Bài tập Tổng và hiệu của hai vecto có đáp án

Sau bài học này ta sẽ giải quyết bài toán này như sau:

Ta biểu thị hai bờ sông là hai đường thẳng song song d$_{1}$, d$_{2}$ (H.4.17). Giả sử tàu xuất phát từ $A\in {d}_{1}$ và bánh lái luôn được giữ để tàu tạo với bờ một góc $α$. Gọi và lần lượt là vận tốc riêng của tàu và vận tốc dòng nước. Gọi M, N là các điểm sao cho $\overrightarrow{{v}_{r}}=\overrightarrow{AM},\overrightarrow{{v}_{n}}=\overrightarrow{MN}.$

Khi đó tàu chuyển động với vectơvận tốc thực tế là $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{{v}_{r}}+\overrightarrow{{v}_{n}}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}.$

Gọi B, C tương ứng là giao điểm của AN, AM với d$_{2}$. Tàu chuyển động thẳng từ A đến B với vận tốc thực tế là $\overrightarrow{AN}$, do đó thời gian cần thiết để tàu sang được bờ d$_{2}$ là $\frac{AB}{AN}=\frac{AC}{AM}$. Mặt khác, $AM=|\overrightarrow{{v}_{r}}|$ không đổi nên $\frac{AC}{AM}$ nhỏ nhất ⇔ AC nhỏ nhất $\Leftrightarrow AC\perp {d}_{2}\Leftrightarrow AM\perp {d}_{2}.$

Vậy để tàu sang được bờ bên kia nhanh nhất, ta giữ bánh lái để tàu luôn vuông góc với bờ.

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}$ cùng hướng với $\overrightarrow{a}$ và độ dài $\overrightarrow{AB}$ bằng độ dài $\overrightarrow{a}$.

Ta lại có: $\overrightarrow{A'B'}=\overrightarrow{a}$

$\Rightarrow \overrightarrow{A'B'}$ cùng hướng với $\overrightarrow{a}$ và độ dài $\overrightarrow{A'B'}$ bằng độ dài $\overrightarrow{a}$.

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}$ cùng hướng với $\overrightarrow{A'B'}$ và độ dài $\overrightarrow{AB}$ bằng độ dài $\overrightarrow{A'B'}$.

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A'B'}\Leftrightarrow$ ABB’A’ là hình bình hành (1)

Ta có: $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$

$\Rightarrow \overrightarrow{BC}$ cùng hướng với $\overrightarrow{b}$ và độ dài $\overrightarrow{BC}$ bằng độ dài $\overrightarrow{b}$.

Ta lại có:

$\Rightarrow \overrightarrow{B'C'}$ cùng hướng với $\overrightarrow{b}$ và độ dài $\overrightarrow{B'C'}$ bằng độ dài .

$\Rightarrow \overrightarrow{BC}$ cùng hướng với $\overrightarrow{B'C'}$ và độ dài $\overrightarrow{BC}$ bằng độ dài $\overrightarrow{B'C'}$.

$\Rightarrow \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{B'C'}\Leftrightarrow$ BB’C’C là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{BB'}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\overrightarrow{\text{AA}'}=\overrightarrow{CC'}\Leftrightarrow$AA’C’C là hình bình hành

$\Rightarrow \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A'C'}$

Vậy $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A'C'}$ .

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ .

Trong Hình 4.14a:

Ta có: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}$

$\Rightarrow \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$

Trong Hình 4.14b:

Ta có: $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$

+ Tứ giác ABCD là hình thoi nên ABCD cũng là hình bình hành

Do đó $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}$(quy tắc hình bình hành)

$\Rightarrow |\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}|=|\overrightarrow{CA}|=CA$

Vì ABCD là hình thoi nên AB= BC và AC là tia phân giác $\widehat{BAD}$ ( tính chất hình thoi)

$\Rightarrow \widehat{BAC}=\widehat{CAD}=\frac{\widehat{BAD}}{2}=\frac{{120}^{0}}{2}={60}^{0}$

Xét ΔABC có AB = BC và $\widehat{BAC}={60}^{0}$

⇒ ΔABC đều

⇒ AC = AB = BC = 1

Suy ra $|\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}|=1.$

Ta có: $\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CA}$ (quy tắc ba điểm).

$\Rightarrow |\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BA}|=|\overrightarrow{CA}|=CA=1$

Vậy độ dài của các vectơ $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BA}$ đều bằng 1.