Một người điều khiển ô tô đang ở đường dẫn muốn nhập làn vào đường cao tốc. Khi ô tô cách điểm nhập làn 200m, tốc độ của ô tô là 36km/h. Hai giây sau đó, ô tô bắt đầu tăng tốc với tốc độ v(t)=at+b(a,b∈R,a>0), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc. Biết rằng ô tô nhập làn cao tốc sau 12 giây và duy trì sự tăng tốc trong 24 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc, sau 24 giây đó ô tô duy trì tốc độ cao nhất trong 24 giây đầu trong thời gian còn lại trên cao tốc.
aÝ a: Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là 180m.
bÝ b: Vận tốc của ô tô tại thời điểm nhập làn là 72km/h.
cÝ c: Quãng đường mà ô tô đi được trong thời gian 30 giây kể từ khi ô tô cách điểm nhập làn 200m là 620m.
dÝ d: Sau 24 giây kể từ khi tăng tốc, ô tô duy trì tốc độ cao nhất trong vòng 5 giây thì phát hiện chướng ngại vật cách đó 300m, người điều khiển lập tức đạp phanh và ô tô chuyển động chậm dần đều với gia tốc a(t)=−3(m/s2). Khi đó ô tô dừng lại cách chướng ngại vật 10m.
Trước 3 tiếng khi diễn ra trận Derby thành Manchester giữa MU-MC. Người ta phỏng vấn ngẫu nhiên 100 người hâm mộ của MU (có 20 người đang mặc áo của đội bóng) về việc có nên xem trận đấu đó hay không. Kết quả cho thấy rằng 75 người trả lời sẽ xem, 25 người trả lời sẽ không xem. Nhưng thực tế cho thấy rằng tỉ lệ người hâm mộ MU thực sự xem trận đấu tương ứng với những cách trả lời “có xem” và “không xem” là 80% và 20%.
Gọi A là biến cố “Người được phỏng vấn thực sự sẽ xem trận đấu”.
Gọi B là biến cố “Người được phỏng vấn trả lời sẽ xem trận đấu”.
aÝ a: P(AB)=0,6.
bÝ b: Tỉ lệ người được phỏng vấn thực sự sẽ xem trận đấu là 72,5%.
cÝ c: Trong số người được phỏng vấn thực sự sẽ xem có 17% người trả lời không xem khi được phỏng vấn.
dÝ d: Trong số những người mặc áo đội bóng có 30% người phỏng vấn thực sự sẽ không xem trận đấu biết rằng số người được phỏng vấn thực sự sẽ xem trận đấu mặc áo đội bóng là 14 người.
Các thiên thạch có đường kính lớn hơn 140 m và có thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn 7 500 000 km được coi là những vật thể có khả năng va chạm gây nguy hiểm cho Trái Đất. Để theo dõi những thiên thạch này, các nhà nghiên cứu của trung tâm Vũ Trụ Nasa đã thiết lập các trạm quan sát các vật thể bay gần Trái Đất. Giả sử có một hệ thống có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao không quá 4 600 km so với mực nước biển. Coi Trái Đất là khối cầu có bán kính 6 400 km. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian có gốc O là tâm Trái Đất và đơn vị độ dài mỗi trục tọa độ là 1 000 km. Một thiên thạch (coi như một hạt) chuyển động với tốc độ v1=22⋅103(km/h) không đổi theo đường thẳng xuất phát từ điểm M(0;5;12) đến N(12;5;0).
aÝ a: Khoảng cách thiên thạch gần với Trái Đất nhất có độ dài bằng 3 449 km (kết quả được làm tròn đến hàng đơn vị).
bÝ b: Các nhà nghiên cứu của trung tâm vũ trụ Nasa đưa ra giả thiết nếu lúc thiên thạch đang ở vị trí M bất ngờ đổi hướng và lao xuống Trái Đất với phương thẳng thì quãng đường dài nhất nó có thể va chạm với Trái Đất là 14 490 km (kết quả được làm tròn đến hàng đơn vị).
cÝ c: Tại thời điểm thiên thạch ở vị trí M thì có hai vệ tinh đang ở vị trí A(−6;−5;−6), B(7;−6;7) có vận tốc khác nhau di chuyển trong mặt phẳng trung trực của MN và luôn cách Trái Đất với khoảng cố định. Khoảng cách xa nhất của 2 vệ tinh có thể đạt là 18 412 km (kết quả được làm tròn đến hàng đơn vị).
dÝ d: Nếu vệ tinh A đi với vận tốc v2=3π97⋅103(km/h) thì sẽ va chạm với thiên thạch.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2. Cạnh BA′=6. Khoảng cách giữa hai đường thẳng A′B và B′C là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Một cốc nước hình trụ có đường kính đáy bằng 7cm, chiều cao 15cm. Trong cốc chứa một lượng nước bằng 32 thể tích cốc. Một con quạ muốn uống được nước trong cốc thì mặt nước phải cách miệng cốc không quá 3cm. Con quạ thông minh đã mổ những viên sỏi hình cầu có bán kính 0,9cm thả vào cốc để mực nước dâng lên. Hỏi để uống được nước, con quạ cần thả ít nhất bao nhiêu viên sỏi?
Cho vật thể có đáy là hình tròn có bán kính bằng 1 (tham khảo hình vẽ). Khi cắt vật thể bằng mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x(−1≤x≤1) thì được thiết diện là một tam giác đều. Thể tích V của vật thể đó là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 400 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất x sản phẩm (1≤x≤400) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là F(x)=x3−1999x2+1001000x+250000(đồng).Trong đó, chi phí vận hành máy móc cho mỗi sản phẩm là G(x)=23x+1100000x (đồng). Tổng chi phí mua nguyên vật liệu là H(x)=2x3+100000x−50000 (đồng) nhưng do doanh nghiệp mua với số lượng lớn nên được giảm 1% cho 200 sản phẩm đầu tiên doanh nghiệp sản xuất và giảm 2% cho sản phẩm tiếp theo. Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):x2+y2+z2−2x−2z−38=0 và hai mặt phẳng (α):x+2y−4=0;(β):3y+z−5=0. Xét (P) là mặt phẳng thay đổi, song song với giao tuyến của hai mặt phẳng (α),(β) và tiếp xúc với mặt cầu (S). Khoảng cách lớn nhất từ điểm A(5;−5;6) đến mặt phẳng (P) bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Có hai hộp bi, hộp I có 5 bi trắng và 7 bi đỏ, hộp II có 10 bi trắng và 15 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên hai viên bi từ hộp I chuyển sang hộp II. Sau đó, từ hộp II lấy ngẫu nhiên 1 viên bi thì được bi trắng. Xác suất để 2 bi chuyển từ hộp I sang hộp II không cùng màu là ba (là phân số tối giản). Tính a+b.
