Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 7 Kết nối tri thức cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 3

a) Xét $\Delta IHB$ và $\Delta IKC$ có:

$\widehat {IHB} = \widehat {IKC} = 90^\circ$$(IH \bot AB,IK \bot AC)$.

$IB = IC$ ($I$ là trung điểm của $BC$)

$\widehat {HBI} = \widehat {ICK}$ ($\Delta ABC$ cân)

Suy ra $\Delta IHB = \Delta IKC$ (cạnh huyền - góc nhọn)

b) Ta có: $IH = IK$ ($\Delta IHB = \Delta IKC$)

Xét $\Delta HIE$ và $\Delta KIF$ có:

$\widehat {EHI} = \widehat {KFI}\,\,\,(IH \bot AB,IK \bot AC)$.

$IH = IK$ (chứng minh trên)

$\widehat {HIE} = \widehat {KIF}$ (đối đỉnh)

Suy ra $\Delta HIE = \Delta KIF$ (g.c.g)

Do đó, $HE = KF$ (2 cạnh tương ứng)

Ta có $HE = HB + BE$, $KF = KC + CF$.

Mà $HE = KF,$ $BH = KC$ nên $BE = CF$.

Ta có: $AE = AB + BE,$ $AF = AC + CF$.

Mà $AB = AC,BE = CF$ nên $AE = AF$.

Do đó, $\Delta AEF$ cân tại $A$

c) Ta có: $AB = AH + HB,$ $AC = AK + KC$.

Mà $AB = AC,\,\,HB = KC$ nên $AH = AK$.

Do đó $\Delta AHK$ cân tại $A.$

Khi đó $\widehat {AHK} = \frac{{180^\circ - \widehat {EAF}}}{2}$ $\left( 1 \right)$.

Mà $\Delta AEF$ cân tại $A$ suy ra $\widehat {AEF} = \frac{{180^\circ - \widehat {EAF}}}{2}$ $\left( 2 \right)$.

Từ (1) và (2) ta có $\widehat {AEF} = \widehat {AHK}$.

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên $HK\,{\rm{//}}\,EF$ (theo dấu hiệu nhận biết).

Vì $AD$ là tia phân giác của $\widehat {BAH}$ nên: $\widehat {BAD} = \widehat {DAH} = \frac{1}{2}\widehat {BAH}$.

Ta có: $\widehat {DAC} = \widehat {BAC} - \widehat {BAD} = 90^\circ - \widehat {BAD}$.

Xét $\Delta AHD$ có: $\widehat {ADC} = 90^\circ - \widehat {DAH} = 90^\circ - \widehat {BAD}$.

Do đó: $\widehat {ADC} = \widehat {DAC}$.

Xét $\Delta ACD$ có $\widehat {ADC} = \widehat {DAC}$ (chứng minh trên)

Do đó: $\Delta ADC\,$ cân tại $C$.

b)

Xét $\Delta ADI$ và $\Delta AHD$ có:

$\widehat {AID} = \widehat {AHD} = 90^\circ$.

$\widehat {IAD} = \widehat {HAD}$ (chứng minh trên)

$AD$ cạnh chung

Do đó: $\Delta ADI$ = $\Delta AHD$ (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra: $DI = DH$ (2 cạnh tương ứng) (*)

Xét $\Delta BAE$ có $BE = BA$ (giả thiết) suy ra $\Delta BAE$ cân tại $B$ do đó $\widehat {BAE} = \widehat {BEA}$ (2 góc ở đáy) (1)

Ta có: $EJ \bot AC$; $BA \bot AC$ ($\Delta ABC$ vuông tại $A$) suy ra $EJ\parallel BA$ nên $\widehat {JEA} = \widehat {EAB}$ (so le trong) (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\widehat {JEA} = \widehat {BEA}$ hay $\widehat {JEA} = \widehat {HEA}$.

Xét $\Delta AHE$ và $\Delta AJE$ có:

$\widehat {AHE} = \widehat {AJE} = 90^\circ$.

$\widehat {JEA} = \widehat {HEA}$ (chứng minh trên)

$AE$ cạnh chung

Do đó: $\Delta AHE$ = $\Delta AJE$ (cạnh huyền- góc nhọn)

Suy ra: $EH = EJ$ (2 cạnh tương ứng) (**)

Ta có: $DE = DH + HE$, kết hợp với (*), (**) ta được: $DE = DI + EJ$.

c) Vì $\Delta AHE$ = $\Delta AJE$ (chứng minh trên) nên $\widehat {HAE} = \widehat {JAE}$ (2 góc tương ứng)

Ta có: $\widehat {DAE} = \widehat {DAH} + \widehat {HAE} = \frac{1}{2}\widehat {BAH} + \frac{1}{2}\widehat {HAC} = \frac{1}{2}.\left( {\widehat {BAH} + \widehat {HAC}} \right) = \frac{1}{2}.90^\circ = 45^\circ$.

Vậy $\widehat {DAE} = 45^\circ$.

d)

Ta có: $\Delta ADI$ = $\Delta ADH$ (câu b) nên $AI = AH$.

$\Delta AHE$ = $\Delta AJE$ (câu b) nên $AH = AJ$.

Do đó $AI = AJ$.

Xét $\Delta AIJ$ có $\widehat {IAJ} = 90^\circ ;\,\,AI = AJ$ do đó $\Delta AIJ$ vuông cân tại $A$ suy ra $\widehat {AIJ} = 45^\circ$ (3)

Xét $\Delta AIK$ và $\Delta AHK$ có:

$AI = AH$.

$\widehat {IAK} = \widehat {KAH}$.

$AK$ :cạnh chung

Suy ra $\Delta AIK$ = $\Delta AHK$ (c.g.c)

Có $\Delta AIK$ = $\Delta AHK$ (chứng minh trên) nên $\widehat {AIK} = \widehat {AHK}$ (2 góc tương ứng) (4)

Từ (3), (4) ta có $\widehat {AHK} = 45^\circ$.

Do đó: $\widehat {AHK} = \frac{1}{2}\widehat {AHD}$ do đó $HK$ là tia phân giác của $\widehat {AHD}$.

Xét $\Delta AHB$ có: $HK$ là tia phân giác của $\widehat {AHD}$;

$AD$ là tia phân giác của $\widehat {BAH}$;

$AD$ cắt $HK$ tại $D$.

Suy ra $BK$ là tia phân giác của góc $ABC$ nên $\widehat {ABK} = \widehat {EBK}$.

Do đó $BK$ là tia phân giác của góc $ABC$.

a) Chứng minh: $\Delta ABC = \Delta BAE$.

Vì $D$ nằm trên đường trung trực của $AB$ nên $DA = DB$.

Suy ra $\Delta DAB$ cân tại $D$.

Suy ra $\widehat {DAB} = \widehat {DBA}$ hay $\widehat {EAB} = \widehat {CBA}$.

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta BAE$ có:

$AB$ cạnh chung; $\widehat {EAB} = \widehat {CBA}$ (cmt); $AE = BC$ (giả thiết)

Vậy $\Delta ABC = \Delta BAE$ (c.g.c)

b) Chứng minh $AB\,\parallel \,CE$.

Ta có $AE = BC$ (giả thiết); $DA = DB$ (chứng minh trên)

Suy ra $DA - AE = DB - BC$ nên $DE = DC$.

Do đó $\Delta DEC$ cân tại $D$.

Suy ra $\widehat {DEC} = \widehat {DAB} = \frac{{180^\circ - \widehat {ADB}}}{2}$ hay $\widehat {DEC}$ và $\widehat {DAB}$ ở vị trí đồng vị

Do đó $AB\,\parallel CE$.

c) Trung trực của cạnh $AB,\,BE,\,AC$ cùng đi qua một điểm

Gọi $H$ là giao điểm của trung trực $AB$ và $AC$.

Suy ra $HA = HB = HC$. $\left( 1 \right)$.

Ta có $H$ và $D$ nằm trên trung trực của $AB$ nên $HD \bot AB$.

Mà $AB\parallel CE$ nên $HD \bot CE$.

Mặt khác $\Delta DEC$ cân tại $D$ có $HD \bot CE$.

Suy ra $HD$ là trung trực của $CE$ hay $HE = HC$ $\left( 2 \right)$.

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $HB = HE$ nên $H$ thuộc trung trực của $BE$.

Vậy trung trực của $AB,\,\,\,BE,\,\,\,AC$ cùng đi qua một điểm $H$.

a) Xét $\Delta BED$ và $\Delta BEC$ ta có

$BD = BC$ (giả thiết)

$\widehat {DBE} = \widehat {CBE}$ ($BE$ là phân giác của $\widehat {DBC}$)

$BE$ chung

Do đó $\Delta BED = \Delta BEC$ (c.g.c)

Suy ra $ED = EC$ (hai cạnh tương ứng)

b) Xét $\Delta DEK$ và $\Delta CEK$ có

$ED = EC$ (chứng minh trên)

$DK = CK$ ($K$ là trung điểm của $CD$)

$EK$ chung

Do đó $\Delta DEK = \Delta CEK\,\,$(c.c.c)

Suy ra $\widehat {DKE} = \widehat {CKE}$ (hai góc tương ứng)

Ta có $\widehat {DKE} + \widehat {CKE} = 180^\circ$ (hai góc kề bù) nên $\widehat {DKE} = \widehat {CKE} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ$.

Suy ra $EK \bot CD$ $\,\,\,\left( 1 \right)$

c) Xét $\Delta DBK$ và $\Delta CBK$ có

$BD = BC$ (giả thiết)

$DK = CK$ ($K$ là trung điểm của $CD$)

$BK$ chung

Do đó $\Delta DBK = \Delta CBK\,\,$(c.c.c)

Suy ra $\widehat {DKB} = \widehat {CKB}$ (hai góc tương ứng)

Ta có $\widehat {DKB} + \widehat {CKB} = 180^\circ$ (kề bù) nên $\widehat {DKB} = \widehat {CKB} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ$.

Suy ra $BK \bot CD\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\,\left( 1 \right)$ và $\,\left( 2 \right)$ suy ra $B,K,E$ thẳng hàng.

a) $A = 1{,}25 + \left| {2{,}5 - x} \right|$

Ta có: $\left| {2{,}5 - x} \right| \ge 0$ với mọi $x$

Do đó, $1{,}25 + \left| {2{,}5 - x} \right| \ge 0 + 1{,}25$ hay $1{,}25 + \left| {2{,}5 - x} \right| \ge 1{,}25$.

Dấu “=” xảy ra khi $\left| {2{,}5 - x} \right| = 0$ suy ra $2{,}5 - x = 0$ khi $x = 2{,}5$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $A = 1{,}25$ khi $x = 2{,}5$.