Toán · Lớp 11

Đề thi cuối kì 1 Toán 11 năm 2025-2026 TH, THCS và THPT Trương Vĩnh Ký (TP.HCM) có đáp án

22 câu · 33 phút · Ngân hàng đề TopStudy. Đáp án và lời giải do TopStudy biên soạn, mở ngay dưới từng câu.

Nội dung đề

Phần I. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn

Câu 1

1 điểm

PHẦN I. (3,0 điểm) Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ .

Hình minh hoạ

Mặt phẳng $\left( {AB'D'} \right)$ song song với mặt phẳng nào sau đây?

Đáp án A: $\left( {ACD'} \right)$ .
Đáp án B: $\left( {BA'C'} \right)$ .
Đáp án C: $\left( {C'BD} \right)$ .
Đáp án D: $\left( {BDA'} \right)$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

Trong hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ , ta có:

- $BD{\rm{//}}B'D'$ (do $BB'D'D$ là hình bình hành) $\Rightarrow BD{\rm{//}}\left( {AB'D'} \right)$ .
- $BC'{\rm{//}}AD'$ (do $ABC'D'$ là hình bình hành) $\Rightarrow BC'{\rm{//}}\left( {AB'D'} \right)$ .

Do đó, hai đường thẳng cắt nhau $BD$ và $BC'$ cùng nằm trong mặt phẳng $\left( {C'BD} \right)$ và song song với mặt phẳng $\left( {AB'D'} \right)$ . Theo tính chất song song, ta suy ra: $\left( {C'BD} \right){\rm{//}}\left( {AB'D'} \right)$ .

Chọn C.

Câu 2

1 điểm

Trong các hệ thức dưới đây, hệ thức nào sai?

Đáp án A: $1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}$ với $\alpha \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}$ .
Đáp án B: $1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$ với $\alpha \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$ .
Đáp án C: ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$ .
Đáp án D: $\tan \alpha \cdot \cot \alpha = - 1$ với $\alpha \ne k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: D

Theo các công thức lượng giác cơ bản, ta có: $\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1\quad \left( {\alpha \ne k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}} \right)$ .

Do đó, hệ thức $\tan \alpha \cdot \cot \alpha = - 1$ ở phương án D là sai.

Chọn D.

Câu 3

1 điểm

Giới hạn

\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{{x^2} - 9}} = \frac{a}{b}

với

\frac{a}{b}

là phân số tối giản và

a,b \in \mathbb{Z}

. Khi đó

a + b

bằng:

Đáp án A: 5.
Đáp án B: 7.
Đáp án C: 6.
Đáp án D: 0.

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: B

Ta phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử để khử dạng vô định $\frac{0}{0}$ :

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{{x^2} - 9}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x - 2}}{{x + 3}} = \frac{{3 - 2}}{{3 + 3}} = \frac{1}{6}$ .

Từ đó, ta có $\frac{a}{b} = \frac{1}{6}$ là phân số tối giản, suy ra $a = 1$ và $b = 6$ .

Giá trị của tổng $a + b$ là: $a + b = 1 + 6 = 7$ .

Chọn B.

Câu 4

1 điểm

Cho đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ như hình vẽ là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

Hình minh hoạ

Đáp án A: $y = \cos x$ .
Đáp án B: $y = \sin x$ .
Đáp án C: $y = \cot x$ .
Đáp án D: $y = \tan x$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Dựa vào hình vẽ đồ thị hàm số:

Đồ thị đi qua điểm $\left( {0;1} \right)$ , nghĩa là khi $x = 0$ thì $y = 1$ . Kiểm tra với hàm số $y = \cos x$ , ta có $\cos 0 = 1$ (thỏa mãn). Trong khi đó $\sin 0 = 0$ .

Đồ thị có tính chất đối xứng qua trục tung $Oy$ , là đồ thị của hàm số chẵn $y = \cos x$ .

Chọn A.

Câu 5

1 điểm

Phương trình

2\cos x - \sqrt 3 = 0

có các nghiệm là:

Đáp án A: $x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ .
Đáp án B: $x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ .
Đáp án C: $x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ .
Đáp án D: $x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

Ta có $2\cos x - \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right)$ $\Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi \quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ .

Chọn C.

Câu 6

1 điểm

Cho cấp số nhân có số hạng đầu

{u_1} = 1

{u_2} = 3

. Công bội của cấp số nhân là:

Đáp án A: $q = 2$ .
Đáp án B: $q = 3$ .
Đáp án C: $q = \frac{1}{3}$ .
Đáp án D: $q = - 3$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 6

Câu 7

1 điểm

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành.

Hình minh hoạ

Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ là đường thẳng đi qua $S$ song song với đường thẳng:

Đáp án A: $AD$ .
Đáp án B: $BD$ .
Đáp án C: $DC$ .
Đáp án D: $AC$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 7

Câu 8

1 điểm

Số lượng người đi xem một bộ phim mới theo độ tuổi trong một rạp chiếu phim (sau 1 giờ đầu công chiếu) được ghi lại theo bảng phân phối ghép nhóm sau:

Độ tuổi	[10; 20)	[20; 30)	[30; 40)	[40; 50)	[50; 60)
Số người	30	48	11	9	2

Độ tuổi được dự báo là thích xem phim đó nhiều nhất là:

Đáp án A: 22.
Đáp án B: 25.
Đáp án C: 23.
Đáp án D: 24.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 8

Câu 9

1 điểm

Giới hạn

\lim \frac{2}{{{n^3}}}

bằng:

Đáp án A: $+ \infty$ .
Đáp án B: 2.
Đáp án C: 0.
Đáp án D: $\frac{2}{3}$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 9

Câu 10

1 điểm

Cho dãy số

\left( {{u_n}} \right)

có số hạng tổng quát

{u_n} = {2^n} + 1

. Giá trị

{u_5}

là:

Đáp án A: 127.
Đáp án B: 33.
Đáp án C: 65.
Đáp án D: 15.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 10

Câu 11

1 điểm

Cho góc lượng giác

\alpha

có số đo bằng

120^\circ

. Số đo theo đơn vị radian của góc

\alpha

là:

Đáp án A: $\frac{\pi }{3}$ .
Đáp án B: $\frac{{2\pi }}{3}$ .
Đáp án C: $\frac{\pi }{6}$ .
Đáp án D: $\frac{{3\pi }}{2}$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 11

Câu 12

1 điểm

Một công ty xây dựng khảo sát 300 khách hàng xem họ có nhu cầu mua nhà ở mức giá nào. Kết quả khảo sát ghi lại ở bảng sau:

Mức giá (triệu đồng/m $^{2}$ )	[10; 14)	[14; 18)	[18; 22)	[22; 26)	[26; 30)
Số khách hàng	55	78	110	45	12

Mức giá mua nhà trung bình là:

Đáp án A: $\frac{{1381}}{{75}}$ triệu đồng/ ${{\rm{m}}^{\rm{2}}}$ .
Đáp án B: $\frac{{92}}{5}$ triệu đồng/ ${{\rm{m}}^{\rm{2}}}$ .
Đáp án C: 18,41 triệu đồng/ ${{\rm{m}}^{\rm{2}}}$ .
Đáp án D: 18,42 triệu đồng/ ${{\rm{m}}^{\rm{2}}}$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 12

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 13

1 điểm

PHẦN II. (2,0 điểm) Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Một công ty cung cấp nước sạch thống kê lượng nước các hộ gia đình trong một khu vực tiêu thụ trong một tháng ở bảng sau:

Lượng nước tiêu thụ (m $^{3}$ )	[3; 6)	[6; 9)	[9; 12)	[12; 15)	[15; 18)
Số hộ gia đình	24	57	42	29	8

Ý a: Cỡ mẫu của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là 160.
Ý b: Mốt của mẫu số liệu là ${M_o} = 8{,}0625$ .
Ý c: Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là 9,375.
Ý d: Công ty muốn gửi một thông báo khuyến nghị tiết kiệm nước đến 25% các hộ gia đình có lượng nước tiêu thụ cao nhất. Khi đó công ty nên gửi thông báo tiết kiệm nước đến các hộ gia đình có lượng nước tiêu thụ từ $11{,}79\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}$ nước trở lên. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 13

Câu 14

1 điểm

Cho hàm số

f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\frac{{4 - \sqrt {3x + 4} }}{{4 - x}}}&{{\rm{khi\;}}x > 4}\\{2x - 4}&{{\rm{khi\;}}x \le 4}\end{array}} \right.

Ý a: $f\left( 4 \right) = 4$ .
Ý b: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right) = 4$ .
Ý c: Hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục tại $x = 4$ .
Ý d: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{f^2}\left( x \right) - 2f\left( x \right)}}{{{x^2} - 5x + 12}} = 4$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 14

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 15

1 điểm

PHẦN III. (2,0 điểm) Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Ở mỗi câu, thí sinh chỉ cần ghi kết quả của bài toán.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$ , $AB = 3CD$ . Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ . Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $O$ , song song với mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$ và cắt các cạnh $AD,BC,SA,SB$ lần lượt tại các điểm $M,N,Q,P$ . Biết rằng tam giác $SCD$ là tam giác vuông tại $D$ và $CD = 4,SD = 8$ . Diện tích của tứ giác $MNQP$ bằng bao nhiêu?

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 15

Câu 16

1 điểm

Một khay đựng nước có nhiệt độ của nước là

28^\circ {\rm{C}}

được đặt vào ngăn đá của tủ lạnh. Biết rằng, cứ sau 30 phút thì nhiệt độ của nước sẽ giảm đi

25\%

so với nhiệt độ của thời gian liền trước đó. Hỏi sau 3 giờ, kể từ lúc đặt khay nước vào tủ lạnh thì nhiệt độ của nước trong khay là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn về hàng phần trăm).

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 16

Câu 17

1 điểm

Kết quả của giới hạn

\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} - 8x + 5} - 2x + 2025} \right)

bằng bao nhiêu?

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 17

Câu 18

1 điểm

Trong dịp Tết Nguyên Đán, nhu cầu sử dụng Internet (dữ liệu di động) của người dân tại một thành phố lớn thường xuyên thay đổi trong ngày. Lượng dữ liệu sử dụng $D$ (MegaBytes/phút) được tính tại thời điểm $t$ (giờ) trong một ngày (tính từ 0 giờ) bởi công thức:

$D\left( t \right) = 4\sin \left( {\frac{\pi }{{12}}\left( {t - 10} \right) + \frac{\pi }{6}} \right) + 20$ (với $0 \le t < 24$ ).