Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 7 Kết nối tri thức cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 3

Hướng dẫn giải

Cách 1: Chia cả tử số và mẫu số cho $y$ ta được:

$A = \frac{{2.\frac{x}{y} + 3.\frac{y}{y}}}{{\frac{x}{y} + 2.\frac{y}{y}}} = \frac{{2.\frac{x}{y} + 3}}{{\frac{x}{y} + 2}} = \frac{{2.\frac{1}{2} + 3}}{{\frac{1}{2} + 2}} = \frac{8}{5}$.

Cách 2: Từ $\frac{x}{y} = \frac{1}{2}$ suy ra $y = 2x$. Thay vào $A$ ta được: $A = \frac{{2x + 3y}}{{x + 2y}} = \frac{{2x + 3 \cdot 2x}}{{x + 2 \cdot 2x}} = \frac{{8x}}{{5x}} = \frac{8}{5}.$

Hướng dẫn giải

Ta có: ${\left( {{x^2} - 9} \right)^2} \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

$\left| {y - 2} \right| \ge 0$ với mọi $y \in \mathbb{R}$

Khi đó ${\left( {{x^2} - 9} \right)^2} + \left| {y - 2} \right| \ge 0$ nên ${\left( {{x^2} - 9} \right)^2} + \left| {y - 2} \right| + 10 \ge 0 + 10.$

Do đó ${\left( {{x^2} - 9} \right)^2} + \left| {y - 2} \right| + 10 \ge 10$.

Dấu xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 9 = 0\\\left| {y - 2} \right| = 0\end{array} \right.$ nên $\left\{ \begin{array}{l}x = \pm 3\\y = 2\end{array} \right.$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A$ bằng $10$ khi $\left( {x;y} \right) = \left( { - 3;2} \right)$ hay $\left( {x\,;y} \right) = \left( {3\,;2} \right)$.

Hướng dẫn giải

Ta có $25 - {y^2} = 8{\left( {x - 2005} \right)^2}$ nên ${(x-2005)}^{2}=\frac{25-{y}^{2}}{8}(1)$

Vì $x,\,y$ là các số nguyên dương và ${\left( {x - 2005} \right)^2} \ge 0$ nên $\left( 1 \right)$ suy ra $0 < y \le 5\,;\,\,25 - {y^2} \in B\left( 8 \right).$

Ta lập bảng sau:

Vậy $x = 2005\,;\,\,y = 5$ thỏa yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải

Ta có: ${\left( {x + \frac{{2021}}{{2022}}} \right)^2} \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

$\left| {y - \frac{{2022}}{{2023}}} \right| \ge 0$ với mọi $y \in \mathbb{R}$

Khi đó ${\left( {x + \frac{{2021}}{{2022}}} \right)^2} + \left| {y - \frac{{2022}}{{2023}}} \right| \le 0$ nên ${\left( {x + \frac{{2021}}{{2022}}} \right)^2} + \left| {y - \frac{{2022}}{{2023}}} \right| = 0$

Do đó $\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{{2021}}{{2022}} = 0\\y - \frac{{2022}}{{2023}} = 0\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{2021}}{{2022}}\\y = \frac{{2022}}{{2023}}\end{array} \right.$.

Hướng dẫn giải

Ta có $VT = \left| {2x + 3} \right| + \left| {2x - 1} \right| = \left| {2x + 3} \right| + \left| {1 - 2x} \right| \ge \left| {2x + 3 + 1 - 2x} \right| = 4$.

Ta có ${\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0$ suy ra $3{\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0$ nên $3{\left( {x + 1} \right)^2} + 2 \ge 2$.

Do đó $VP = \frac{8}{{3{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 2}} \le 4$.

Ta thấy $\left\{ \begin{array}{l}VT \ge 4\\VP \le 4\end{array} \right.$. Mà $VT = VP$ nên $VT = VP = 4$.

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\\left( {2x + 3} \right)\left( {1 - 2x} \right) > 0\end{array} \right.$ nên $x = - 1$.

Vậy $x = - 1$.