Bộ 5 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Cánh diều (Tự luận) có đáp án - Đề 3

Hướng dẫn giải

a) ⦁ Xét biểu thức $A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}.$

Điều kiện xác định của biểu thức $A$ và $x \ge 0,\,\,\sqrt x - 3 \ne 0,$ tức là $x \ge 0$ và $x \ne 9$.

⦁ Xét biểu thức $B = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}} \right).\frac{{x - \sqrt x }}{{2\sqrt x + 1}}$.

Điều kiện xác định của biểu thức $B$ là $x \ge 0,\,\,\sqrt x - 1 \ne 0,\,\,x - 1 \ne 0,\,\,2\sqrt x + 1 \ne 0.$

Với $x \ge 0$, ta có: $\sqrt x - 1 \ne 0$ khi $x \ne 1;$

$x - 1 \ne 0$ khi $x \ne 1;$

$2\sqrt x + 1 > 0$.

Do đó, điều kiện xác định của biểu thức $B$ là $x \ge 0$ và $x \ne 1.$

b) Thay $x = \frac{1}{{16}}$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A$, ta có:

$A = \frac{{\sqrt {\frac{1}{{16}}} + 1}}{{\sqrt {\frac{1}{{16}}} - 3}} = \frac{{\frac{1}{4} + 1}}{{\frac{1}{4} - 3}} = \frac{{\frac{5}{4}}}{{ - \frac{{11}}{4}}} = - \frac{5}{{11}}.$

Vậy $A = - \frac{5}{{11}}$ khi $x = \frac{1}{{16}}$.

c) Với $x \ge 0;x \ne 1$, ta có:

$B = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}} \right) \cdot \frac{{x - \sqrt x }}{{2\sqrt x + 1}}$

$= \left[ {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right] \cdot \frac{{x - \sqrt x }}{{2\sqrt x + 1}}$

$=\frac{2\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}\cdot \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}{2\sqrt{x}+1}$ $=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}.$

Vậy với $x \ge 0;x \ne 1$ thì $B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}$.

d) Với $x \ge 0;x \ne 9;x \ne 1,$ ta có: $A.B = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}$.

Khi đó, để $A.B < 1$ thì $\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} < 1$.

Giải bất phương trình: $\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} < 1$

$\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - 1 < 0$

$\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 3}} < 0$

$\frac{3}{{\sqrt x - 3}} < 0$.

Do $3 > 0$ nên để $\frac{3}{{\sqrt x - 3}} < 0$ thì $\sqrt x - 3 < 0$ hay $\sqrt x < 3$. Suy ra $x < 9$.

Kết hợp với điều kiện $x \ge 0;x \ne 9;x \ne 1$ nên $0 \le x < 9;x \ne 1$.

Mà $x$ là số nguyên tố nên ta được $x \in \left\{ {2;\,\,3;\,\,5;\,\,7} \right\}.$

Vậy các giá trị nguyên tố thỏa mãn $A.B < 1$ là $x \in \left\{ {2;\,\,3;\,\,5;\,\,7} \right\}.$

a) Điều kiện xác định $x \ne - 1,x \ne 3$.

Ta có: $\frac{x}{{2\left( {x - 3} \right)}} + \frac{x}{{2x + 2}} = \frac{{2x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}$

$\frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{2\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}} + \frac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{2\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{2x \cdot 2}}{{2\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}$

$x\left( {x + 1} \right) + x\left( {x - 3} \right) = 2x \cdot 2$

${x^2} + x + {x^2} - 3x - 4x = 0$

$2{x^2} - 6x = 0$

$2x\left( {x - 3} \right) = 0$

$x = 0$ hoặc $x - 3 = 0$.

$x = 0$ (thỏa mãn) hoặc $x = 3$ (loại).

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 0$.

b) $\frac{{x + 2}}{3} - 1 \ge 2x + \frac{x}{2}$

$$\frac{{x + 2}}{3} - \frac{3}{3} \ge \frac{{4x}}{2} + \frac{x}{2}$$

$$\frac{{x + 2 - 3}}{3} \ge \frac{{4x + x}}{2}$$

$$\frac{{x - 1}}{3} \ge \frac{{5x}}{2}$$

$$2\left( {x - 1} \right) \ge 3 \cdot 5x$$

$$2x - 2 \ge 15x$$

$$2x - 15x \ge 2$$

$$- 13x \ge 2$$

$x \le \frac{{ - 2}}{{13}}$.

Vậy bất phương trình có nghiệm là $x \le \frac{{ - 2}}{{13}}$.

c) $\frac{3}{2}\sqrt {4x - 8} - 9\sqrt {\frac{{x - 2}}{{81}}} = 6$ (đkxđ: $x \ge 2).$

$$\frac{3}{2}\sqrt {4\left( {x - 2} \right)} - 9\sqrt {\frac{1}{{81}}\left( {x - 2} \right)} = 6$$

$$\frac{3}{2} \cdot 2\sqrt {x - 2} - 9 \cdot \frac{1}{9}\sqrt {x - 2} = 6$$

$$3\sqrt {x - 2} - \sqrt {x - 2} = 6$$

$$2\sqrt {x - 2} = 6$$

$$\sqrt {x - 2} = 3$$

$$x - 2 = 9$$

$x = 11$ (thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = 11.$

2. Gọi $x,y$ (kg/m$^{3}$) lần lượt là khối lượng riêng của chất lỏng loại I và chất lỏng loại II $\left( {x,y > 0} \right).$

Theo đề, khối lượng riêng của chất lỏng loại I lớn hơn khối lượng riêng của chất lỏng loại II là ${\rm{200 kg/}}{{\rm{m}}^3}$ nên ta có phương trình: $x - y = 200$ (1).

Thể tích của 4 kg chất lỏng loại I là: $\frac{4}{x}$ (m$^{3}$). Thể tích của 3 kg chất lỏng loại II là: $\frac{3}{y}$ (m$^{3}$).

Khi đó, tổng thể tích hai loại chất lỏng là: $\frac{4}{x} + \frac{3}{y}$ (m$^{3}$).

Người ta trộn $4{\rm{ kg}}$ chất lỏng loại I với ${\rm{3 kg}}$ chất lỏng loại II, do đó khối lượng hỗn hợp là: $3 + 4 = 7{\rm{ }}\left( {{\rm{kg}}} \right)$.

Thể tích của hỗn hợp sau khi pha là: $\frac{7}{{700}} = \frac{1}{{100}}$ (m$^{3}$).

Khi đó, ta có phương trình: $\frac{4}{x} + \frac{3}{y} = \frac{1}{{100}}$ (2)

Từ (1) và (2), suy ra hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - y = 200\\\frac{4}{x} + \frac{3}{y} = \frac{1}{{100}}\end{array} \right.$

Từ (1) ta có: $x = 200 + y$, thế vào phương trình (2), ta được: $\frac{4}{{200 + y}} + \frac{3}{y} = \frac{1}{{100}}$.

Giải phương trình:

$\frac{4}{{200 + y}} + \frac{3}{y} = \frac{1}{{100}}$

$\frac{{400y}}{{100\left( {200 + y} \right)y}} + \frac{{300\left( {200 + y} \right)}}{{100y\left( {200 + y} \right)}} = \frac{{y\left( {200 + y} \right)}}{{100y\left( {200 + y} \right)}}$

$400y + 300\left( {200 + y} \right) = y\left( {200 + y} \right)$

$400y + 60\,\,000 + 300y = 200y + {y^2}$

${y^2} - 500y - 60\,\,000 = 0$

${y^2} + 100y - 600y - 60\,\,000 = 0$

$y\left( {y + 100} \right) - 600\left( {y + 100} \right) = 0$

$\left( {y + 100} \right)\left( {y - 600} \right) = 0$

Suy ra $y - 600 = 0$ (do $y + 100 > 0$ với mọi $y > 0)$

Do đó $y = 600$ (thỏa mãn).

Thay $y = 600$ vào phương trình $x = 200 + y$, ta được $x = 800$ (thỏa mãn).

Vậy khối lượng riêng của chất lỏng loại I và loại II lần lượt là ${\rm{800 kg/}}{{\rm{m}}^3}$ và ${\rm{600 kg/}}{{\rm{m}}^3}.$

3. a) Đổi $5{,}25$ tấn = $5\,\,250$ kg.

Gọi $x$ là số thùng bia mà xe có thể chở ($x \in {\mathbb{N}^ * }$, đơn vị: thùng).

Khối lượng của $x$ thùng bia là: $6{,}7x$ (kg).

Tổng khối lượng của các thùng bia và bác tài xế là: $6{,}7x + 65$ (kg).

Theo bài, trọng tải của xe (tức là tổng khối lượng tối đa cho phép mà xe có thể chở) là $5{,}25$ tấn nên ta có bất phương trình: $65 + 6{,}7x \le 5\,\,250$.

b) Giải bất phương trình:

$65 + 6{,}7x \le 5\,\,250$

$6{,}7x \le 5\,\,185$

$x \le \frac{{51\,\,850}}{{67}}\,\,\,\left( { \approx 773{,}88} \right)$.

Mà $x \in {\mathbb{N}^ * }$ và cần tìm $x$ có giá trị lớn nhất nên $x = 773.$

Vậy xe có thể chở được tối đa $773$ thùng bia.

1. Ta có: $Ax\,{\rm{//}}\,BC$ suy ra $\widehat {ACB} = \widehat {xAC} = 35^\circ$ (so le trong).

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $B,$ ta có:

$\sin 35^\circ = \sin \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{AC}};$ $\tan 35^\circ = \tan \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{BC}}.$

2. Ta có $AB = 1{,}6 + 25 = 26{,}6{\rm{ m}}{\rm{.}}$

Theo câu a, ta có:

⦁ $\tan 35^\circ = \tan \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{BC}}$ nên $BC = \frac{{AB}}{{\tan 35^\circ }} = \frac{{26{,}6}}{{\tan 35^\circ }} \approx 38{\rm{ (m)}}{\rm{.}}$

⦁ $\sin 35^\circ = \sin \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{AC}}$ nên $AC = \frac{{AB}}{{\sin 35^\circ }} = \frac{{26{,}6}}{{\sin 35^\circ }} \approx 46{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Vậy chiếc xe cách tòa nhà khoảng $38{\rm{ m}}$ và cách mắt người quan sát khoảng $46{\rm{\;m}}.$

a) Ta có: $\widehat {AMB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Suy ra $\widehat {AMC} = 90^\circ$ (cùng bù với $\widehat {AMB}$).

Gọi $E$ là trung điểm của $CA$.

Xét $\Delta AMC$ vuông tại $M$ có $ME$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $CA$ nên $ME = \frac{1}{2}CA.$

Xét $\Delta AKC$ vuông tại $K$ có $KE$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $CA$ nên $KE = \frac{1}{2}CA.$

Do đó, $KE = ME = EC = EA = \frac{1}{2}CA$ nên bốn điểm $A,M,C,K$ cùng thuộc một đường tròn tâm $E$ đường kính $CA$.

b) ⦁ Xét $\Delta OMN$ cân tại $O$ (do $OM = ON)$ nên đường cao $OH$ đồng thời là đường trung tuyến, hay $H$ là trung điểm của $MN$.

Xét $\Delta MNB$ có $BH$ là đường cao và cũng là đường trung tuyến của $\Delta MNB$ nên $\Delta MNB$ cân tại $B$.

Suy ra $BH$ cũng là đường phân giác của $\widehat {MBN}$.

Hay $BK$ là đường phân giác của $\widehat {CBD}$.

⦁ Xét $\Delta BCD$ có $BK$ vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của $\Delta BCD$ nên $\Delta BCD$ cân tại $B$

Do đó $\widehat {BCD} = \widehat {BDC}$. (1)

Ta có: $\widehat {CDB} = \widehat {KAC}$ (cùng phụ với $\widehat {DCA}$) (2)

Xét đường tròn $\left( E \right)$ có $\widehat {KAC} = \widehat {KMC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $KC$) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\widehat {BCD} = \widehat {KMC} = \widehat {BDC} = \widehat {KAC}$

Xét $\Delta KMC$ có $\widehat {KCM} = \widehat {KMC}$ nên $\Delta KMC$ cân tại $K$.

c) Xét $\Delta BOM$ cân tại $O$ (do $OM = OB$) ta có $\widehat {OMB} = \widehat {OBM}$.

Mà $\widehat {OBM} = \widehat {OBD}$ (do $BK$ là đường phân giác của $\widehat {CBD}$).

Suy ra $\widehat {OMB} = \widehat {OBD}.$

Xét $\Delta BDK$ vuông tại $K,$ ta có: $\widehat {OBD} + \widehat {BDK} = 90^\circ$

Mà $\widehat {OMB} = \widehat {OBD}$ và $\widehat {BDK} = \widehat {KMC}$ nên $\widehat {OMB} + \widehat {KMC} = 90^\circ$

Do đó, $\widehat {KMO} = 180^\circ - \left( {\widehat {OMB} + \widehat {KMC}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Suy ra $KM \bot MO$ tại $M$ thuộc đường tròn $\left( O \right)$.

Vậy $KM$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$.

Hướng dẫn giải

Chiều dài của đáy bể là $2x{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Diện tích đáy của bể là $2{x^2}{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right).$

Chiều cao của bể là: $\frac{{72}}{{2{x^2}}} = \frac{{36}}{{{x^2}}}{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Diện tích xung quanh của bể là: $2 \cdot \frac{{36}}{{{x^2}}} \cdot \left( {x + 2x} \right) = \frac{{72 \cdot 3x}}{{{x^2}}} = \frac{{216}}{x}{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).$

Diện tích cần xây bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy của bể, và bằng:

$\frac{{216}}{x}{\rm{ + }}2{x^2}{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).$

Do $x$ là chiều rộng của bể nên $x > 0$, áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$2{x^2} + \frac{{216}}{x} = 2{x^2} + \frac{{108}}{x} + \frac{{108}}{x} \ge 3\sqrt[3]{{2{x^2} \cdot \frac{{108}}{x} \cdot \frac{{108}}{x}}}{\rm{ }}$

Suy ra $2{x^2} + \frac{{216}}{x} \ge 3\sqrt[3]{{23\,\,328}} \approx 85{,}72$

Dấu “=” xảy ra khi $2{x^2} = \frac{{108}}{x} = \frac{{108}}{x}$ hay $2{x^3} = 108$, tức là $x = \sqrt[3]{{54}} \approx 3{,}78{\rm{ m}}{\rm{.}}$

Vậy muốn diện tích cần xây là tiết kiệm chi phí nhất thì $x \approx 3{,}78{\rm{ m}}{\rm{.}}$