Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 7 Kết nối tri thức cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 3

a) Xét $\Delta IHB$ và $\Delta IKC$ có:

$\widehat {IHB} = \widehat {IKC} = 90^\circ$$(IH \bot AB,IK \bot AC)$.

$IB = IC$ ($I$ là trung điểm của $BC$)

$\widehat {HBI} = \widehat {ICK}$ ($\Delta ABC$ cân)

Suy ra $\Delta IHB = \Delta IKC$ (cạnh huyền - góc nhọn)

b) Ta có: $IH = IK$ ($\Delta IHB = \Delta IKC$)

Xét $\Delta HIE$ và $\Delta KIF$ có:

$\widehat {EHI} = \widehat {KFI}\,\,\,(IH \bot AB,IK \bot AC)$.

$IH = IK$ (chứng minh trên)

$\widehat {HIE} = \widehat {KIF}$ (đối đỉnh)

Suy ra $\Delta HIE = \Delta KIF$ (g.c.g)

Do đó, $HE = KF$ (2 cạnh tương ứng)

Ta có $HE = HB + BE$, $KF = KC + CF$.

Mà $HE = KF,$ $BH = KC$ nên $BE = CF$.

Ta có: $AE = AB + BE,$ $AF = AC + CF$.

Mà $AB = AC,BE = CF$ nên $AE = AF$.

Do đó, $\Delta AEF$ cân tại $A$

c) Ta có: $AB = AH + HB,$ $AC = AK + KC$.

Mà $AB = AC,\,\,HB = KC$ nên $AH = AK$.

Do đó $\Delta AHK$ cân tại $A.$

Khi đó $\widehat {AHK} = \frac{{180^\circ - \widehat {EAF}}}{2}$ $\left( 1 \right)$.

Mà $\Delta AEF$ cân tại $A$ suy ra $\widehat {AEF} = \frac{{180^\circ - \widehat {EAF}}}{2}$ $\left( 2 \right)$.

Từ (1) và (2) ta có $\widehat {AEF} = \widehat {AHK}$.

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên $HK\,{\rm{//}}\,EF$ (theo dấu hiệu nhận biết).

Vì $AD$ là tia phân giác của $\widehat {BAH}$ nên: $\widehat {BAD} = \widehat {DAH} = \frac{1}{2}\widehat {BAH}$.

Ta có: $\widehat {DAC} = \widehat {BAC} - \widehat {BAD} = 90^\circ - \widehat {BAD}$.

Xét $\Delta AHD$ có: $\widehat {ADC} = 90^\circ - \widehat {DAH} = 90^\circ - \widehat {BAD}$.

Do đó: $\widehat {ADC} = \widehat {DAC}$.

Xét $\Delta ACD$ có $\widehat {ADC} = \widehat {DAC}$ (chứng minh trên)

Do đó: $\Delta ADC\,$ cân tại $C$.

b)

Xét $\Delta ADI$ và $\Delta AHD$ có:

$\widehat {AID} = \widehat {AHD} = 90^\circ$.

$\widehat {IAD} = \widehat {HAD}$ (chứng minh trên)

$AD$ cạnh chung

Do đó: $\Delta ADI$ = $\Delta AHD$ (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra: $DI = DH$ (2 cạnh tương ứng) (*)

Xét $\Delta BAE$ có $BE = BA$ (giả thiết) suy ra $\Delta BAE$ cân tại $B$ do đó $\widehat {BAE} = \widehat {BEA}$ (2 góc ở đáy) (1)

Ta có: $EJ \bot AC$; $BA \bot AC$ ($\Delta ABC$ vuông tại $A$) suy ra $EJ\parallel BA$ nên $\widehat {JEA} = \widehat {EAB}$ (so le trong) (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\widehat {JEA} = \widehat {BEA}$ hay $\widehat {JEA} = \widehat {HEA}$.

Xét $\Delta AHE$ và $\Delta AJE$ có:

$\widehat {AHE} = \widehat {AJE} = 90^\circ$.

$\widehat {JEA} = \widehat {HEA}$ (chứng minh trên)

$AE$ cạnh chung

Do đó: $\Delta AHE$ = $\Delta AJE$ (cạnh huyền- góc nhọn)

Suy ra: $EH = EJ$ (2 cạnh tương ứng) (**)

Ta có: $DE = DH + HE$, kết hợp với (*), (**) ta được: $DE = DI + EJ$.

c) Vì $\Delta AHE$ = $\Delta AJE$ (chứng minh trên) nên $\widehat {HAE} = \widehat {JAE}$ (2 góc tương ứng)

Ta có: $\widehat {DAE} = \widehat {DAH} + \widehat {HAE} = \frac{1}{2}\widehat {BAH} + \frac{1}{2}\widehat {HAC} = \frac{1}{2}.\left( {\widehat {BAH} + \widehat {HAC}} \right) = \frac{1}{2}.90^\circ = 45^\circ$.

Vậy $\widehat {DAE} = 45^\circ$.

d)

Ta có: $\Delta ADI$ = $\Delta ADH$ (câu b) nên $AI = AH$.

$\Delta AHE$ = $\Delta AJE$ (câu b) nên $AH = AJ$.

Do đó $AI = AJ$.

Xét $\Delta AIJ$ có $\widehat {IAJ} = 90^\circ ;\,\,AI = AJ$ do đó $\Delta AIJ$ vuông cân tại $A$ suy ra $\widehat {AIJ} = 45^\circ$ (3)

Xét $\Delta AIK$ và $\Delta AHK$ có:

$AI = AH$.

$\widehat {IAK} = \widehat {KAH}$.

$AK$ :cạnh chung

Suy ra $\Delta AIK$ = $\Delta AHK$ (c.g.c)

Có $\Delta AIK$ = $\Delta AHK$ (chứng minh trên) nên $\widehat {AIK} = \widehat {AHK}$ (2 góc tương ứng) (4)

Từ (3), (4) ta có $\widehat {AHK} = 45^\circ$.

Do đó: $\widehat {AHK} = \frac{1}{2}\widehat {AHD}$ do đó $HK$ là tia phân giác của $\widehat {AHD}$.

Xét $\Delta AHB$ có: $HK$ là tia phân giác của $\widehat {AHD}$;

$AD$ là tia phân giác của $\widehat {BAH}$;

$AD$ cắt $HK$ tại $D$.

Suy ra $BK$ là tia phân giác của góc $ABC$ nên $\widehat {ABK} = \widehat {EBK}$.

Do đó $BK$ là tia phân giác của góc $ABC$.

a) Chứng minh: $\Delta ABC = \Delta BAE$.

Vì $D$ nằm trên đường trung trực của $AB$ nên $DA = DB$.

Suy ra $\Delta DAB$ cân tại $D$.

Suy ra $\widehat {DAB} = \widehat {DBA}$ hay $\widehat {EAB} = \widehat {CBA}$.

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta BAE$ có:

$AB$ cạnh chung; $\widehat {EAB} = \widehat {CBA}$ (cmt); $AE = BC$ (giả thiết)

Vậy $\Delta ABC = \Delta BAE$ (c.g.c)

b) Chứng minh $AB\,\parallel \,CE$.

Ta có $AE = BC$ (giả thiết); $DA = DB$ (chứng minh trên)

Suy ra $DA - AE = DB - BC$ nên $DE = DC$.

Do đó $\Delta DEC$ cân tại $D$.

Suy ra $\widehat {DEC} = \widehat {DAB} = \frac{{180^\circ - \widehat {ADB}}}{2}$ hay $\widehat {DEC}$ và $\widehat {DAB}$ ở vị trí đồng vị

Do đó $AB\,\parallel CE$.

c) Trung trực của cạnh $AB,\,BE,\,AC$ cùng đi qua một điểm

Gọi $H$ là giao điểm của trung trực $AB$ và $AC$.

Suy ra $HA = HB = HC$. $\left( 1 \right)$.

Ta có $H$ và $D$ nằm trên trung trực của $AB$ nên $HD \bot AB$.

Mà $AB\parallel CE$ nên $HD \bot CE$.

Mặt khác $\Delta DEC$ cân tại $D$ có $HD \bot CE$.

Suy ra $HD$ là trung trực của $CE$ hay $HE = HC$ $\left( 2 \right)$.

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $HB = HE$ nên $H$ thuộc trung trực của $BE$.

Vậy trung trực của $AB,\,\,\,BE,\,\,\,AC$ cùng đi qua một điểm $H$.

a) Xét $\Delta BED$ và $\Delta BEC$ ta có

$BD = BC$ (giả thiết)

$\widehat {DBE} = \widehat {CBE}$ ($BE$ là phân giác của $\widehat {DBC}$)

$BE$ chung

Do đó $\Delta BED = \Delta BEC$ (c.g.c)

Suy ra $ED = EC$ (hai cạnh tương ứng)

b) Xét $\Delta DEK$ và $\Delta CEK$ có

$ED = EC$ (chứng minh trên)

$DK = CK$ ($K$ là trung điểm của $CD$)

$EK$ chung

Do đó $\Delta DEK = \Delta CEK\,\,$(c.c.c)

Suy ra $\widehat {DKE} = \widehat {CKE}$ (hai góc tương ứng)

Ta có $\widehat {DKE} + \widehat {CKE} = 180^\circ$ (hai góc kề bù) nên $\widehat {DKE} = \widehat {CKE} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ$.

Suy ra $EK \bot CD$ $\,\,\,\left( 1 \right)$

c) Xét $\Delta DBK$ và $\Delta CBK$ có

$BD = BC$ (giả thiết)

$DK = CK$ ($K$ là trung điểm của $CD$)

$BK$ chung

Do đó $\Delta DBK = \Delta CBK\,\,$(c.c.c)

Suy ra $\widehat {DKB} = \widehat {CKB}$ (hai góc tương ứng)

Ta có $\widehat {DKB} + \widehat {CKB} = 180^\circ$ (kề bù) nên $\widehat {DKB} = \widehat {CKB} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ$.

Suy ra $BK \bot CD\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\,\left( 1 \right)$ và $\,\left( 2 \right)$ suy ra $B,K,E$ thẳng hàng.

a) $A = 1{,}25 + \left| {2{,}5 - x} \right|$

Ta có: $\left| {2{,}5 - x} \right| \ge 0$ với mọi $x$

Do đó, $1{,}25 + \left| {2{,}5 - x} \right| \ge 0 + 1{,}25$ hay $1{,}25 + \left| {2{,}5 - x} \right| \ge 1{,}25$.

Dấu “=” xảy ra khi $\left| {2{,}5 - x} \right| = 0$ suy ra $2{,}5 - x = 0$ khi $x = 2{,}5$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $A = 1{,}25$ khi $x = 2{,}5$.

b) $B = - 2{\left( {x - 3} \right)^2} - \frac{7}{{11}}\left| {3y + 7} \right| - 2011$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} - 2{\left( {x - 3} \right)^2} \le 0\\ - \frac{7}{{11}}\left| {3y + 7} \right| \le 0\end{array} \right.$ với mọi $x,y \in \mathbb{R}$.

Suy ra $- 2{\left( {x - 3} \right)^2} - \frac{7}{{11}}\left| {3y + 7} \right| \le 0$ với mọi $x,y \in \mathbb{R}$.

Do đó, $- 2{\left( {x - 3} \right)^2} - \frac{7}{{11}}\left| {3y + 7} \right| - 2011 \le 0 + \left( { - 2011} \right)$ hay $B \le - 2011$.

Dấu “=” xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l} - 2{\left( {x - 3} \right)^2} = 0\\ - \frac{7}{{11}}\left| {3y + 7} \right| = 0\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 3} \right)^2} = 0\\\left| {3y + 7} \right| = 0\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = \frac{{ - 7}}{3}\end{array} \right.$.

Vậy giá trị lớn nhất của $B = - 2011$ khi $x = 3$ và $y = \frac{{ - 7}}{3}$.

c) $C = {\left( {2x + \frac{1}{3}} \right)^2} - 1$

Ta có ${\left( {2x + \frac{1}{3}} \right)^2} \ge 0$ với mọi $x$.

Do đó, ${\left( {2x + \frac{1}{3}} \right)^2} - 1 \ge 0 + \left( { - 1} \right)$ hay $C \ge - 1$.

Dấu “=” xảy ra khi ${\left( {2x + \frac{1}{3}} \right)^2} = 0$, suy ra $2x + \frac{1}{3} = 0$ hay $x = \frac{{ - 1}}{6}$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $C = - 1$ khi $x = \frac{{ - 1}}{6}$.

d) $D = \left| {2x - 1} \right| + \left| {2x - 5} \right|$

Ta có: $\left| {2x - 1} \right| + \left| {2x - 5} \right| = \left| {2x - 1} \right| + \left| {5 - 2x} \right| \ge \left| {2x - 1 + 5 - 2x} \right|$

Suy ra $\left| {2x - 1} \right| + \left| {5 - 2x} \right| \ge 4$ hay $D \ge 4$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: $\left( {2x - 1} \right)\left( {5 - 2x} \right) \ge 0$.

TH1: $\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 \ge 0\\5 - 2x \ge 0\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{2}\\x \le \frac{5}{2}\end{array} \right.$ hay $\frac{1}{2} \le x \le \frac{5}{2}$.

TH2: $\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 \le 0\\5 - 2x \le 0\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{1}{2}\\x \ge \frac{5}{2}\end{array} \right.$ (loại).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $D = 4$ khi và chỉ khi $\frac{1}{2} \le x \le \frac{5}{2}$.

e) $E = \frac{3}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^{2024}} + 5}}$

Ta có: ${\left( {2x - 3} \right)^{2024}} \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

${\left( {2x - 3} \right)^{2024}} + 5 \ge 5$

$\frac{3}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^{2024}} + 5}} \le \frac{3}{5}$ hay $A \le \frac{3}{5}$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: ${\left( {2x - 3} \right)^{2024}} = 0 \Leftrightarrow 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}$.

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $A = \frac{3}{5}$ khi và chỉ khi $x = \frac{3}{2}$.

Hướng dẫn giải

f) $F = \frac{5}{{{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2} - 1}}$

Vì ${x^2} \ge 0$ với mọi x nên ${x^2} + 3 \ge 3$với mọi x

Suy ra ${\left( {{x^2} + 3} \right)^2} \ge 9$với mọi x

Do đó: ${\left( {{x^2} + 3} \right)^2} - 1 \ge 8$với mọi x

Suy ra: $C = \frac{5}{{{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2} - 1}} \le \frac{5}{8}$với mọi x

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x = 0$

Vậy giá trị lớn nhất của C là $\frac{5}{8}$ tại $x = 0$.

a) $A = \frac{5}{{2x - 3}}$

Điều kiện $2x - 3 \ne 0$ hay $x \ne \frac{3}{2}$.

Để $A$ có giá trị nguyên thì $5 \vdots \left( {2x - 3} \right)$ hay $\left( {2x - 3} \right)$ là ước của $5$.

Mà các ước của $5$ là: $- 5; - 1;1;5.$

Ta có bảng sau:

Vì $x \in \mathbb{Z}$ nên $x \in \left\{ { - 1;1;2;4} \right\}$.

b) $B = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}$

Điều kiện: $x + 1 \ne 0$ hay $x \ne - 1$.

Ta có: $B = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = \frac{{2x + 2 - 3}}{{x + 1}} = \frac{{2\left( {x + 1} \right) - 3}}{{x + 1}} = \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}} - \frac{3}{{x + 1}} = 2 - \frac{3}{{x + 1}}$.

Để $B$ có giá trị nguyên thì $3 \vdots \left( {x + 1} \right)$ hay $\left( {x + 1} \right)$ là ước của $3$.

Mà ước của $3$ là: $- 3; - 1;1;3$.

Ta có bảng sau:

Vì $x \in \mathbb{Z}$ nên $x \in \left\{ { - 4; - 2;0;2} \right\}$.

c) $C = \frac{5}{{{x^2} - 3}}$

Điều kiện ${x^2} - 3 \ne 0$ suy ra $x \ne \sqrt 3$ và $x \ne - \sqrt 3$.

Để $C$ có giá trị nguyên thì $5 \vdots \left( {{x^2} - 3} \right)$ hay $\left( {{x^2} - 3} \right)$ là ước của $5$.

Mà ước của $5$ là: $- 5; - 1;1;5.$

Ta có bảng sau:

Vì $x \in \mathbb{Z}$ nên $x \in \left\{ { - 2;2} \right\}$.

d) $D = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 2}}$

Điều kiện: $x \ge 0$.

Ta có: $D = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{\sqrt x + 2 - 5}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 2}} - \frac{5}{{\sqrt x + 2}} = 1 - \frac{5}{{\sqrt x + 2}}.$

Để $D$ có giá trị nguyên thì $5 \vdots \left( {\sqrt x + 2} \right)$ hay $\left( {\sqrt x + 2} \right)$ là ước của $5$.

Mà ước của $5$ là: $- 5; - 1;1;5.$

Nhận thấy $\sqrt x + 2 \ge 2$ với mọi $x \ge 0$.

Suy ra $\sqrt x + 2 = 5$ do đó $\sqrt x = 3$ và $x = 9$ (thỏa mãn).

Vậy $x = 9$ thì $D$ có giá trị nguyên.

a) $\frac{{x + 1}}{{99}} + \frac{{x + 2}}{{98}} + \frac{{x + 3}}{{97}} + \frac{{x + 4}}{{96}} = - 4$

$$x\left( {\frac{1}{{99}} + \frac{1}{{98}} + \frac{1}{{97}} + \frac{1}{{96}}} \right) + \left( {\frac{1}{{99}} + \frac{2}{{98}} + \frac{3}{{97}} + \frac{4}{{96}}} \right) = - 4$$

$$x\left( {\frac{1}{{99}} + \frac{1}{{98}} + \frac{1}{{97}} + \frac{1}{{96}}} \right) = - \left( {1 + \frac{1}{{99}}} \right) - \left( {1 + \frac{2}{{98}}} \right) - \left( {1 + \frac{3}{{97}}} \right) - \left( {1 + \frac{4}{{96}}} \right)$$

$$x\left( {\frac{1}{{99}} + \frac{1}{{98}} + \frac{1}{{97}} + \frac{1}{{96}}} \right) = - \frac{{100}}{{99}} - \frac{{100}}{{98}} - \frac{{100}}{{97}} - \frac{{100}}{{96}}$$

$$x\left( {\frac{1}{{99}} + \frac{1}{{98}} + \frac{1}{{97}} + \frac{1}{{96}}} \right) = - 100.\left( {\frac{1}{{99}} + \frac{1}{{98}} + \frac{1}{{97}} + \frac{1}{{96}}} \right)$$

$x = - 100$.

Vậy $x = - 100$.

b) $\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{2008}}{{2009}}$

$$\frac{{2 - 1}}{{1.2}} + \frac{{3 - 2}}{{2.3}} + \frac{{4 - 3}}{{3.4}} + ... + \frac{{\left( {x + 1} \right) - x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{2008}}{{2009}}$$

$$\frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{2008}}{{2009}}$$

$$\frac{1}{1} - \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{2008}}{{2009}}$$

$$\frac{x}{{x + 1}} = \frac{{2008}}{{2009}}$$

$$\frac{{2009x - 2008\left( {x + 1} \right)}}{{2009\left( {x + 1} \right)}} = 0$$

$$2009x - 2008x - 2008 = 0$$

$$x - 2008 = 0$$

$x = 2008$.

Vậy $x = 2008$.

c) $\frac{{x - 214}}{{86}} + \frac{{x - 132}}{{84}} + \frac{{x - 54}}{{82}} = 6$

$$x\left( {\frac{1}{{86}} + \frac{1}{{84}} + \frac{1}{{82}}} \right) = 6 + \frac{{214}}{{86}} + \frac{{132}}{{84}} + \frac{{54}}{{82}}$$

$$x\left( {\frac{1}{{86}} + \frac{1}{{84}} + \frac{1}{{82}}} \right) = \left( {1 + \frac{{214}}{{86}}} \right) + \left( {2 + \frac{{132}}{{84}}} \right) + \left( {3 + \frac{{54}}{{82}}} \right)$$

$$x\left( {\frac{1}{{86}} + \frac{1}{{84}} + \frac{1}{{82}}} \right) = \frac{{300}}{{86}} + \frac{{300}}{{84}} + \frac{{300}}{{82}}$$

$$x\left( {\frac{1}{{86}} + \frac{1}{{84}} + \frac{1}{{82}}} \right) = 300\left( {\frac{1}{{86}} + \frac{1}{{84}} + \frac{1}{{82}}} \right)$$

$$x = 300$$

Vậy $x = 300$.

d) $\left| {x + \frac{1}{{1.2.3}}} \right| + \left| {x + \frac{1}{{2.3.4}}} \right| + \left| {x + \frac{1}{{3.4.5}}} \right| + .... + \left| {x + \frac{1}{{18.19.20}}} \right| = 19x$

Do $\left| {x + \frac{1}{{1.2.3}}} \right| + \left| {x + \frac{1}{{2.3.4}}} \right| + \left| {x + \frac{1}{{3.4.5}}} \right| + .... + \left| {x + \frac{1}{{18.19.20}}} \right| \ge 0$ với mọi $x$.

Do đó, $19x \ge 0$, suy ra $x \ge 0$.

Với mọi $x \ge 0$, ta có:

$$x + \frac{1}{{1.2.3}} + x + \frac{1}{{2.3.4}} + x + \frac{1}{{3.4.5}} + .... + x + \frac{1}{{18.19.20}} = 19x$$

$$x + \frac{1}{{1.2.3}} + x + \frac{1}{{2.3.4}} + x + \frac{1}{{3.4.5}} + .... + x + \frac{1}{{18.19.20}} = 19x$$

$$18x + \left( {\frac{1}{{1.2.3}} + \frac{1}{{2.3.4}} + \frac{1}{{3.4.5}} + .... + \frac{1}{{18.19.20}}} \right) = 19x$$

$$x = \frac{1}{{1.2.3}} + \frac{1}{{2.3.4}} + \frac{1}{{3.4.5}} + .... + \frac{1}{{18.19.20}}$$

$$x = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{1.2}} - \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{2.3}} - \frac{1}{{3.4}} + \frac{1}{{3.4}} - \frac{1}{{4.5}}.... + \frac{1}{{18.19}} - \frac{1}{{19.20}}} \right)$$

$$x = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{1.2}} - \frac{1}{{19.20}}} \right)$$

$$x = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{380}}} \right)$$

$$x = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{380}}} \right)$$

$x = \frac{{189}}{{760}}$ (thỏa mãn)

Vậy $x = \frac{{189}}{{760}}$.

e) $\left| {x + \frac{{19}}{5}} \right| + \left| {y + \frac{{1890}}{{1975}}} \right| + \left| {z - 2004} \right| = 0$

Vì $\left| {x + \frac{{19}}{5}} \right| \ge 0$; $\left| {y + \frac{{1890}}{{1975}}} \right| \ge 0$; $\left| {z - 2004} \right| \ge 0$

Khi đó để $\left| {x + \frac{{19}}{5}} \right| + \left| {y + \frac{{1890}}{{1975}}} \right| + \left| {z - 2004} \right| = 0$ thì $\left\{ \begin{array}{l}\left| {x + \frac{{19}}{5}} \right| = 0\\\left| {y + \frac{{1890}}{{1975}}} \right| = 0\\\left| {z - 2004} \right| = 0\end{array} \right.$

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{{19}}{5} = 0\\x + \frac{{1890}}{{1975}} = 0\\z - 2004 = 0\end{array} \right.$, do đó $\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{19}}{5}\\y = - \frac{{1890}}{{1975}} = - \frac{{378}}{{395}}\\z = 2004\end{array} \right.$.

Vậy $\left( {x;y;z} \right) = \left( { - \frac{{19}}{5}; - \frac{{378}}{{395}};2004} \right)$

f) $\left| {x + \frac{9}{2}} \right| + \left| {y + \frac{4}{3}} \right| + \left| {z + \frac{7}{2}} \right| \le 0$

Ta có $\left| {x + \frac{9}{2}} \right| \ge 0$; $\left| {y + \frac{4}{3}} \right| \ge 0$; $\left| {z + \frac{7}{2}} \right| \ge 0$

Mà $\left| {x + \frac{9}{2}} \right| + \left| {y + \frac{4}{3}} \right| + \left| {z + \frac{7}{2}} \right| \le 0$

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}\left| {x + \frac{9}{2}} \right| = 0\\\left| {y + \frac{4}{3}} \right| = 0\\\left| {z + \frac{7}{2}} \right| = 0\end{array} \right.$ nên $\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{9}{2} = 0\\y + \frac{4}{3} = 0\\z + \frac{7}{2} = 0\end{array} \right.$, do đó $\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{9}{2}\\y = \frac{{ - 4}}{3}\\z = \frac{{ - 7}}{2}\end{array} \right.$.

Vậy $\left( {x;y;z} \right) = \left( { - \frac{9}{2};\frac{{ - 4}}{3};\frac{{ - 7}}{2}} \right)$.

Hướng dẫn giải

g) $\left| {x - 1{,}5} \right| + \left| {2{,}5 - x} \right| = 1$

$\left| {x - 1{,}5} \right| + \left| {2{,}5 - x} \right| = 1$

Vì $\left| {x - 1{,}5} \right| + \left| {2{,}5 - x} \right| \ge \left| {x - 1{,}5 + 2{,}5 - x} \right| = 1$

Dấu $'' = ''$ xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}x - 1{,}5 \ge 0\\2{,}5 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1{,}5\\x \le 2{,}5\end{array} \right.$

Vậy $1{,}5 \le x \le 2{,}5$.

Hướng dẫn giải

Ta có: ${\left( {{a_1}m - {b_1}n} \right)^{2024}} = {\left[ {{{\left( {{a_1}m - {b_1}n} \right)}^{1012}}} \right]^2} \ge 0$;

${\left( {{a_2}m - {b_2}n} \right)^{2024}} = {\left[ {{{\left( {{a_2}m - {b_2}n} \right)}^{1012}}} \right]^2} \ge 0$;

${\left( {{a_3}m - {b_3}n} \right)^{2024}} = {\left[ {{{\left( {{a_1}m - {b_1}n} \right)}^{1012}}} \right]^2} \ge 0$;

...

${\left( {{a_{2025}}m - {b_{2025}}n} \right)^{2024}} = {\left[ {{{\left( {{a_{2025}}m - {b_{2025}}n} \right)}^{1012}}} \right]^2} \ge 0$.

Do đó ${\left( {{a_1}m - {b_1}n} \right)^{2012}} + {\left( {{a_2}m - {b_2}n} \right)^{2012}} + {\left( {{a_3}m - {b_3}n} \right)^{2024}} + ... + {\left( {{a_{2025}}m - {b_{2025}}n} \right)^{2024}} \ge 0$

Mà đề bài cho ${\left( {{a_1}m - {b_1}n} \right)^{2024}} + {\left( {{a_2}m - {b_2}n} \right)^{2024}} + {\left( {{a_3}m - {b_3}n} \right)^{2024}} + ... + {\left( {{a_{2025}}m - {b_{2025}}n} \right)^{2024}} \le 0$

Suy ra ${\left( {{a_1}m - {b_1}n} \right)^{2024}} + {\left( {{a_2}m - {b_2}n} \right)^{2024}} + {\left( {{a_3}m - {b_3}n} \right)^{2024}} + ... + {\left( {{a_{2025}}m - {b_{2025}}n} \right)^{2024}} = 0$

Điều này xảy ra khi và chỉ khi:

${\left( {{a_k}m - {b_k}n} \right)^{2024}} = 0$; $k \in \left\{ {1\,;\,\,2\,;\,\,...\,;\,\,2025} \right\}$ nên ${a_k}m - {b_k}n = 0\,;\,\,k \in \left\{ {1\,;\,\,2\,;\,\,...\,;\,\,2025} \right\}$.

Suy ra ${a_k} = \frac{n}{m}{b_k}$ do đó ${a_k} = n \cdot {t_k}\,;\,\,{b_k} = m \cdot {t_k}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$

$$\frac{{{a_1} + {a_2} + {a_3} + ... + {a_{2025}}}}{{{b_1} + {b_2} + {b_3} + ... + {b_{2025}}}} = \frac{{n.{t_1} + n.{t_2} + n.{t_3} + ... + n.{t_{2025}}}}{{m.{t_1} + m.{t_2} + m.{t_3} + ... + m.{t_{2025}}}}$$