Dạng 7. Công thức xác suất toàn phần và công thức bayes

Gọi A$_{1}$ là biến cố bạn Sơn chọn hộp thứ nhất; A$_{2}$ là biến cố bạn Sơn chọn hộp thứ hai. Gọi B là biến cố viên bi được chọn có màu xanh.

Ta có ${\rm{P}}\left( {{\rm{A}}1} \right) = {\rm{P}}\left( {{\rm{A}}2} \right) = 0{,}5;{\rm{P}}\left( {{\rm{B}}\mid {\rm{A}}1} \right) = \frac{5}{7};{\rm{P}}\left( {{\rm{B}}\mid {\rm{A}}2} \right) = \frac{4}{{10}}.$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

${\rm{P}}({\rm{B}}) = {\rm{P}}\left( {{\rm{B}}\mid {\rm{A}}1} \right){\rm{P}}\left( {{\rm{A}}1} \right) + {\rm{P}}\left( {{\rm{B}}\mid {\rm{A}}2} \right){\rm{P}}\left( {{\rm{A}}2} \right) = \left( {\frac{5}{7} + \frac{4}{{10}}} \right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{{39}}{{70}}{\rm{.}}$Chọn D

Gọi A$_{1}$ là biến cố viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất là bi xanh; A$_{2}$ là biến cố viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất là bi đỏ. Gọi B là biến cố hai viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai có cùng màu.

Ta có:

${\rm{P}}\left( {{\rm{A}}1} \right) = \frac{2}{3};{\rm{P}}\left( {{\rm{A}}2} \right) = \frac{1}{3};{\rm{P}}\left( {{\rm{B}}\mid {\rm{A}}1} \right) = \frac{{{\rm{C}}{4^2} + {\rm{C}}{6^2}}}{{{\rm{C}}{{10}^2}}} = \frac{7}{{15}};{\rm{P}}\left( {{\rm{B}}\mid {\rm{A}}2} \right) = \frac{{{\rm{C}}{3^2} + {\rm{C}}{7^2}}}{{{\rm{C}}{{10}^2}}} = \frac{8}{{15}}$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

${\rm{P}}({\rm{B}}) = {\rm{P}}\left( {{\rm{B}}\mid {\rm{A}}1} \right){\rm{P}}\left( {{\rm{A}}1} \right) + {\rm{P}}\left( {{\rm{B}}\mid {\rm{A}}2} \right){\rm{P}}\left( {{\rm{A}}2} \right) = \frac{7}{{15}} \cdot \frac{2}{3} + \frac{8}{{15}} \cdot \frac{1}{3} = \frac{{22}}{{45}}{\rm{.}}$Chọn D

Gọi A là biến cố viên bi lấy ra là bi đỏ. Gọi B là biến cố bạn Sơn chọn hộp thứ hai.

Ta có ${\rm{P}}({\rm{B}}) = {\rm{P}}(\overline {\rm{B}} ) = 0{,}5;{\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = 0{,}6;{\rm{P}}({\rm{A}}\mid \overline {\rm{B}} ) = \frac{2}{7}.$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

${\rm{P}}({\rm{A}}) = {\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}){\rm{P}}({\rm{B}}) + {\rm{P}}({\rm{A}}\mid \overline {\rm{B}} ){\rm{P}}(\overline {\rm{B}} ) = 0{,}6 \cdot 0{,}5 + \frac{2}{7} \cdot 0{,}5 = \frac{{31}}{{70}}$

Biết rằng viên bi có màu đỏ, xác suất bạn Sơn chọn hộp thứ hai là ${\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) = \frac{{{\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}){\rm{P}}({\rm{B}})}}{{{\rm{P}}({\rm{A}})}} = \frac{{0{,}6 \cdot 0{,}5}}{{\frac{{31}}{{70}}}} = \frac{{21}}{{31}}.$

Chọn D.

Gọi A$_{1}$ là biến cố viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất là bi xanh; A$_{2}$ là biến cố viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất là bi đỏ. Gọi B là biến cố hai viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai đều là màu đỏ.

Ta có ${\rm{P}}\left( {{\rm{A}}1} \right) = \frac{2}{3};{\rm{P}}\left( {{\rm{A}}2} \right) = \frac{1}{3};{\rm{P}}\left( {{\rm{B}}\mid {\rm{A}}1} \right) = \frac{{{\rm{C}}{6^2}}}{{{\rm{C}}{{10}^2}}} = \frac{1}{3};{\rm{P}}\left( {{\rm{B}}\mid {\rm{A}}2} \right) = \frac{{{\rm{C}}{7^2}}}{{{\rm{C}}{{10}^2}}} = \frac{7}{{15}}.$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

${\rm{P}}({\rm{B}}) = {\rm{P}}\left( {{\rm{B}}\mid {\rm{A}}1} \right){\rm{P}}\left( {{\rm{A}}1} \right) + {\rm{P}}\left( {{\rm{B}}\mid {\rm{A}}2} \right){\rm{P}}\left( {{\rm{A}}2} \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{{15}} = \frac{{17}}{{45}}$

Biết rằng hai viên bi lấy từ hộp thứ hai đều có màu đỏ, xác suất viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất có màu xanh là ${\rm{P}}\left( {{\rm{A}}1\mid {\rm{B}}} \right) = \frac{{{\rm{P}}\left( {{\rm{B}}\mid {\rm{A}}1} \right){\rm{P}}\left( {{\rm{A}}1} \right)}}{{{\rm{P}}({\rm{B}})}} = \frac{{\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}}}{{\frac{{17}}{{45}}}} = \frac{{10}}{{17}}.$

Chọn D.

Gọi A là biến cố 2 thẻ lấy ra từ hộp thứ nhất cùng màu đỏ; $\overline {\rm{A}}$ là biến cố trong 2 thẻ lấy ra từ hộp thứ nhất có 1 thẻ xanh và 1 thẻ đỏ. Gọi B là biến cố 2 thẻ lấy ra lần hai cùng màu đỏ.

Ta có ${\rm{P}}({\rm{A}}) = \frac{{{\rm{C}}{5^2}}}{{{\rm{C}}{6^2}}} = \frac{2}{3};{\rm{P}}(\overline {\rm{A}} ) = \frac{1}{3};{\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) = \frac{{{\rm{C}}{7^2}}}{{{\rm{C}}{{11}^2}}} = \frac{{21}}{{55}};{\rm{P}}({\rm{B}}\mid \overline {\rm{A}} ) = \frac{{{\rm{C}}{6^2}}}{{{\rm{C}}_{11}^2}} = \frac{3}{{11}}.$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

${\rm{P}}({\rm{B}}) = {\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}){\rm{P}}({\rm{A}}) + {\rm{P}}({\rm{B}}\mid \overline {\rm{A}} ){\rm{P}}(\overline {\rm{A}} ) = \frac{{21}}{{55}} \cdot \frac{2}{3} + \frac{3}{{11}} \cdot \frac{1}{3} = \frac{{19}}{{55}}.$

Biết rằng 2 thẻ lấy ra lần hai đều có màu đỏ, xác suất để 2 thẻ lấy ra lần một cùng màu là

${\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = \frac{{{\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}){\rm{P}}({\rm{A}})}}{{{\rm{P}}({\rm{B}})}} = \frac{{\frac{{21}}{{55}} \cdot \frac{2}{3}}}{{\frac{{19}}{{55}}}} = \frac{{14}}{{19}}.$ Chọn D.

Gọi A là biến cố nhân viên được chọn là nữ; $\overline {\rm{A}}$ là biến cố nhân viên được chọn là nam. Gọi B là biến cố nhân viên hài lòng với mức lương hiện tại.

Ta có ${\rm{P}}({\rm{A}}) = 0{,}45;{\rm{P}}(\overline {\rm{A}} ) = 0{,}55;{\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) = 0{,}4;{\rm{P}}({\rm{B}}\mid \overline {\rm{A}} ) = 0{,}6.$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

${\rm{P}}({\rm{B}}) = {\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}){\rm{P}}({\rm{A}}) + {\rm{P}}({\rm{B}}\mid \overline {\rm{A}} ){\rm{P}}(\overline {\rm{A}} ) = 0{,}4 \cdot 0{,}45 + 0{,}6 \cdot 0{,}55 = 0{,}51$

Biết rằng nhân viên đó hài lòng với mức lương hiện tại, xác suất nhân viên đó là nữ là

${\rm{P}}({\rm{A}}\mid {\rm{B}}) = \frac{{{\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}){\rm{P}}({\rm{A}})}}{{{\rm{P}}({\rm{B}})}} = \frac{{0{,}4 \cdot 0{,}45}}{{0{,}51}} = \frac{6}{{17}}.$ Chọn D.

Gọi A là biến cố câu hỏi Quỳnh phải trả lời thuộc lĩnh vực tự nhiên; $\overline {\rm{A}}$ là biến cố câu hỏi Quỳnh phải trả lời thuộc lĩnh vực xã hội. Gọi B là biến cố Quỳnh trả lời đúng.

Ta có: ${\rm{P}}({\rm{A}}) = 0{,}4;{\rm{P}}(\overline {\rm{A}} ) = 0{,}6;{\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) = 0{,}6;{\rm{P}}({\rm{B}}\mid \overline {\rm{A}} ) = 0{,}8.$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

${\rm{P}}({\rm{B}}) = {\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}){\rm{P}}({\rm{A}}) + {\rm{P}}({\rm{B}}\mid \overline {\rm{A}} ){\rm{P}}(\overline {\rm{A}} ) = 0{,}6 \cdot 0{,}4 + 0{,}8 \cdot 0{,}6 = 0{,}72.$ Chọn D.