Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Cánh diều (Tự luận) có đáp án - Đề 3

Hướng dẫn giải

a) ⦁ Xét biểu thức $A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}.$

Điều kiện xác định của biểu thức $A$ và $x \ge 0,\,\,\sqrt x - 3 \ne 0,$ tức là $x \ge 0$ và $x \ne 9$.

⦁ Xét biểu thức $B = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}} \right).\frac{{x - \sqrt x }}{{2\sqrt x + 1}}$.

Điều kiện xác định của biểu thức $B$ là $x \ge 0,\,\,\sqrt x - 1 \ne 0,\,\,x - 1 \ne 0,\,\,2\sqrt x + 1 \ne 0.$

Với $x \ge 0$, ta có: $\sqrt x - 1 \ne 0$ khi $x \ne 1;$

$x - 1 \ne 0$ khi $x \ne 1;$

$2\sqrt x + 1 > 0$.

Do đó, điều kiện xác định của biểu thức $B$ là $x \ge 0$ và $x \ne 1.$

b) Thay $x = \frac{1}{{16}}$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A$, ta có:

$A = \frac{{\sqrt {\frac{1}{{16}}} + 1}}{{\sqrt {\frac{1}{{16}}} - 3}} = \frac{{\frac{1}{4} + 1}}{{\frac{1}{4} - 3}} = \frac{{\frac{5}{4}}}{{ - \frac{{11}}{4}}} = - \frac{5}{{11}}.$

Vậy $A = - \frac{5}{{11}}$ khi $x = \frac{1}{{16}}$.

c) Với $x \ge 0;x \ne 1$, ta có:

$B = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}} \right) \cdot \frac{{x - \sqrt x }}{{2\sqrt x + 1}}$

$= \left[ {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right] \cdot \frac{{x - \sqrt x }}{{2\sqrt x + 1}}$

$=\frac{2\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}\cdot \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}{2\sqrt{x}+1}$ $=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}.$

Vậy với $x \ge 0;x \ne 1$ thì $B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}$.

d) Với $x \ge 0;x \ne 9;x \ne 1,$ ta có: $A.B = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}$.

Khi đó, để $A.B < 1$ thì $\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} < 1$.

Giải bất phương trình: $\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} < 1$

$\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - 1 < 0$

$\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 3}} < 0$

$\frac{3}{{\sqrt x - 3}} < 0$.

Do $3 > 0$ nên để $\frac{3}{{\sqrt x - 3}} < 0$ thì $\sqrt x - 3 < 0$ hay $\sqrt x < 3$. Suy ra $x < 9$.

Kết hợp với điều kiện $x \ge 0;x \ne 9;x \ne 1$ nên $0 \le x < 9;x \ne 1$.

Mà $x$ là số nguyên tố nên ta được $x \in \left\{ {2;\,\,3;\,\,5;\,\,7} \right\}.$

Vậy các giá trị nguyên tố thỏa mãn $A.B < 1$ là $x \in \left\{ {2;\,\,3;\,\,5;\,\,7} \right\}.$

a) Điều kiện xác định $x \ne - 1,x \ne 3$.

Ta có: $\frac{x}{{2\left( {x - 3} \right)}} + \frac{x}{{2x + 2}} = \frac{{2x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}$

$\frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{2\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}} + \frac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{2\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{2x \cdot 2}}{{2\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}$

$x\left( {x + 1} \right) + x\left( {x - 3} \right) = 2x \cdot 2$

${x^2} + x + {x^2} - 3x - 4x = 0$

$2{x^2} - 6x = 0$

$2x\left( {x - 3} \right) = 0$

$x = 0$ hoặc $x - 3 = 0$.

$x = 0$ (thỏa mãn) hoặc $x = 3$ (loại).

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 0$.