Đề thi giữa kì 1 Toán 12 năm 2024-2025 THPT Thăng Long (Hà Nội) có đáp án

Ta có $\vec u\left( {1;a;2} \right)$ và $\vec v\left( { - 3;9;b} \right)$ cùng phương nên $\frac{{ - 3}}{1} = \frac{9}{a} = \frac{b}{2} = - 3$.

Từ $\frac{9}{a} = - 3 \Rightarrow a = - 3$.

Từ $\frac{b}{2} = - 3 \Rightarrow b = - 6$.

Tính ${a^2} + b = {\left( { - 3} \right)^2} + \left( { - 6} \right) = 9 - 6 = 3$.

Chọn C.

Tập xác định: $2x - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow x \in \left[ {0;2} \right]$.

Đạo hàm: $y' = \frac{{{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {2x - {x^2}} }} = \frac{{2 - 2x}}{{2\sqrt {2x - {x^2}} }} = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }}$.

$y' = 0 \Leftrightarrow 1 - x = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in \left( {0;2} \right)$.

Qua điểm $x = 1$, $y'$ đổi dấu từ dương sang âm, do đó hàm số đạt cực đại tại $x = 1$. Vậy hàm số có 1 điểm cực trị.

Chọn B.

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 5; - 4; - 1} \right)$ và $\overrightarrow {AC} = \left( {3;1;2} \right)$.

Tính tích vô hướng và độ dài:

$\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left( { - 5} \right) \cdot 3 + \left( { - 4} \right) \cdot 1 + \left( { - 1} \right) \cdot 2 = - 15 - 4 - 2 = - 21$

$\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt {42}$

$\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{3^2} + {1^2} + {2^2}} = \sqrt {14}$

Suy ra: $\cos A = \frac{{ - 21}}{{\sqrt {42} \cdot \sqrt {14} }} = \frac{{ - 21}}{{14\sqrt 3 }} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \widehat A = 150^\circ$.

Chọn C.

Với mọi $x \in \left( {0; + \infty } \right)$, áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: $x + \frac{1}{x} \ge 2\sqrt {x \cdot \frac{1}{x}} = 2$.

Suy ra: $f\left( x \right) = x - 5 + \frac{1}{x} \ge 2 - 5 = - 3$.

Dấu "=" xảy ra khi $x = \frac{1}{x} \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x = 1$ (vì $x > 0$).

Vậy $\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} f\left( x \right) = - 3$.

Chọn B.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2;2} \right\}$.

Tiệm cận ngang: Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{2x}}{{{x^2} - 4}} = 0 \Rightarrow y = 0$ là đường tiệm cận ngang.

Tiệm cận đứng: Mẫu số bằng $0$ tại $x = 2$ và $x = - 2$. Do tử số tại hai điểm này đều khác không nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = + \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} y = + \infty$. Suy ra đồ thị có 2 tiệm cận đứng là $x = 2$ và $x = - 2$.

Tổng số đường tiệm cận là $1 + 2 = 3$.

Chọn D.