Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Cánh diều (Tự luận) có đáp án - Đề 2

a) ⦁ Xét biểu thức $A = \frac{1}{3} - \frac{1}{{\sqrt x }}$.

Điều kiện xác định của biểu thức $A$ là $x \ge 0$ và $\sqrt x \ne 0$, tức là $x > 0.$

⦁ Xét biểu thức $B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 3}}$.

Điều kiện xác định của biểu thức $B$ là $x \ge 0,\,\,\sqrt x - 3 \ne 0$ và $\sqrt x + 3 \ne 0.$

Với $x \ge 0$ ta thấy $\sqrt x + 3 > 0$ và $\sqrt x - 3 \ne 0$ khi $x \ne 9.$

Vậy điều kiện xác định của biểu thức $A$ là $x > 0$ và điều kiện xác định của biểu thức $B$ là $x \ge 0$, $x \ne 9.$

b) Thay $x = \frac{1}{9}$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A$, ta được:

$A = \frac{1}{3} - \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{9}} }} = \frac{1}{3} - \frac{1}{{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{3} - 3 = - \frac{8}{3}.$

Vậy giá trị biểu thức $A = - \frac{8}{3}$ tại $x = \frac{1}{9}.$

c) Với $x \ge 0;x \ne 9$, ta có:

$B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 3}}$

$= \frac{{{{\left( {\sqrt x + 3} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt x - 3} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$

$= \frac{{x + 6\sqrt x + 9 - \left( {x - 6\sqrt x + 9} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$

$= \frac{{x + 6\sqrt x + 9 - x + 6\sqrt x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$

$= \frac{{12\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{12\sqrt x }}{{x - 9}}.$

Vậy với $x \ge 0;x \ne 9$ thì $B = \frac{{12\sqrt x }}{{x - 9}}.$

d) Với $x > 0;x \ne 9$, ta có:

$P = A \cdot B = \left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{{\sqrt x }}} \right) \cdot \frac{{12\sqrt x }}{{x - 9}}$ $= \frac{{\sqrt x - 3}}{{3\sqrt x }}.\frac{{12\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$$= \frac{4}{{\sqrt x + 3}}$.

Với $x > 0;x \ne 9$, ta có $\sqrt x > 0$ nên $\sqrt x + 3 > 3$, suy ra $\frac{4}{{\sqrt x + 3}} < \frac{4}{3}$.

Ta cũng có: $\sqrt x + 3 > 3 > 0$ nên $\frac{4}{{\sqrt x + 3}} > 0$.

Do đó $0 < P < \frac{4}{3}.$

Như vậy, để $P$ nguyên thì $P = 1$.

Khi đó, ta có: $\frac{4}{{\sqrt x + 3}} = 1,$ suy ra $\sqrt x + 3 = 4$ nên $\sqrt x = 1,$ suy ra $x = 1$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy với $x = 1$ thì $P$ nhận giá trị nguyên.

a) Điều kiện xác định $x \ne \frac{1}{3},\,\,x \ne - \frac{1}{3}.$

Ta có: $\frac{{1 - 3x}}{{1 + 3x}} - \frac{{1 + 3x}}{{1 - 3x}} = \frac{4}{{1 - 9{x^2}}}$

$\frac{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}} - \frac{{{{\left( {1 + 3x} \right)}^2}}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}} = \frac{4}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}}$

$\frac{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2} - {{\left( {1 + 3x} \right)}^2}}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}} = \frac{4}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}}$

${\left( {1 - 3x} \right)^2} - {\left( {1 + 3x} \right)^2} = 4$

$\left( {1 - 3x - 1 - 3x} \right)\left( {1 - 3x + 1 + 3x} \right) = 4$

$- 6x \cdot 2 = 4$

$- 12x = 4$

$x = - \frac{1}{3}$ (loại).

Vậy phương trình vô nghiệm.