Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 7 Kết nối tri thức cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 3

Hướng dẫn giải

Cách 1: Chia cả tử số và mẫu số cho $y$ ta được:

$A = \frac{{2.\frac{x}{y} + 3.\frac{y}{y}}}{{\frac{x}{y} + 2.\frac{y}{y}}} = \frac{{2.\frac{x}{y} + 3}}{{\frac{x}{y} + 2}} = \frac{{2.\frac{1}{2} + 3}}{{\frac{1}{2} + 2}} = \frac{8}{5}$.

Cách 2: Từ $\frac{x}{y} = \frac{1}{2}$ suy ra $y = 2x$. Thay vào $A$ ta được: $A = \frac{{2x + 3y}}{{x + 2y}} = \frac{{2x + 3 \cdot 2x}}{{x + 2 \cdot 2x}} = \frac{{8x}}{{5x}} = \frac{8}{5}.$

Hướng dẫn giải

Ta có: ${\left( {{x^2} - 9} \right)^2} \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

$\left| {y - 2} \right| \ge 0$ với mọi $y \in \mathbb{R}$

Khi đó ${\left( {{x^2} - 9} \right)^2} + \left| {y - 2} \right| \ge 0$ nên ${\left( {{x^2} - 9} \right)^2} + \left| {y - 2} \right| + 10 \ge 0 + 10.$

Do đó ${\left( {{x^2} - 9} \right)^2} + \left| {y - 2} \right| + 10 \ge 10$.

Dấu xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 9 = 0\\\left| {y - 2} \right| = 0\end{array} \right.$ nên $\left\{ \begin{array}{l}x = \pm 3\\y = 2\end{array} \right.$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A$ bằng $10$ khi $\left( {x;y} \right) = \left( { - 3;2} \right)$ hay $\left( {x\,;y} \right) = \left( {3\,;2} \right)$.

Hướng dẫn giải

Ta có $25 - {y^2} = 8{\left( {x - 2005} \right)^2}$ nên ${(x-2005)}^{2}=\frac{25-{y}^{2}}{8}(1)$

Vì $x,\,y$ là các số nguyên dương và ${\left( {x - 2005} \right)^2} \ge 0$ nên $\left( 1 \right)$ suy ra $0 < y \le 5\,;\,\,25 - {y^2} \in B\left( 8 \right).$

Ta lập bảng sau:

Vậy $x = 2005\,;\,\,y = 5$ thỏa yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải

Ta có: ${\left( {x + \frac{{2021}}{{2022}}} \right)^2} \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

$\left| {y - \frac{{2022}}{{2023}}} \right| \ge 0$ với mọi $y \in \mathbb{R}$

Khi đó ${\left( {x + \frac{{2021}}{{2022}}} \right)^2} + \left| {y - \frac{{2022}}{{2023}}} \right| \le 0$ nên ${\left( {x + \frac{{2021}}{{2022}}} \right)^2} + \left| {y - \frac{{2022}}{{2023}}} \right| = 0$

Do đó $\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{{2021}}{{2022}} = 0\\y - \frac{{2022}}{{2023}} = 0\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{2021}}{{2022}}\\y = \frac{{2022}}{{2023}}\end{array} \right.$.

Hướng dẫn giải

Ta có $VT = \left| {2x + 3} \right| + \left| {2x - 1} \right| = \left| {2x + 3} \right| + \left| {1 - 2x} \right| \ge \left| {2x + 3 + 1 - 2x} \right| = 4$.

Ta có ${\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0$ suy ra $3{\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0$ nên $3{\left( {x + 1} \right)^2} + 2 \ge 2$.

Do đó $VP = \frac{8}{{3{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 2}} \le 4$.

Ta thấy $\left\{ \begin{array}{l}VT \ge 4\\VP \le 4\end{array} \right.$. Mà $VT = VP$ nên $VT = VP = 4$.

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\\left( {2x + 3} \right)\left( {1 - 2x} \right) > 0\end{array} \right.$ nên $x = - 1$.

Vậy $x = - 1$.

Xét phương án 2, ta có: số tiền nhận ngày thứ nhất là 3 đồng; ngày thứ hai gấp ba lần ngày thứ nhất là 9 đồng, ngày thứ ba là $9 \cdot 3\left( { = {3^3}} \right)$, ngày thứ tư là ${3^4}$, … ngày thứ 17 là ${3^{17}}$ (đồng).

Như vậy, số tiền công nhận được theo phương án 2 là:

$T = 1 + 3 + {3^2} + .... + {3^{17}}$

Có: $3T = 3 + {3^2} + {3^3} + .... + {3^{18}}$

Suy ra $3T - T = 3 + {3^2} + {3^3} + .... + {3^{18}} - \left( {1 + 3 + {3^2} + .... + {3^{17}}} \right)$

$2T = 3 + {3^2} + {3^3} + .... + {3^{18}} - 1 - 3 - {3^2} - .... - {3^{17}}$

$2T = \left( {3 - 3} \right) + \left( {{3^2} - {3^2}} \right) + \left( {{3^3} - {3^3}} \right) + .... + \left( {{3^{17}} - {3^{17}}} \right) + {3^{18}} - 1$

$2T = {3^{18}} - 1$

$T = \frac{{{3^{18}} - 1}}{2} = 193{\rm{ }}710{\rm{ }}244$ (đồng).

Do đó, nên chọn phương án 2 để nhận được nhiều tiền công hơn.

Xét phương án 1, ta có:

Ngày thứ nhất trường tiết kiệm được $\frac{1}{2}$ số điện.

Ngày thứ hai trường tiết kiệm được $\frac{1}{2} \cdot 2 = 1$ (số điện).

Ngày thứ ba trường tiết kiệm được $\frac{1}{2} \cdot {2^2} = 2$ (số điện)

….

Ngày thứ mười lăm trường tiết kiệm được $\frac{1}{2} \cdot {2^{14}} = {2^{13}}$ (số điện)

Do đó, sau mười lăm ngày, trường tiết kiệm được số điện là: $S = \frac{1}{2} + 1 + 2 + {2^2} + .... + {2^{13}}$ (số điện).

Ta có: $2S = 1 + 2 + {2^2} + ... + {2^{14}}$

Do đó, $2S - S = 1 + 2 + {2^2} + ... + {2^{14}} - \left( {\frac{1}{2} + 1 + 2 + ... + {2^{13}}} \right)$

$S = {2^{14}} - \frac{1}{2} = 16{\rm{ }}383{,}15$ (số điện)

Xét phương án 2, trường sẽ tiết kiệm được số điện là: $65 \cdot 15 = 975$ (số điện).

Nhận thấy phương án 1 sẽ tiết kiệm được nhiều số điện hơn.

Do đó, nếu chọn phương án 1 thì trường sẽ tiết kiệm được số tiền là:

$16383{,}5 \cdot 1{\rm{ }}000 = 16{\rm{ 383 }}500$ (đồng).

Gọi số câu trắc nghiệm bạn Nam đã giải trong đợt ôn thi là $x,{\rm{ }}\left( {x > 2,x \in \mathbb{N}} \right)$ và số câu bạn Nam đã trả lời đúng là $y$ (câu).

Khi đó, theo đề bài, ta có: $y + 2 = 76\% \cdot x$ và $y = 75\% \cdot \left( {x - 2} \right)$.

Suy ra ta có: $75\% \cdot \left( {x - 2} \right) + 2 = 76\% \cdot x$ hay $\frac{3}{4}x - \frac{3}{2} + 2 = \frac{{19}}{{25}}x$.

Suy ra $\frac{{19}}{{25}}x - \frac{3}{4}x = \frac{1}{2}$ hay $\frac{1}{{100}} \cdot x = \frac{1}{2}$ nên $x = \frac{1}{2} \cdot 100 = 50$ (thỏa mãn).

Vậy trong đợt ôn thi, bạn Nam đã giải 50 câu trắc nghiệm.

Vì bốn con ngựa cùng ăn hết 1 xe cỏ trong một ngày nên một con ngựa trong 1 ngày ăn được $\frac{1}{4}$ xe cỏ.

Một con dê ăn hết 1 xe cỏ trong 6 ngày nên trong một ngày nó ăn được $\frac{1}{6}$ xe cỏ.

Hai con cừu ăn hết 2 xe cỏ trong 24 ngày nên trong 1 ngày hai con ăn hết $\frac{2}{{24}} = \frac{1}{{12}}$ xe cỏ.

Do đó, một con cừu trong một ngày ăn được $\frac{1}{{12}}:2 = \frac{1}{{24}}$ ( xe cỏ).

Vậy trong một ngày, ba con ngựa, dê, cừu ăn hết số cỏ là: $\frac{1}{6} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{24}} = \frac{{11}}{{24}}$ (xe cỏ).

Vậy để chuồng có một con ngựa, một con dê và một con cừu ăn hết hai xe cỏ thì cần số ngày là: $2:\frac{{11}}{{24}} = \frac{{48}}{{11}} = 4,\left( {36} \right)$ (ngày).

Do đó, để chuồng gồm một con ngựa, một con dê và một con cừu ăn hết hai xe cỏ thì cần ít nhất 5 ngày.

Trong một giờ, vòi thứ nhất và vòi thứ hai cùng chảy được: $\frac{3}{5}:6 = \frac{1}{{10}}$ (bể).

Trong một giờ, vòi thứ hai và vòi thứ ba cùng chảy được: $\frac{7}{{12}}:5 = \frac{7}{{60}}$ (bể).

Trong một giờ, vòi thứ ba và vòi thứ nhất cùng chảy được: $\frac{3}{4}:9 = \frac{1}{{12}}$ (bể).

Một giờ cả ba vòi cùng chảy được: $\left( {\frac{1}{{10}} + \frac{7}{{60}} + \frac{1}{{12}}} \right):2 = \frac{3}{{20}}$ (bể).

Vậy thời gian để ba vòi cùng chảy đầy bể là: $1:\frac{3}{{20}} = \frac{{20}}{3}$ (giờ).