Bài tập Tìm các số hạng của dãy số cho bởi công thức truy hồi và dự đoán công thức tổng quát của dãy số lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Ta có: ${u}_{1}=\frac{1}{2}=\frac{1}{1+1};{u}_{2}=\frac{1}{3}=\frac{1}{2+1};{u}_{3}=\frac{1}{4}=\frac{1}{3+1};{u}_{4}=\frac{1}{5}=\frac{1}{4+1}.$

Vậy ${u}_{n}=\frac{1}{n+1};n\le 4$ .

Đáp án đúng là: C

Ta nhận thấy các số hạng của dãy u$_{n}$ có cùng quy luật:

u$_{1}$ = 1 = 1$^{2}$; u$_{2}$ = 4 = 2$^{2}$; u$_{3}$ = 9 = 3$^{2}$; u$_{4}$ = 16 = 4$^{2}$; u$_{5}$ = 25 = 5$^{2}$.

Nên ta tìm được số hạng tổng quát của dãy số (u$_{n}$) là u$_{n}$ = n$^{2}$; n ≤ 5.

Đáp án đúng là: D

Ta có: u$_{1}$= 2; u$_{2}$ = u$_{1}$ + 3 = 2 + 3 = 5; u$_{3}$ = u$_{2}$ + 3 = 5 + 3 = 8.

Do đó, số hạng thứ 3 của dãy số là u$_{3}$ = 8.

Đáp án đúng là: C

Ta có: u$_{1}$= 1; u$_{2}$ = 2u$_{1}$ + 1 = 2.1 + 1 = 3;

u$_{3}$ = 2u$_{2}$ + 1 = 2.3 + 1= 7; u$_{4}$ = 2u$_{3}$ + 1 = 2.7 + 1= 15.

Vậy u$_{4}$ = 15.

Đáp án đúng là: D

Ta tính được u$_{2}$ = $\frac{1}{1+1}\cdot (0+1)=\frac{1}{2}$

Ta có:

u$_{n + 1}$.(n + 1) = (u$_{n}$ + 1).n = n + u$_{n}$.n;

u$_{n}$.n = (u$_{n – 1}$ + 1).(n – 1);

…

u$_{2}$.2 = (u$_{1}$ + 1).1 = 1 + u$_{1}$.1

Þ u$_{n + 1}$.(n + 1) = n + (u$_{n – 1}$ + 1).(n – 1) = n + (n – 1) + u$_{n – 1}$.(n – 1);

u$_{n-1}$.(n – 1) = (n – 2) + (n – 3) + u$_{n – 3}$.(n – 3);

…

u$_{4}$.4 = 3 + 2 + u$_{2}$.2 = 3 + 2 + 1;

u$_{3}$.3 = 2 + 1 + u$_{1}$.1 = 2 + 1;

+) Nếu n + 1 chia hết cho 2 thì

u$_{n + 1}$.(n + 1) = n + (n – 1) + (n – 2) + … + 2 + 1 = $\frac{n.(n+1)}{2}$ .

Suy ra ${u}_{n+1}=\frac{n}{2}$.

+) Nếu n + 1 không chia hết cho 2 thì:

u$_{n + 1}$.(n + 1) = n + (n – 1) + (n – 2) + … + 3 + 2 + 1 =$\frac{n.(n+1)}{2}$ .

Suy ra ${u}_{n+1}=\frac{n}{2}$ .

Suy ra công thức tổng quát ${u}_{n+1}=\frac{n}{2}$ đúng với cả 2 trường hợp.

Vậy số hạng thứ 11 của dãy là: ${u}_{11}=\frac{10}{2}=5$ .

Đáp án đúng là: B

Ta có:

u$_{n + 1}$ = u$_{n}$ + 2n;

u$_{n}$ = u$_{n – 1}$ + 2(n – 1);

u$_{n – 1}$ = u$_{n – 2}$ + 2(n – 2);

…

u$_{2}$ = u$_{1}$ + 2.1;

Khi đó u$_{n + 1}$ + u$_{n}$ + u$_{n – 1}$ + … + u$_{2}$

= u$_{n}$ + u$_{n – 1}$ + … + u$_{2}$ + u$_{1}$ + 2(n + (n – 1) + (n – 2) + … + 1)

Do đó ${u}_{n+1}={u}_{1}+n(n+1)=\frac{1}{2}+n(n+1).$

Hay dãy s ố có số hạng tổng quát là: ${u}_{n}=\frac{1}{2}+n(n-1).$

Với n = 4 thì ${u}_{n}=\frac{25}{2}$ .

Vậy đáp án đúng là B.

Đáp án đúng là: C

Ta có:

u$_{1}$ = 1;

u$_{2}$ = u$_{1}$ + 2$^{1}$;

u$_{3}$ = u$_{2}$ + 2$^{2}$;

…

u$_{n}$ = u$_{n-1}$ + 2$^{n – 1}$.

Þ u$_{1}$ + u$_{2}$ + … + u$_{n}$ = u$_{1}$ + … + u$_{n – 1}$ + (2$^{0}$ + 2$^{1}$ + … + 2$^{n – 1}$)

Do đó ${u}_{n}=\frac{1.(1-{2}^{n})}{1-2}={2}^{n}-1$ .

Vậy, công thức tổng quát của dãy số là: u$_{n}$ = 2$^{n}$ – 1.

Đáp án đúng là: B

u$_{1}$ = 2;

u$_{2}$ = 4u$_{1}$= 8 = 2$^{3}$;

u$_{3}$ = 4u$_{2}$= 32 = 2$^{5}$;

u$_{4}$ = 4u$_{3}$= 128= 2$^{7}$;

…

Số hạng tổng quát của (u$_{n}$) là u$_{n}$ = 2$^{2n – 1}$.

Ta có: 2$^{9}$ < 1000 < 2$^{10}$.

Vậy số hạng cần tìm là u$_{9}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: u$_{1}$ = 2; u$_{2}$ = u$_{1}$+ 2 = 4; u$_{3}$ = u$_{2}$ + 2 = 6; …

Ta thấy u$_{n}$ là dãy số có công thức tổng quát: u$_{n}$ = 2n.

Do đó, số hạng thứ 7 của dãy số là u$_{7}$ = 2.7 = 14.

Đáp án đúng là: C

u$_{1}$ = – 1; u$_{2}$ = –3u$_{1}$ = 3; u$_{3}$ = –3u$_{2}$ = –9.

Đáp án đúng là: A

Ta có: u$_{1}$ = 2;

u$_{2}$ = u$_{1}$ + 3 = 2 + 3 = 5;

u$_{3}$ = u$_{2}$ + 3 = 5 +3 = 8;

u$_{4}$ = u$_{3}$ + 3 = 8 + 3 = 11;

Dự đoán công thức tổng quát: u$_{n}$ = 3n – 1.

Thử lại với n = 1, ta có u$_{1}$ = 3.1 – 1 = 2 (đúng).

Đáp án đúng là: B

Ta có: u$_{1}$ = 1 = 2$^{0}$;

u$_{2}$ = 2u$_{1}$ = 2.1 = 2 = 2$^{1}$;

u$_{3}$ = 2u$_{2}$ = 2.2 = 4 = 2$^{2}$;

u$_{4}$ = 2u$_{3}$= 2.4 = 8 = 2$^{3}$;

Dự đoán công thức tổng quát của dãy số là: u$_{n}$ = 2$^{n-1}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: u$_{1}$= 1;

u$_{2}$ = u$_{1}$ + 2.2 – 1 = 1 + 3 = 4;

u$_{3}$ = u$_{2}$ + 2.3 – 1 = 4 + 5 = 9;

u$_{4}$ = u$_{3}$+ 2.4 – 1 = 9 + 7 = 16.

Đáp án đúng là: D

Ta có: ${u_1} = \frac{1}{2}$; ${u_2} = \frac{{\frac{1}{2}}}{{2.\frac{1}{2} + 1}} = \frac{{\frac{1}{2}}}{{1 + 1}} = \frac{1}{4}$; ${u_3} = \frac{{\frac{1}{4}}}{{2.\frac{1}{4} + 1}} = \frac{{\frac{1}{4}}}{{\frac{1}{2} + 1}} = \frac{{\frac{1}{4}}}{{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{6}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: u$_{1}$= 3;

u$_{2}$ = u$_{1}$$^{2}$ – 2 = 3$^{2}$ – 2 = 9 – 2 = 7;

u$_{3}$ = u$_{2}$$^{2}$ – 2 = 7$^{2}$ – 2 = 49 – 2 = 47.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. u$_{2}$ = u$_{1}$ + 5 = 2 + 5 = 7.

b) Sai. u$_{3}$ = u$_{2}$ + 5 = 7 + 5 = 12 ≠ 10.

c) Đúng. u$_{4}$ = u$_{3}$ + 5 = 12 + 5 = 17.

d) Đúng. Nhận thấy: u$_{1}$ = 2 = 5.1 – 3; u$_{2}$ = 7 = 5.2 – 3; u$_{3}$ = 12 = 5.3 – 3. Dự đoán u$_{n}$ = 5n – 3.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. u$_{2}$ = –2u$_{1}$ = –2.( –1) = 2.

b) Sai. u$_{3}$ = –2u$_{2}$= –2.2 = –4 ≠ 4.

c) Đúng. u$_{4}$ = –2u$_{3}$= –2.(–4) = 8.

d) Sai. Từ các số hạng đầu u$_{1}$ = –1; u$_{2}$ = 2; u$_{3}$ = –4; u$_{4}$ = 8; dự đoán công thức là

u$_{n}$ = –(–2)$^{n-1}$ hoặc u$_{n}$ = (–1)$^{n}$.2$^{n-1}$. Công thức u$_{n}$ = (–1)$^{n-1}$.2$^{n-1}$cho u$_{1}$ = 1 ≠ –1 nên sai.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. ${u_2} = \frac{{{u_1}}}{{{u_1} + 1}} = \frac{1}{{1 + 1}} = \frac{1}{2}$.

b) Sai. ${u_3} = \frac{{{u_2}}}{{{u_2} + 1}} = \frac{{\frac{1}{2}}}{{\frac{1}{2} + 1}} = \frac{{\frac{1}{2}}}{{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{3} \ne \frac{1}{4}$.

c) Đúng. ${u_4} = \frac{{{u_3}}}{{{u_3} + 1}} = \frac{{\frac{1}{3}}}{{\frac{1}{3} + 1}} = \frac{{\frac{1}{3}}}{{\frac{4}{3}}} = \frac{1}{4}$.

d) Đúng. Từ ${u_1} = 1$$= \frac{1}{1}$; ${u_2} = \frac{1}{2}$; ${u_3} = \frac{1}{3}$; ${u_4} = \frac{1}{4}$; ta dự đoán được ${u_n} = \frac{1}{n}$.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. u$_{3}$ = u$_{2}$+ u$_{1}$ = 1 + 1 = 2.

b) Sai. u$_{4}$ = u$_{3}$+ u$_{2}$ = 2 + 1 = 3 ≠ 4.

c) Đúng. u$_{5}$ = u$_{4}$+ u$_{3}$ = 3 + 2 = 5.

d) Đúng. Tổng 5 số hạng đầu là S$_{5}$ = u$_{1}$ + u$_{2}$ + u$_{3}$ + u$_{4}$ + u$_{5}$ = 1 + 1 + 2 + 3 + 5 = 12.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai. u$_{2}$ = u$_{1}$ + 2.1 + 1 = 3 + 3 = 6 ≠ 5.

b) Đúng. u$_{3}$ = u$_{2}$ + 2.2 + 1 = 6 + 5 = 11.

c) Sai. u$_{4}$ = u$_{3}$ + 2.3 + 1 = 11 + 7 = 18 ≠ 15.

d) Đúng. Nhận thấy u$_{1}$ = 3 = 1$^{2}$ + 2; u$_{2}$ = 6 = 2$^{2}$ + 2; u$_{3}$ = 11 = 3$^{2}$ + 2; u$_{4}$ = 18 = 4$^{2}$ + 2. Dự đoán u$_{n}$ = n$^{2}$ + 2.

Đáp án: 41

Ta có: u$_{1}$ = 5; u$_{2}$ = 5 + 4 = 9; u$_{3}$ = 9 + 4 = 13.

Dự đoán công thức tổng quát: u$_{n}$ = u$_{1}$ + (n – 1)d = 5 + (n – 1)4 = 4n + 1.

Khi đó số hạng thứ 10 là: u$_{10}$ = 4.10 + 1 = 41.

Đáp án: 243

Ta có: u$_{1}$ = 3 = 3$^{1}$;

u$_{2}$ = 3.3 = 9 = 3$^{2}$;

u$_{3}$ = 3.9 = 27 = 3$^{3}$;

u$_{4}$ = 3.27 = 81 = 3$^{4}$;

Dự đoán công thức tổng quát của dãy số là u$_{n}$ = 3$^{n}$.

Khi đó, số hạng thứ 5 là: u$_{5}$ = 3$^{5}$ = 243.

Đáp án: 13

Ta có: ${u_1} = 1$; ${u_2} = \frac{1}{{3.1 + 1}} = \frac{1}{4}$; ${u_3} = \frac{{\frac{1}{4}}}{{3.\frac{1}{4} + 1}} = \frac{{\frac{1}{4}}}{{\frac{7}{4}}} = \frac{1}{7}$;

${u_4} = \frac{{\frac{1}{7}}}{{3.\frac{1}{7} + 1}} = \frac{{\frac{1}{7}}}{{\frac{{10}}{7}}} = \frac{1}{{10}}$; ${u_5} = \frac{{\frac{1}{{10}}}}{{3.\frac{1}{{10}} + 1}} = \frac{{\frac{1}{{10}}}}{{\frac{{13}}{{10}}}} = \frac{1}{{13}}$.

Suy ra a = 13.

Đáp án: 20

Ta có: u$_{1}$ = 2;

u$_{2}$ = u$_{1}$ + 22 = 2 + 4 = 6;

u$_{3}$ = u$_{2}$ + 23 = 6 + 6 = 12;

u$_{4}$ = u$_{3}$ + 2.4 = 12 + 8 = 20.

Đáp án: 100

Ta có: u$_{1}$ = 0 = 0$^{2}$;

u$_{2}$ = u$_{1}$ + 2.1 – 1 = 0 + 1 = 1 = 1$^{2}$;

u$_{3}$ = u$_{2}$ + 2.2 – 1 = 1 + 3 = 4 = 2$^{2}$;

u$_{4}$ = u$_{3}$ + 2.3 – 1 = 4 + 5 = 9 = 3$^{2}$;

Từ các kết quả trên, ta dự đoán công thức tổng quát là: u$_{n}$ = (n – 1)$^{2}$.

Khi đó, số hạng thứ 11 là: u$_{11}$ = (11 – 1)$^{2}$ = 100.