Bài tập Vận dụng công thức tính góc trong không gian vào giải quyết bài toán liên quan thực tế lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {2; - 2;1} \right)$ và (Oxy) có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$.

Do đó $\sin \left( {AB,\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| {2.0 + \left( { - 2} \right).0 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2}} }} = \frac{1}{3}$ (AB, (Oxy)) ≈ 19°.

Đáp án đúng là: C

Trong khoảng thời gian ngắn đó, máy bay chuyển động trên đường thẳng đi qua A nhận $\overrightarrow v = \left( {0;\sqrt 3 ;1} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Mặt phẳng (Oxy) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$.

Ta có $\sin \left( {\Delta ,\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow v .\overrightarrow k } \right|}}{{\left| {\overrightarrow v } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}} = \frac{1}{2}$ (, (Oxy)) = 30°.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng a nhận $\overrightarrow {MN} = \left( { - 1;2; - 2} \right)$ làm vectơ chỉ phương, đường thẳng b nhận $\overrightarrow {PQ} = \left( {2;3;6} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Do đó $\cos \left( {a,b} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {PQ} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|.\left| {\overrightarrow {PQ} } \right|}} = \frac{8}{{21}}$ (a, b) ≈ 68°.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow {OA} = \left( {5; - 3;1} \right),\overrightarrow {OB} = \left( { - 3; - 4;2} \right)$.

Mặt phẳng (OAB) nhận $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( { - 2; - 13; - 29} \right)$ là một vectơ pháp tuyến.

Mặt khác $\overrightarrow {CA} = \left( {5; - 3; - 4} \right)$ nên ta có:

$\sin \left( {CA,\left( {OAB} \right)} \right) = \frac{{\left| {5.\left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right).\left( { - 13} \right) + \left( { - 4} \right).\left( { - 29} \right)} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 13} \right)}^2} + {{\left( { - 29} \right)}^2}} }} = \frac{{29}}{{13\sqrt {12} }}$.

Suy ra (CA, (OAB)) ≈ 40°.

Đáp án đúng là: A

Có $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2;0} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1; - 2; - 3} \right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).

Khi đó $\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {1.1 + \left( { - 2} \right).\left( { - 2} \right) + 0.\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {70} }}$.

Đáp án đúng là: C

Gọi α là góc giữa đường bay và sân bay. Khi đó α = (AB, (Oxy)).

Với đường thẳng AB, nhận vectơ $\overrightarrow {AB} = \left( {5;6;3} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Với (Oxy) do Oz (Oxy) nên mặt phẳng (Oxy) nhận $\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Khi đó ta có $\sin \alpha = \frac{{\left| {5.0 + 6.0 + 3.1} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {6^2} + {3^2}} .\sqrt {{1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {70} }}$ α ≈ 21°.

Đáp án đúng là: A

Vì ABCD.EFGH là hình hộp chữ nhật ta có:

AB = CD = EF = GH = 10, AE = BF = CG = DH = 7, AD = BC = EH = FG = 24.

Vì EFIK, HGIK là hình chữ nhật bằng nhau nên ta có tam giác IGF cân tại I và có chiều cao kẻ từ I bằng 1. Suy ra

E(0; 0; 7), F(10; 0; 7), G(10; 24; 7), H(0; 24; 7), I(10; 12; 8).

Khi đó $\overrightarrow {EF} = \left( {10;0;0} \right),\overrightarrow {FI} = \left( {0;12;1} \right),\overrightarrow {HG} = \left( {10;0;0} \right),\overrightarrow {GI} = \left( {0; - 12;1} \right)$.

Ta có $\left[ {\overrightarrow {EF} ,\overrightarrow {FI} } \right] = \left( {0; - 10;120} \right) = - 10\left( {0;1; - 12} \right)$,

$\left[ {\overrightarrow {HG} ,\overrightarrow {GI} } \right] = \left( {0; - 10; - 120} \right) = - 10\left( {0;1;12} \right)$.

Do đó mặt phẳng (EFIK) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {0;1; - 12} \right)$.

Mặt phẳng (HGIK) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {0;1;12} \right)$.

Gọi φ là góc giữa hai mái nhà.

Ta có $\cos \varphi = \frac{{\left| {0.0 + 1.1 + \left( { - 12} \right).12} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2} + {{12}^2}} }} = \frac{{143}}{{145}}$ φ ≈ 9,5°.

Đáp án đúng là: B

Mặt phẳng Oxy có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$.

Đường thẳng AB nhận $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;0;3} \right)$ là một vectơ chỉ phương.

Ta có $\sin \left( {AB,\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 3.0 + 0.0 + 3.1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {0^2} + {3^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$.

Suy ra (AB, (Oxy)) = 45°.

Đáp án đúng là: B

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)$ và d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {1;1;0} \right)$.

Ta có $\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {0.1 + 1.1 + 0.0} \right|}}{{\sqrt {0 + 1 + 0} .\sqrt {1 + 1 + 0} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ (d, (P)) = 45°.

Đáp án đúng là: D

Mặt phẳng (ABC) có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} = \left( {4;0; - 2} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {0;9;0} \right)$.

Ta có $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {18;0;36} \right)$.

Do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;0;2} \right)$.

Lại có, (Oxy) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {0;0;1} \right)$.

Ta có góc α là góc giữa mái nhà bên phải và nên nhà. Khi đó:

$\cos \alpha = \frac{{\left| {1.0 + 0.0 + 2.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}$ α ≈ 27°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có vec tơ chỉ phương: $\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} = \left( {60;\,\,40;\,\,80} \right)$.

Mặt phẳng ngang có pháp tuyến: $\overrightarrow n = \left( {0;\,\,0;\,\,1} \right)$

Gọi a là góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (Oxy).

Khi đó: $\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow u \cdot \overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right| \cdot \left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {60 \cdot 0 + 40 \cdot 0 + 80 \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{{60}^2} + {{40}^2} + {{80}^2}} \cdot \sqrt {{1^2}} }} = \frac{{80}}{{\sqrt {11600} }} \Rightarrow \alpha \approx 48^\circ$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {0;\,\,1;\,\, - 1} \right)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

Mặt phẳng nằm ngang (Oxy) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow k = \left( {0;\,\,0;\,\,1} \right)$.

Ta có: $\sin \left( {AB,\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow k } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow k } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow k } \right|}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \left( {AB,\left( {Oxy} \right)} \right) = 45^\circ$.

Vậy ống nước nghiêng 45° so với mặt nằm ngang.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Trong khoảng thời gian ngắn đó, máy bay chuyển động trên đường thẳng d đi qua A(2; 0; 0) và nhận $\overrightarrow v = \left( {2;\,\,0;\,\,1} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Vec tơ chỉ phương của d, trục Ox lần lượt là $\overrightarrow v = \left( {2;\,\,0;\,\,1} \right)$ và $\overrightarrow i = \left( {1;\,\,0;\,\,0} \right)$.

$\cos \left( {d,Ox} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow v \cdot \overrightarrow i } \right|}}{{\left| {\overrightarrow v } \right| \cdot \left| {\overrightarrow i } \right|}} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}$.

Vậy góc cất cánh của may bay xấp xỉ bằng 27°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;0;2} \right)$.

Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {0;0;1} \right)$.

$\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {0^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = 45^\circ$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Kẻ CH ^ (P), ta có: $CH = d\left( {C,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot 4 - 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 - 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 3$.

Do tam giác CAB cân tại C nên $\widehat {ACH} = 57{,}5^\circ$.

Xét tam giác vuông CAH có AH = CH×tan$\widehat {ACH}$= 3×tan57,5° $\approx$ 4,7091.

Diện tích của vùng quan sát được của camera là: S = p∙r2 $\approx$ p×(4,7091)2 $\approx$ 69,7 (đvdt).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. (P) và (Q) có vectơ pháp tuyến lần lượt là: $\overrightarrow n = \left( {4;0;11} \right)$ và $\overrightarrow {n'} = \left( {0;0;1} \right)$

b) Sai. Ta có: 4×6 + 11×(-16) + 5 ¹ 0. Do đó điểm C(6; -7; -16) không thuộc mặt phẳng (P).

c) Đúng. $\left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}0&{11}\\0&1\end{array}} \right|;\,\,\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{11}&4\\1&0\end{array}} \right|;\,\,\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}4&0\\0&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {0; - 4;0} \right)$

$\Rightarrow \left| {\left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right]} \right| = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {0^2}} = 4$.

d) Sai. $\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow n \cdot \overrightarrow {n'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right| \cdot \left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {4 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 11 \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {0^2} + {{11}^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{11}}{{\sqrt {137} }}$

Vậy $\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right)$ $\approx$ 20°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Vì DABC đều có BO là đường cao. Do đó, BO đồng thời là đường trung tuyến. Suy ra, O là trung điểm của AC Þ AO = BC = $\frac{{AC}}{2}$= 4 (m).

Vì BO là trung tuyến của tam giác đều có cạnh bằng 8 m nên BO = $\frac{{8\sqrt 3 }}{2} = 4\sqrt 3$.

Khi đó tọa độ các điểm là: A'(0; -4; 10), $B'\left( {4\sqrt 3 ;\,\,0;\,\,9} \right)$, C'(0; 4; 8).

b) Sai. Mặt phẳng (ABC) trùng với mặt phẳng (Oxy) nên có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow k = \left( {0;\,\,0;\,\,1} \right)$.

Suy ra $\overrightarrow {A'B'} = \left( {4\sqrt 3 ;\,\,4;\,\, - 1} \right),\,\,\overrightarrow {A'C'} = \left( {0;\,\,8;\,\, - 2} \right)$

c) Đúng. Ta có: $\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}4&{ - 1}\\8&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 1}&{4\sqrt 3 }\\{ - 2}&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{4\sqrt 3 }&4\\0&8\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;\,\,8\sqrt 3 ;\,\,32\sqrt 3 } \right)$.

Suy ra $\overrightarrow n = \frac{1}{{8\sqrt 3 }}\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = \left( {0;\,\,1;\,\,4} \right)$là một vectơ pháp tuyến của (A'B'C').

d) Sai. Ta có:

$\cos \left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \frac{{\left| {0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 4} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {1^2} + {4^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {17} }} \Rightarrow \left( {\left( {ABC} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) \approx 14^\circ$

Vậy mái nhà không ở mức tiêu chuẩn

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Vì đường cáp đi qua điểm A(10; 3; 0) có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {2;\,\, - 2;\,\,1} \right)$nên có phương trình chính tắc là $\frac{{x - 10}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}$.

b) Đúng. Sau t giây kể từ lúc xuất phát (t > 0), cabin đến vị trí điểm M. Khi đó cabin đi được đoạn đường có độ dài bằng đoạn AM = 4,5t.

Đặt $\frac{{x - 10}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 2}} = \frac{z}{1} = u \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 2u\\y = 3 - 2u\\z = u\end{array} \right.$

Suy ra tọa độ điểm M là M(10 + 2u; 3 – 2u; u) (u > 0).

Khi đó:

AM = 4,5t <=> (2u)2 + (-2u)2 + u2 = (4,5t)2 <=> 9u2 = $\frac{{81}}{4}$t2

Vì u > 0 => u = $\frac{3}{2}t$.

Do đó, $M\left( {10 + 3t;\,\,3 - 3t;\,\,\frac{3}{2}t} \right)$.

c) Đúng. Ta có: B(10 + 2u; 3 – 2u; u) (u > 0).

B có hoành độ xB = 550 => 10 + 2u = 550 Þ u = 270.

Do đó, B(550; -537; 270) => AB = $\sqrt {{{\left( {550 - 10} \right)}^2} + {{\left( { - 537 - 3} \right)}^2} + {{270}^2}} = 810$ (m).

d) Sai. Đường cáp AB có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {2;\,\, - 2;\,\,1} \right)$, mặt phẳng (Oxy) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow k = \left( {0;\,\,0;\,\,1} \right)$. Suy ra góc giữa đường cáp AB và mặt phẳng (Oxy) là a với sin a = $\frac{{\left| {\overrightarrow u \cdot \overrightarrow k } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| k \right|}} = \frac{1}{3}$ => a = 19°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai. Ta có: $\overrightarrow {AB} \left( { - 1;\,\,4;\,\, - 10} \right)$.

Phương trình AB: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = - 2 + 4t\\z = 6 - 10t\end{array} \right.$.

Giao điểm M(x; y; z) của AB và (P) thỏa mãn:

$\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = - 2 + 4t\\z = 6 - 10t\\2x - y + 2z + 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \frac{{12}}{{13}}\\x = \frac{1}{{13}}\\y = \frac{{22}}{{13}}\\z = - \frac{{42}}{{12}}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{1}{{13}};\,\,\frac{{22}}{{13}};\,\, - \frac{{42}}{{13}}} \right)$.

$\overrightarrow {AM} \left( { - \frac{{12}}{{13}};\,\,\frac{{48}}{{13}};\,\, - \frac{{120}}{{13}}} \right) = \frac{{12}}{{13}}\overrightarrow {AB}$.

Vậy viên đạn dừng lại ở bia chắn là mặt phẳng (P), không đi qua điểm B.

b) Sai. Thay tọa độ điểm B(0; 2; -4) vào phương trình (P): 2x – y + 2z + 8 = 0, ta có: 2×0 - 2 + 2×(-4) + 8 = -2 ¹ 0. Vậy điểm B không thuộc (P).

c) Đúng. Hình chiếu vuông góc của A trên (Oxz) là H(1; 0; 6).

d) Sai. Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P) là a

Ta có: $\overrightarrow n = \left( {2;\,\, - 1;\,\,2} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của (P), $\overrightarrow {AB} \left( { - 1;\,\,\,4;\,\, - 10} \right)$.

sin a = $\left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| { - 1 \cdot 2 + 4 \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 10} \right) \cdot 2} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {4^2} + {{\left( { - 10} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{{2\sqrt {13} }}{9}$ => a $\approx$53°.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;\,\,7;\,\, - 1} \right)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

Do đó phương trình đường thẳng AB là $\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 3t\\y = - 5 + 7t\\z = 1 - t\end{array} \right.$ (t phút).

b) Sai. Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;\,\,7;\,\, - 1} \right)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB và $\overrightarrow k = \left( {0;\,\,0;\,\,1} \right)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy).

Khi đó $\sin \left( {AB,\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow k } \right)} \right| = \frac{{\left| { - 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {7^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} \cdot \sqrt {{1^2}} } }} = \frac{{\sqrt {59} }}{{59}}$.

Suy ra $\left( {AB,\left( {Oxy} \right)} \right) \approx 7{,}48^\circ \in \left( {2{,}5^\circ ;\,\,9^\circ } \right)$

c) Đúng. Phương trình mặt phẳng (P) là $\frac{x}{5} + \frac{y}{{ - 1}} + \frac{z}{2} = 1 \Leftrightarrow 2x - 10y + 5z - 10 = 0$.

Ta có C là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (P) nên C$\in$ AB.

Suy ra, điểm C(4 – 3t; -5 + 7t; 1 – t), thay vào (P) ta được:

2(4 – 3t) – 10(-5 + 7t) + 5(1 – t) – 10 = 0 <=> -81t + 53 = 0 <=> t = $\frac{{53}}{{81}}$.

Suy ra $C\left( {\frac{{55}}{{27}};\,\, - \frac{{34}}{{81}};\,\,\frac{{28}}{{81}}} \right)$. Do đó, điểm C có độ cao bằng $\frac{{28}}{{81}}$ (km) $\approx$ 346 (m).

d) Đúng. Gọi I là điểm ở độ cao 150 m và I $\in$AB nên tọa độ điểm I là I(4 – 3a, -5 + 7a; 1 – a).

Vì I ở độ cao 150 m nên khoảng cách từ I đến mặt phẳng (Oxy) là 150 m = 0,15 km.

$d\left( {I,\left( {Oxy} \right)} \right) = 0{,}15 \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 - a} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = 0{,}15 \Leftrightarrow \left| {1 - a} \right| = 0{,}15$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - a = 0{,}15\\1 - a = - 0{,}15\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0{,}85\\a = 1{,}15\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}I\left( {1{,}45;\,\,0{,}95;\,\,0{,}15} \right)\\I\left( {0{,}55;\,\,3{,}05;\,\, - 0{,}15} \right)\end{array} \right.$.

Vì I là vị trí độ cao của máy bay nên ta chọn I(1,45; 0,95; 0,15).

Ta có: IE = $\sqrt {{{\left( {1{,}45 - 2} \right)}^2} + {{\left( {0{,}95 - 0{,}5} \right)}^2} + {{0{,}15}^2}} \approx 0{,}73.$

Do tầm nhìn của phi công sau khi khỏi máy bay là 800 m = 0,8 km > 0,73 km nên người phi công đạt được quy định an toàn bay.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 21.

Gọi a là góc giữa đường bay và sân bay. Khi đó a = (AB, (Oxy)).

Với đường thẳng AB, nhận vectơ $\overrightarrow {AB} = \left( {5;\,\,6;\,\,3} \right)$ làm vectơ chi phương.

Với (Oxy) do Oz ^ (Oxy) nên mặt phẳng (Oxy) nhận $\overrightarrow k = \left( {0;\,\,0;\,\,1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Khi đó, sin a = $\frac{{\left| {\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow k } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow k } \right|}} = \frac{{3\sqrt {70} }}{{70}}$.

Vậy a $\approx$ 21°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 53.

Ta có: $\overrightarrow {MA} = \left( { - 3;\,\,4;\,\,3} \right)$ suy ra $\overrightarrow {MA} = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {4^2} + {3^2}} = \sqrt {34} \approx 5{,}8$(m)

Mặt phẳng (OMN) có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {OM} = \left( {3;\,\, - 4;\,\,3} \right)$, $\overrightarrow {ON} = \left( { - 5;\,\, - 2;\,\,2} \right)$ nên có vec tơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {ON} } \right] = \left( { - 2;\,\, - 21;\,\, - 26} \right)$.

Gọi a là góc tạo bởi MA với mặt phẳng (AMN).

Ta có:

sin a =$\frac{{\left| {\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {\left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 2} \right) + 4 \cdot \left( { - 21} \right) + 3 \cdot \left( { - 26} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {4^2} + {3^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 21} \right)}^2} + {{\left( { - 26} \right)}^2}} }} = \frac{{156}}{{\sqrt {38114} }}$

$\Rightarrow \alpha \approx 53^\circ$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 10.

Mặt phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow k = \left( {0;\,\,0;\,\,1} \right)$.

Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} = \left( {4;\,4;\, - 1} \right)$.

Ta có: $\sin \left( {AB,\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 1} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {4^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \cdot \sqrt 1 }} = \frac{1}{{\sqrt {33} }}$.

Suy ra $\left( {AB,\left( {Oxy} \right)} \right)$ $\approx$ 10°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 26,6

Độ dốc của mái nhà, tức là số đo của góc tạo bởi hai mặt phẳng (OABC) và (FGQP).

Ta có: $\overrightarrow {QP} = \left( {0;\,\, - 5;\,\,0} \right)$, $\overrightarrow {QG} = \left( {2;\,\,0;\,\, - 1} \right)$.

Mặt phẳng (FGQP) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {QP} ,\,\,\overrightarrow {QG} } \right] = \left( {5;\,\,0;\,\,10} \right)$.

Mặt phẳng (OABC) chính là mặt phẳng (Oxy) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow k = \left( {0;\,\,0;\,\,1} \right)$.

Gọi a là góc giữa hai mặt phẳng (FGHE) và (Oxy).

Ta có: cos a = $\left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow k } \right)} \right| = \frac{{\left| {5 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 10 \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {0^2} + {{10}^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}$.

Do đó, a $\approx$26,6°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 38,8.

Gọi O, B', C' lần lượt là hình chiếu của A, B, C lên sàn nhà.

Ta gắn trục hệ tọa độ như sau:

Tia Ox trùng với OB', Oy trùng với OC', Oz trùng với OA, mỗi đơn vị trên trục tọa độ ứng với 10 cm trong thực tế. Khi đó, ta có tọa độ các điểm như sau:

O(0; 0; 0), A(0; 0; 12), B(15; 0; 13), C(0; 15; 24) Þ $\overrightarrow {AB} \left( {15;\,\,0;\,\,1} \right),\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {0;\,\,15;\,\,12} \right)$.

Suy ra $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 15;\,\, - 180;\,\,225} \right)$.

Mặt nghiêng của cửa sổ có vectơ pháp tuyến: $\overrightarrow {{n_2}} = \,\frac{1}{{15}}\left[ {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1;\,\, - 12;\,\,15} \right)$.

Mặt sàn trùng với mặt phẳng (Oxy) suy ra có vectơ pháp tuyến: $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {0;\,\,0;\,\,1} \right)$.

$\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {15} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2} + {{15}^2}} \cdot \sqrt {{1^2}} }} = \frac{{3\sqrt {370} }}{{74}} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right) \approx 38{,}8^\circ$.