Bài tập Tổng và hiệu của hai vecto có đáp án

Sau bài học này ta sẽ giải quyết bài toán này như sau:

Ta biểu thị hai bờ sông là hai đường thẳng song song d$_{1}$, d$_{2}$ (H.4.17). Giả sử tàu xuất phát từ $A\in {d}_{1}$ và bánh lái luôn được giữ để tàu tạo với bờ một góc $α$. Gọi và lần lượt là vận tốc riêng của tàu và vận tốc dòng nước. Gọi M, N là các điểm sao cho $\overrightarrow{{v}_{r}}=\overrightarrow{AM},\overrightarrow{{v}_{n}}=\overrightarrow{MN}.$

Khi đó tàu chuyển động với vectơvận tốc thực tế là $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{{v}_{r}}+\overrightarrow{{v}_{n}}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}.$

Gọi B, C tương ứng là giao điểm của AN, AM với d$_{2}$. Tàu chuyển động thẳng từ A đến B với vận tốc thực tế là $\overrightarrow{AN}$, do đó thời gian cần thiết để tàu sang được bờ d$_{2}$ là $\frac{AB}{AN}=\frac{AC}{AM}$. Mặt khác, $AM=|\overrightarrow{{v}_{r}}|$ không đổi nên $\frac{AC}{AM}$ nhỏ nhất ⇔ AC nhỏ nhất $\Leftrightarrow AC\perp {d}_{2}\Leftrightarrow AM\perp {d}_{2}.$

Vậy để tàu sang được bờ bên kia nhanh nhất, ta giữ bánh lái để tàu luôn vuông góc với bờ.

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}$ cùng hướng với $\overrightarrow{a}$ và độ dài $\overrightarrow{AB}$ bằng độ dài $\overrightarrow{a}$.

Ta lại có: $\overrightarrow{A'B'}=\overrightarrow{a}$

$\Rightarrow \overrightarrow{A'B'}$ cùng hướng với $\overrightarrow{a}$ và độ dài $\overrightarrow{A'B'}$ bằng độ dài $\overrightarrow{a}$.

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}$ cùng hướng với $\overrightarrow{A'B'}$ và độ dài $\overrightarrow{AB}$ bằng độ dài $\overrightarrow{A'B'}$.

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A'B'}\Leftrightarrow$ ABB’A’ là hình bình hành (1)

Ta có: $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$

$\Rightarrow \overrightarrow{BC}$ cùng hướng với $\overrightarrow{b}$ và độ dài $\overrightarrow{BC}$ bằng độ dài $\overrightarrow{b}$.

Ta lại có:

$\Rightarrow \overrightarrow{B'C'}$ cùng hướng với $\overrightarrow{b}$ và độ dài $\overrightarrow{B'C'}$ bằng độ dài .

$\Rightarrow \overrightarrow{BC}$ cùng hướng với $\overrightarrow{B'C'}$ và độ dài $\overrightarrow{BC}$ bằng độ dài $\overrightarrow{B'C'}$.

$\Rightarrow \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{B'C'}\Leftrightarrow$ BB’C’C là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{BB'}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\overrightarrow{\text{AA}'}=\overrightarrow{CC'}\Leftrightarrow$AA’C’C là hình bình hành

$\Rightarrow \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A'C'}$

Vậy $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A'C'}$ .

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ .

Trong Hình 4.14a:

Ta có: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}$

$\Rightarrow \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$

Trong Hình 4.14b:

Ta có: $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$

+ Tứ giác ABCD là hình thoi nên ABCD cũng là hình bình hành

Do đó $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}$(quy tắc hình bình hành)

$\Rightarrow |\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}|=|\overrightarrow{CA}|=CA$

Vì ABCD là hình thoi nên AB= BC và AC là tia phân giác $\widehat{BAD}$ ( tính chất hình thoi)

$\Rightarrow \widehat{BAC}=\widehat{CAD}=\frac{\widehat{BAD}}{2}=\frac{{120}^{0}}{2}={60}^{0}$

Xét ΔABC có AB = BC và $\widehat{BAC}={60}^{0}$

⇒ ΔABC đều

⇒ AC = AB = BC = 1

Suy ra $|\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}|=1.$

Ta có: $\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CA}$ (quy tắc ba điểm).

$\Rightarrow |\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BA}|=|\overrightarrow{CA}|=CA=1$

Vậy độ dài của các vectơ $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BA}$ đều bằng 1.

Nếu chỉ có hai lực tác dụng vào cùng một vật mà vật vẫn đứng yên thì hai lực đó là hai lực cân bằng.

Ví dụ: Hai đội kéo co cùng kéo sợi dây. Nếu hai đội mạnh ngang nhau thì họ sẽ tác dụng lên dây hai lực cân bằng. Sợi dây chịu tác dụng của hai lực cân bằng thì sẽ đứng yên.

Hai vecto $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ biểu diễn cho hai vecto cân bằng thì hai vecto này có chung gốc, ngược hướng và có độ lớn (hay độ dài) bằng nhau.

Gọi E và F lần lượt là điểm đối xứng với O qua M và N.

Suy ra M là trung điểm của AB và EO; N là trung điểm của DC và OF.

Khi đó các tứ giác OAEB và OCFD là các hình bình hành

$\Rightarrow \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OE}$ (quy tắc hình bình hành trong hình bình hành OAEB)

Và $\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OF}$ (quy tắc hình bình hành trong hình bình hành OCFD).

$\Rightarrow \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}$

Vì O là trung điểm của MN nên OM = ON, mà OM = ME, ON = NF.

Do đó OE = OF.

Suy ra hai vectơ và có cùng độ dài và ngược hướng nên chúng là hai vectơ đối nhau, do đó $\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$

Ta có khẩu pháo chịu tác động của ba lực: trọng lực $\overrightarrow{P}$, phản lực $\overrightarrow{\text{W}}$ và lực kéo $\overrightarrow{F}$. Đề kéo được khẩu pháo đi lên ta cần lực $\overrightarrow{F}$ có độ lớn lớn hơn độ lớn của tổng hai lực $\overrightarrow{P}$ và $\overrightarrow{Q}$ , tức là$|\overrightarrow{F}|>|\overrightarrow{\text{W}}+\overrightarrow{P}|$

Xét ΔOBC vuông tại O, có:

$OC=\sin 30.BC=|P|\sin {30}^{0}.$

Mặt khác $\overrightarrow{\text{W}}+\overrightarrow{P}=\overrightarrow{OC}\Leftrightarrow |\overrightarrow{\text{W}}+\overrightarrow{P}|=|\overrightarrow{OC}|=|P|\sin {30}^{0}=22148.\sin {30}^{0}=11074N$

$\Rightarrow |\overrightarrow{F}|>11074N$

Ta có: 11 074 : 100 = 110,74

Nếu lực kéo của mỗi người bằng 100N thì cần tối thiểu số người để kéo pháo là 111 người.

Vậy ta cần một lực kéo lớn hơn 11 074N để kéo khẩu pháo đi lên và nếu lực kéo của mỗi người bằng 100N thì cần tối thiểu 111 người để kéo pháo lên.

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})+(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA})=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$

b) Ta có: $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DC}$ (quy tắc hiệu)

$\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DC}$ (quy tắc hiệu)

$\Rightarrow \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD}.$

Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (quy tắc hình bình hành)

Ta cần tìm điểm M thỏa mãn $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BM}$

⇔ ACMB là hình bình hành

Vậy điểm M cần tìm là đỉnh thứ tư của hình bình hành dựng trên hai cạnh AB, AC.

Do tứ giác ACMB là hình bình hành

$\Rightarrow \overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AB}$

Mà $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$

$\Rightarrow \overrightarrow{CM}=\overrightarrow{DC}$ hay $\overrightarrow{CM}=-\overrightarrow{CD}$

Suy ra $\overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{CM}$ là hai vecto đối nhau.

Ta có: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$ (quy tắc hiệu)

$\Rightarrow |\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{CB}|=a$

Ta lại có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$ (với D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành)

Gọi M là giao điểm của AD và BC

⇒ M là trung điểm của BC và AD (tính chất hình bình hành)

Xét ΔABC, có:

AB$^{2}$ = AM$^{2}$ + BM$^{2}$ (định lí Pythagore)

⇒ AM$^{2}$ = AB$^{2}$ – BM$^{2}$ = $A{B}^{2}-{(\frac{BC}{2})}^{2}={a}^{2}-{(\frac{a}{2})}^{2}=\frac{3{a}^{2}}{4}$

$\Rightarrow AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow AD=2AM=2.\frac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$

$\Rightarrow |\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{AD}|=a\sqrt{3}$

Vậy $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|=a,|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=a\sqrt{3}$ .

Ta có hình vẽ sau:

Vẽ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành trong đó $\overrightarrow{AB}$ biểu diễn $\overrightarrow{{F}_{1}}$ ; $\overrightarrow{AD}$ biểu diễn $\overrightarrow{{F}_{2}}$ và $\overset{\frown}{BAD}=120$$^{o}$ (như hình vẽ trên).

Suy ra $\overrightarrow{{F}_{1}}+\overrightarrow{{F}_{2}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (quy tắc hình bình hành)

Do đó $|\overrightarrow{{F}_{1}}+\overrightarrow{{F}_{2}}|=|\overrightarrow{AC}|=AC$

Xét tam giác ABC, áp dụng định lí côsin ta có:

AC$^{2}$ = AB$^{2}$ + BC$^{2}$ – 2.AB.BC.cos $\widehat{ABC}$

+) $AB=|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{{F}_{1}}|$ mà $|\overrightarrow{{F}_{1}}|=3$ nên AB = 3.

+) Vì ABCD là hình bình hành nên BC = AD (tính chất hình bình hành)

Mà AD = $|\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{{F}_{2}}|=2$

Do đó BC = 2.

+) Vì ABCD là hình bình hành nên AD // BC do đó $\widehat{ABC}+\widehat{BAD}={180}^{0}$ (hai góc trong cùng phía)

Suy ra $\widehat{ABC}=180^{\circ}-\widehat{BAD}=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$

+) Ta có AC$^{2}$ = AB$^{2}$ + BC$^{2}$ – 2.AB.BC.cos $\widehat{ABC}$

Þ AC$^{2}$ = 3$^{2}$ + 2$^{2}$ – 2.3.2.cos 60°

Þ AC$^{2}$ = 7

$\Rightarrow AC=\sqrt{7}$

$\Rightarrow |\overrightarrow{{F}_{1}}+\overrightarrow{{F}_{2}}|=\sqrt{7}$

Vậy độ lớn của hợp lực $\overrightarrow{{F}_{1}}+\overrightarrow{{F}_{2}}$ là $\sqrt{7}$ (N).

Ta biểu thị hai bờ sông là hai đường thẳng song song d$_{1}$, d$_{2}$ .

Giả sử tàu 1 xuất phát từ $A'\in {d}_{1}$đến M (hướng xuống hạ lưu) và bánh lái luôn được giữ để tàu tạo với bờ một góc $α$.

Giả sử tàu 2 xuất phát từ ${A}^{'}$ đến M' (hướng lên thượng nguồn) và bánh lái luôn được giữ để tàu tạo với bờ một góc α.

Gọi $\overrightarrow{{v}_{r(1)}},\overrightarrow{{v}_{r(2)}}$ và $\overrightarrow{{v}_{n}}$ lần lượt biểu diễn vận tốc riêng của tàu 1, tàu 2 và vận tốc dòng nước.

+ Gọi B, C là các điểm sao cho $\overrightarrow{{v}_{r(1)}}=\overrightarrow{AB},\overrightarrow{{v}_{n}}=\overrightarrow{BC}.$

Khi đó tàu 1 chuyển động với vectơ vận tốc thực tế là $\overrightarrow{{v}_{1}}=\overrightarrow{{v}_{r(1)}}+\overrightarrow{{v}_{n}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.$

Vậy tàu 1 chuyển động theo hướng $\overrightarrow{AC}$ với đích đến là điểm N trên bờ d$_{2}$ và đi với độ lớn .

Thời gian để tàu 1 di chuyển sang bờ d$_{2}$ là t$_{1}$ = $\frac{AN}{AC}$ .

+ Gọi B*', C'* là các điểm sao cho $\overrightarrow{{v}_{r(2)}}=\overrightarrow{{A}^{'}{B}^{'}},\overrightarrow{{v}_{n}}=\overrightarrow{{B}^{'}{C}^{'}}$

Khi đó tàu 2 chuyển động với vectơ vận tốc thực tế là ${\overrightarrow{v}}_{2}=\overrightarrow{{v}_{r(2)}}+\overrightarrow{{v}_{n}}=\overrightarrow{{A}^{'}{B}^{'}}+\overrightarrow{{B}^{'}{C}^{'}}=\overrightarrow{{A}^{'}{C}^{'}}.$

Vậy tàu 2 chuyển động theo hướng $\overrightarrow{{A}^{'}{C}^{'}}$ với đích đến là điểm N*'* trên bờ d$_{2}$ và đi với độ lớn .

Thời gian để tàu 2 di chuyển sang bờ d$_{2}$ là t$_{2}$ = $\frac{{A}^{'}{N}^{'}}{{A}^{'}{C}^{'}}$ .

+ Vì nên B, B', C, C' thẳng hàng và nằm trên đường thẳng song song với hai đường thẳng d$_{1}$ và d$_{2}$.

Khi đó theo định lý Thales, ta có: $\frac{AN}{AC}=\frac{{A}^{'}{N}^{'}}{{A}^{'}{C}^{'}}$ hay t$_{1}$ = t$_{2}$.

Suy ra hai tàu cần thời gian như nhau để sang được đến bờ bên kia.

Vậy hai tàu sang đến bờ bên kia cùng một lúc.