Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Cánh diều (Tự luận) có đáp án - Đề 4

a) ⦁ Xét biểu thức $A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 3}}$.

Ta có $\sqrt x + 3 > 0$ với mọi $x \ge 0$ nên điều kiện xác định của biểu thức $A$ là $x \ge 0.$

⦁ Xét biểu thức $B = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{7 - \sqrt x }}{{x - 1}}$.

Ta có $\sqrt x + 1 > 0$ với mọi $x \ge 0$ nên điều kiện xác định của biểu thức $B$ là $x \ge 0,\,\,x \ne 1.$

b) Thay $x = 16$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A$, ta được:

$A = \frac{{\sqrt {16} + 2}}{{\sqrt {16} + 3}} = \frac{{4 + 2}}{{4 + 3}} = \frac{6}{7}$.

Vậy $A = \frac{6}{7}$ khi $x = 16$.

c) Với $x \ge 0;x \ne 1$, ta có:

$B = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{7 - \sqrt x }}{{x - 1}} = \frac{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{7 - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$= \frac{{x + 4\sqrt x - 5 + 7 - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{x + 3\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$= \frac{{x + \sqrt x + 2\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 1}}.$

Vậy với $x \ge 0;x \ne 1$ thì $B = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 1}}$.

d) Với $x \ge 0;x \ne 1$, ta có:

$P = \frac{A}{B} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 3}}:\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 3}}.\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 3}} = \frac{{\sqrt x + 3 - 4}}{{\sqrt x + 3}} = 1 - \frac{4}{{\sqrt x + 3}}$.

Ta lại có: $\sqrt x \ge 0$ nên $\sqrt x + 3 \ge 3,$ suy ra $\frac{4}{{\sqrt x + 3}} \le \frac{4}{3}$, do đó $1 - \frac{4}{{\sqrt x + 3}} \ge - \frac{1}{3}$.

$\sqrt x \ge 0$ nên $\sqrt x + 3 \ge 3 > 0,$ suy ra $\frac{4}{{\sqrt x + 3}} > 0$, do đó $1 - \frac{4}{{\sqrt x + 3}} < 1$.

Như vậy, $- \frac{1}{3} \le P < 1$.

Mà $P$ nhận giá trị nguyên nên $P = 0.$

Với $P = 0,$ ta có: $1 - \frac{4}{{\sqrt x + 3}} = 0,$ suy ra $\frac{4}{{\sqrt x + 3}} = 1,$ do đó $\sqrt x + 3 = 4$ nên $\sqrt x = 1,$ hay $x = 1$ (không thỏa mãn điều kiện).

Vậy không có giá trị $x$ để biểu thức $P = \frac{A}{B}$ nhận giá trị nguyên.

1. a) Điều kiện xác định: $x \ne 0,x \ne 2$.

Ta có: $\frac{{x + 2}}{{x - 2}} - \frac{1}{x} = \frac{2}{{x\left( {x - 2} \right)}}$

$\frac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)}} - \frac{{x - 2}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \frac{2}{{x\left( {x - 2} \right)}}$

$x\left( {x + 2} \right) - \left( {x - 2} \right) = 2$

${x^2} + 2x - x + 2 - 2 = 0$

${x^2} + x = 0$

$x\left( {x + 1} \right) = 0$

$x = 0$ hoặc $x + 1 = 0$

$x = 0$ (loại) hoặc $x = - 1$ (thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là $x = - 1$.