Bài tập Tìm các số hạng của dãy số cho bởi công thức truy hồi và dự đoán công thức tổng quát của dãy số lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Ta có: ${u}_{1}=\frac{1}{2}=\frac{1}{1+1};{u}_{2}=\frac{1}{3}=\frac{1}{2+1};{u}_{3}=\frac{1}{4}=\frac{1}{3+1};{u}_{4}=\frac{1}{5}=\frac{1}{4+1}.$

Vậy ${u}_{n}=\frac{1}{n+1};n\le 4$ .

Đáp án đúng là: C

Ta nhận thấy các số hạng của dãy u$_{n}$ có cùng quy luật:

u$_{1}$ = 1 = 1$^{2}$; u$_{2}$ = 4 = 2$^{2}$; u$_{3}$ = 9 = 3$^{2}$; u$_{4}$ = 16 = 4$^{2}$; u$_{5}$ = 25 = 5$^{2}$.

Nên ta tìm được số hạng tổng quát của dãy số (u$_{n}$) là u$_{n}$ = n$^{2}$; n ≤ 5.

Đáp án đúng là: D

Ta có: u$_{1}$= 2; u$_{2}$ = u$_{1}$ + 3 = 2 + 3 = 5; u$_{3}$ = u$_{2}$ + 3 = 5 + 3 = 8.

Do đó, số hạng thứ 3 của dãy số là u$_{3}$ = 8.

Đáp án đúng là: C

Ta có: u$_{1}$= 1; u$_{2}$ = 2u$_{1}$ + 1 = 2.1 + 1 = 3;

u$_{3}$ = 2u$_{2}$ + 1 = 2.3 + 1= 7; u$_{4}$ = 2u$_{3}$ + 1 = 2.7 + 1= 15.

Vậy u$_{4}$ = 15.

Đáp án đúng là: D

Ta tính được u$_{2}$ = $\frac{1}{1+1}\cdot (0+1)=\frac{1}{2}$

Ta có:

u$_{n + 1}$.(n + 1) = (u$_{n}$ + 1).n = n + u$_{n}$.n;

u$_{n}$.n = (u$_{n – 1}$ + 1).(n – 1);

…

u$_{2}$.2 = (u$_{1}$ + 1).1 = 1 + u$_{1}$.1

Þ u$_{n + 1}$.(n + 1) = n + (u$_{n – 1}$ + 1).(n – 1) = n + (n – 1) + u$_{n – 1}$.(n – 1);

u$_{n-1}$.(n – 1) = (n – 2) + (n – 3) + u$_{n – 3}$.(n – 3);

…

u$_{4}$.4 = 3 + 2 + u$_{2}$.2 = 3 + 2 + 1;

u$_{3}$.3 = 2 + 1 + u$_{1}$.1 = 2 + 1;

+) Nếu n + 1 chia hết cho 2 thì

u$_{n + 1}$.(n + 1) = n + (n – 1) + (n – 2) + … + 2 + 1 = $\frac{n.(n+1)}{2}$ .

Suy ra ${u}_{n+1}=\frac{n}{2}$.

+) Nếu n + 1 không chia hết cho 2 thì:

u$_{n + 1}$.(n + 1) = n + (n – 1) + (n – 2) + … + 3 + 2 + 1 =$\frac{n.(n+1)}{2}$ .

Suy ra ${u}_{n+1}=\frac{n}{2}$ .

Suy ra công thức tổng quát ${u}_{n+1}=\frac{n}{2}$ đúng với cả 2 trường hợp.

Vậy số hạng thứ 11 của dãy là: ${u}_{11}=\frac{10}{2}=5$ .