Dạng 7. Công thức xác suất toàn phần và công thức bayes

Gọi A$_{1}$ là biến cố bạn Sơn chọn hộp thứ nhất; A$_{2}$ là biến cố bạn Sơn chọn hộp thứ hai. Gọi B là biến cố viên bi được chọn có màu xanh.

Ta có ${\rm{P}}\left( {{\rm{A}}1} \right) = {\rm{P}}\left( {{\rm{A}}2} \right) = 0{,}5;{\rm{P}}\left( {{\rm{B}}\mid {\rm{A}}1} \right) = \frac{5}{7};{\rm{P}}\left( {{\rm{B}}\mid {\rm{A}}2} \right) = \frac{4}{{10}}.$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

${\rm{P}}({\rm{B}}) = {\rm{P}}\left( {{\rm{B}}\mid {\rm{A}}1} \right){\rm{P}}\left( {{\rm{A}}1} \right) + {\rm{P}}\left( {{\rm{B}}\mid {\rm{A}}2} \right){\rm{P}}\left( {{\rm{A}}2} \right) = \left( {\frac{5}{7} + \frac{4}{{10}}} \right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{{39}}{{70}}{\rm{.}}$Chọn D

Gọi A$_{1}$ là biến cố viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất là bi xanh; A$_{2}$ là biến cố viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất là bi đỏ. Gọi B là biến cố hai viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai có cùng màu.

Ta có:

${\rm{P}}\left( {{\rm{A}}1} \right) = \frac{2}{3};{\rm{P}}\left( {{\rm{A}}2} \right) = \frac{1}{3};{\rm{P}}\left( {{\rm{B}}\mid {\rm{A}}1} \right) = \frac{{{\rm{C}}{4^2} + {\rm{C}}{6^2}}}{{{\rm{C}}{{10}^2}}} = \frac{7}{{15}};{\rm{P}}\left( {{\rm{B}}\mid {\rm{A}}2} \right) = \frac{{{\rm{C}}{3^2} + {\rm{C}}{7^2}}}{{{\rm{C}}{{10}^2}}} = \frac{8}{{15}}$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

${\rm{P}}({\rm{B}}) = {\rm{P}}\left( {{\rm{B}}\mid {\rm{A}}1} \right){\rm{P}}\left( {{\rm{A}}1} \right) + {\rm{P}}\left( {{\rm{B}}\mid {\rm{A}}2} \right){\rm{P}}\left( {{\rm{A}}2} \right) = \frac{7}{{15}} \cdot \frac{2}{3} + \frac{8}{{15}} \cdot \frac{1}{3} = \frac{{22}}{{45}}{\rm{.}}$Chọn D

Gọi A là biến cố viên bi lấy ra là bi đỏ. Gọi B là biến cố bạn Sơn chọn hộp thứ hai.

Ta có ${\rm{P}}({\rm{B}}) = {\rm{P}}(\overline {\rm{B}} ) = 0{,}5;{\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = 0{,}6;{\rm{P}}({\rm{A}}\mid \overline {\rm{B}} ) = \frac{2}{7}.$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

${\rm{P}}({\rm{A}}) = {\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}){\rm{P}}({\rm{B}}) + {\rm{P}}({\rm{A}}\mid \overline {\rm{B}} ){\rm{P}}(\overline {\rm{B}} ) = 0{,}6 \cdot 0{,}5 + \frac{2}{7} \cdot 0{,}5 = \frac{{31}}{{70}}$

Biết rằng viên bi có màu đỏ, xác suất bạn Sơn chọn hộp thứ hai là ${\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) = \frac{{{\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}){\rm{P}}({\rm{B}})}}{{{\rm{P}}({\rm{A}})}} = \frac{{0{,}6 \cdot 0{,}5}}{{\frac{{31}}{{70}}}} = \frac{{21}}{{31}}.$

Chọn D.