Bộ 5 đề thi cuối kì 2 Toán 7 Kết nối tri thức (Tự luận) có đáp án - Đề 4

1.1.

a) $\frac{{ - 6}}{x} = \frac{9}{{ - 15}}$

$$9x = - 6.\left( { - 15} \right)$$

$$9x = 90$$

$$x = 10$$

Vậy $x = 10$,

b) $\frac{{2x + 3}}{{24}} = \frac{{3x - 1}}{{32}}$

$$32.\left( {2x + 3} \right) = 24.\left( {3x - 1} \right)$$

$$64x + 96 = 72x - 24$$

$$72x - 64x = 96 + 24$$

$$8x = 120$$

$$x = 15$$

Vậy $x = 15$.

1.2. Gọi số người của đội một, đội hai, đội ba lần lượt là $x,y,z$ (công nhân) với $x,y,z \in {\mathbb{N}^*}$.

Đội thứ ba nhiều hơn đội thứ hai là 20 người nên ta có: $z - y = 20$.

Vì khối lượng công việc như nhau, số công nhân và số ngày tỉ lệ nghịch với nhau nên:

$5x = 6y = 4z$ hay $\frac{x}{{12}} = \frac{y}{{10}} = \frac{z}{{15}}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{{12}} = \frac{y}{{10}} = \frac{z}{{15}} = \frac{{z - y}}{{15 - 10}} = \frac{{20}}{5} = 4$.

Do đó, $x = 4.12 = 48;{\rm{ }}y = 10.4 = 40;{\rm{ }}z = 15.4 = 60$.

Vậy số người của ba đội lần lượt là 48; 40; 60 người.

2.1. Thay $x = - 1,y = 3$ vào biểu thức $B = 3{x^2}y + 6{x^2}{y^2} + 3x{y^2}$, ta được:

$B = 3.{\left( { - 1} \right)^2}.3 + 6{\left( { - 1} \right)^2}{.3^2} + 3.\left( { - 1} \right){.3^2} = 36$.

Vậy giá trị của biểu thức $B = 36$.

2.2. a) $A\left( x \right) = - {x^4} - {x^3} + 2{x^2} + 2{x^3} - x - 3$

$= - {x^4} + \left( { - {x^3} + 2{x^3}} \right) + 2{x^2} - x - 3$

$= - {x^4} + {x^3} + 2{x^2} - x - 3$

$B\left( x \right) = {x^4} + 2{x^3} - 2x + 12 + 3{x^2} - {x^3} - {x^4}$

$= \left( {{x^4} - {x^4}} \right) + \left( {2{x^3} - {x^3}} \right) + 3{x^2} - 2x + 12$

$= {x^3} + 3{x^2} - 2x + 12$

b) Đa thức $B\left( x \right)$ có bậc là 3 và hệ số tự do là 12.

c) Ta có $M\left( x \right) = A\left( x \right) - B\left( x \right)$

Suy ra $M\left( x \right) = \left( { - {x^4} + {x^3} + 2{x^2} - x - 3} \right) - \left( {{x^3} + 3{x^2} - 2x + 12} \right)$

$$M\left( x \right) = - {x^4} + {x^3} + 2{x^2} - x - 3 - {x^3} - 3{x^2} + 2x - 12$$

$$= - {x^4} + \left( {{x^3} - {x^3}} \right) + \left( {2{x^2} - 3{x^2}} \right) + \left( { - x + 2x} \right) + \left( { - 3 - 12} \right)$$

$= - {x^4} - {x^2} + x - 15$

Ta có $N\left( x \right) - \left( {{x^4} + 15} \right) = A\left( x \right) - B\left( x \right)$

Suy ra $N\left( x \right) = M\left( x \right) + \left( {{x^4} + 15} \right)$

Do đó $N\left( x \right) = - {x^4} - {x^2} + x - 15 + {x^4} + 15$$= - {x^2} + x$.

Để tìm nghiệm của đa thức $N\left( x \right)$, ta cho $N\left( x \right) = 0$

Tức là $- {x^2} + x = 0$

$- x\left( {x - 1} \right) = 0$

Suy ra $x = 0$ hoặc $x = 1$.

Vậy nghiệm của đa thức $N\left( x \right)$ là $x \in \left\{ {0;1} \right\}$.

a) Tập hợp các kết quả có thể xảy ra đối với số xuất hiện trên quả bóng được rút ra là:

$M = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7} \right\}$.

Do đó, có $7$ kết quả có thể xảy ra.

b) Kết quả thuận lợi của biến cố: “Rút được thẻ ghi số là số chẵn” là: $2;4;6$.

Xác suất của biến cố $A$ là $\frac{3}{7}$.

c) Kết quả thuận lợi của biến cố: “Rút được thẻ ghi số là số chia 5 dư 2” là $2;7$.

Xác suất của biến cố $B$ là $\frac{2}{7}$.

Chia bể bơi thành hai khối hộp hình hộp chữa nhật và hình lăng trụ đứng có đáy là hình thang như sau:

a) Thể tích phần bể bơi hình hộp chữ nhật là: $10.25.1{,}2 = 300$ (m$^{3}$).

Thể tích phần bể bơi hình lăng trụ đứng hình thang là: $\frac{{\left( {8 + 15} \right).1{,}3}}{2}.10 = 149{,}5$ (m$^{3}$)

Thể tích của bể bơi là: $300 + 149{,}5 = 449{,}5$ (m$^{3}$).

b) Đổi $500l = 500{\rm{ d}}{{\rm{m}}^3} = 0{,}5{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}$.

Thời gian bơm đầy bể là: $449{,}5:0{,}5 = 889$ phút = 14 giờ 59 phút.

a) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat B = 60^\circ$

Suy ra $\widehat C = 90^\circ - \widehat B = 30^\circ$.

Do đó $\widehat C < \widehat B$ nên $AB < AC$ nên $M$ nằm giữa $H$ và $C$

Hay $HM < HC$

Mà $HM = HB$, suy ra $HB < HC$.

b) Xét $\Delta AHB$ và $\Delta AHM$ có:

$\widehat {AHB} = \widehat {AHM} = 90^\circ$;

$AH$ là cạnh chung;

$HM = HB$ (giả thiết).

Do đó $\Delta AHB = \Delta AHM$ (hai cạnh góc vuông)

Suy ra $AB = AM$ (hai cạnh tương ứng)

$\Delta ABM$ có $AB = AM$ nên là tam giác cân tại $A$.

Lại có $\widehat B = 60^\circ$ (giả thiết) nên $\Delta ABM$ là tam giác đều.

c) Do $\Delta ABM$ là tam giác đều nên $\widehat {MAB} = 60^\circ$.

Suy ra $\widehat {MAC} = 90^\circ - \widehat {MAB} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$

Tam giác $MAC$ có $\widehat {MAC} = \widehat {MCA} = 30^\circ$ nên là tam giác cân tại $M$.

Suy ra $MA = MC$.

Lại có $MA = MB$ (do $\Delta ABM$ đều)

Do đó $MB = MC$ hay $M$ là trung điểm của $BC$.

Xét $\Delta ABC$ có $AM,BN$ là hai đường trung tuyến của tam giác cắt nhau tại $O$ nên $O$ là trọng tâm của tam giác.

Suy ra $AO = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}AB = \frac{2}{3}.6 = 4\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.