Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 03

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (2,0 điểm)

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất hai ẩn?

B. PHẦN TỰ LUẬN (7,0 điểm)

(1,5 điểm) Cho hai biểu thức $A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 4}}$ và $B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 4}} - \frac{{10\sqrt x - 8}}{{16 - x}}$ với $x > 0,x \ne 16.$

a) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = \frac{1}{9}.$

b) Chứng minh rằng $B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 4}}.$

c) Tìm $m$ để $\frac{A}{B} \ge 2$.

(2,0 điểm)

1. Giải các phương trình, bất phương trình sau.

a) $\frac{{1 - 3x}}{{1 + 3x}} - \frac{{1 + 3x}}{{1 - 3x}} = \frac{{12}}{{1 - 9{x^2}}}.$

b) $5x - \frac{7}{2}\left( {2x - 5} \right) < \frac{2}{3}\left( {x - 1} \right).$

Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình.

Hai tổ cùng làm một công việc trong $15$ giờ thì xong. Nếu tổ I làm trong $3$ giờ, tổ II làm trong $5$ giờ thì được $25\%$ công việc. Hỏi mỗi tổ làm riêng trong bao lâu thì xong công việc đó?

(1,0 điểm) Sau một trận bão lớn, một cái cây mọc thẳng đứng ở vị trí $C$ đã bị gãy ngang tại $A$ (như hình vẽ). Ngọn cây chạm mặt đất cách gốc một khoảng $BC = 5{\rm{ m}}$. Biết rằng phần ngọn bị gãy $AB$ và phần gốc $AC$ có tỉ lệ $3:2$.

a) Tính góc $\alpha$ tạo bởi phần thân bị gãy $AB$ và mặt đất $BC$ (kết quả làm tròn đến phút).

b) Hỏi chiều cao ban đầu của cây là bao nhiêu mét *(kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai*?

***(2,0 điểm)* **Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và một điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $\left( O \right)$. Từ $A$ vẽ hai tiếp tuyến $AB,AC$ của đường tròn $\left( O \right)$ ($B,\,\,C$ là hai tiếp điểm). Gọi $H$ là giao điểm của $OA$ và $BC.$

Tia $AO$ cắt đường tròn $\left( O \right)$ tại $M,N$ ($M$ nằm giữa $A$ và $N$).

a) Chứng minh $OA \bot BC$ và $AM \cdot AN = AH \cdot AO = A{O^2} - {R^2}.$

b) Kẻ đường kính $BD$, gọi $E$ là hình chiếu của $C$ trên $BD$, $K$ là giao điểm của $AD$ và $CE$. Chứng minh rằng $K$ là trung điểm của $CE.$

c) Giả sử $OA = 2R$, tính diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính $OB,OC$ và cung lớn

***(0,5 điểm)* **Bác An có mảnh vườn hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $4{\rm{ m}}$. Ở bốn góc vườn, bác An muốn trồng hoa vào các phần đất hình tam giác vuông bằng nhau (hình vẽ). Hãy tính khoảng cách từ góc vườn $A$ đến vị trí $E$ sao cho tứ giác $EFGH$ có chu vi nhỏ nhất.