $IE$ (định nghĩa)

Gọi $K$ là giao điểm của $OH$ và $BC$

Mà $H$ là trực tâm của tam giác $OCE$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow OK \bot BC$ tại $K$ (tính chất) $\Rightarrow \Delta OKB$ vuông tại $K$

Mà $\widehat {OBK} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2} = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ$ (vì $ABCD$ là hình vuông)

$\Rightarrow \Delta OBK$ vuông cân tại $K$ (dấu hiệu nhận biết), suy ra $\widehat {OBK} = \widehat {BOK} = 45^\circ$ (tính chất)

Mà $OBEH$ là hình thang (chứng minh trên)

Suy ra $OBEH$ là hình thang cân (định nghĩa)

Suy ra $BH = DE$ (tính chất).

Vì ${c^2} = 3ab + c$ nên ${c^3} = 3abc + {c^2}$

Mà ${c^2} = {a^3} + {b^3}$ nên ${c^3} = 3abc + {a^3} + {b^3}$

${a^3} + {b^3} - {c^3} + 3abc = 0$

${\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right) - {c^3} + 3abc = 0$

${\left( {a + b} \right)^3} - {c^3} - 3ab\left( {a + b - c} \right) = 0$

$\left( {a + b - c} \right)\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} + \left( {a + b} \right)c + {c^2}} \right] - 3ab\left( {a + b - c} \right) = 0$

$\left( {a + b - c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + ab + bc + ca} \right) = 0$

Mà $a,b,c > 0$ nên ${a^2} + {b^2} + {c^2} + ab + bc + ca > 0$

Suy ra $a + b - c = 0$

Xét $A = {a^4} + {b^4} + {c^4} - 2{a^2}{b^2} - 2{b^2}{c^2} - 2{c^2}{a^2}$

$= {\left( {{a^2} - {b^2}} \right)^2} + {c^4} - 2{b^2}{c^2} - 2{c^2}{a^2}$

$= {\left( {{a^2} - {b^2}} \right)^2} + {c^4} - 2\left( {{a^2} - {b^2}} \right){c^2} - 4{b^2}{c^2}$

$= {\left( {{a^2} - {b^2} - {c^2}} \right)^2} - {\left( {2bc} \right)^2}$

$= \left( {{a^2} - {b^2} - {c^2} - 2bc} \right)\left( {{a^2} - {b^2} - {c^2} + 2bc} \right)$

$= \left[ {{a^2} - {{\left( {b + c} \right)}^2}} \right]\left[ {{a^2} - {{\left( {b - c} \right)}^2}} \right]$

$= \left( {a - b - c} \right)\left( {a + b + c} \right)\left( {a - b + c} \right)\left( {a + b - c} \right)$

Mà $a + b - c = 0$

Suy ra $A = 0$

Vậy $2{a^2}{b^2} + 2{b^2}{c^2} + 2{c^2}{a^2} = {a^4} + {b^4} + {c^4}$.