TopStudy

Toán · Lớp 10

Bài tập Tích vô hướng của hai vectơ có đáp án

13 câu · 20 phút · Ngân hàng đề TopStudy. Đáp án và lời giải do TopStudy biên soạn, mở ngay dưới từng câu.

Làm bài

Nội dung đề

Phần I. Tự luận

Câu 1

1 điểm

Trong vật lí, nếu có một lực F→\overrightarrow{F} tác động lên một vật tại điểm O và làm cho vật đó di chuyển một quãng đường s = OM (Hình 63) thì công A của lực F→\overrightarrow{F} được tính theo công thức A=∣F→∣ . ∣OM→∣ . cos⁡φA=|\overrightarrow{F}|\ .\ |\overrightarrow{OM}|\ .\ \cos φ trong đó ∣F→∣|\overrightarrow{F}| gọi là cường độ của lực F→\overrightarrow{F} tính bằng Newton (N), ∣OM→∣|\overrightarrow{OM}| là độ dài của vectơ OM→\overrightarrow{OM} tính bằng mét (m), φ là góc giữa hai vectơ OM→\overrightarrow{OM} và F→\overrightarrow{F} , còn công A tính bằng Jun (J).

Hình minh hoạ

Trong toán học, giá trị của biểu thức A=∣F→∣ . ∣OM→∣ . cos⁡φA=|\overrightarrow{F}|\ .\ |\overrightarrow{OM}|\ .\ \cos φ (không kể đơn vị đo) được gọi là gì?

Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Giá trị của biểu thức A=∣F→∣ . ∣OM→∣ . cos⁡φA=|\overrightarrow{F}|\ .\ |\overrightarrow{OM}|\ .\ \cos φ là tích vô hướng của hai vectơ F→\overrightarrow{F} và OM→\overrightarrow{OM} .

Câu 2

1 điểm
Cho tam giác ABC vuông tại A có B^=30∘\widehat{B}=30^{\circ} , AB = 3 cm. Tính BA→. BC→; CA→. CB→\overrightarrow{BA}.\ \overrightarrow{BC};\ \overrightarrow{CA}.\ \overrightarrow{CB} .
Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hình minh hoạ

Ta có tam giác ABC vuông ở A nên B^+C^=90∘\widehat{B}+\widehat{C}=90^{\circ}

⇒C^=90∘−B^=90∘−30∘=60∘\Rightarrow \widehat{C}=90^{\circ}-\widehat{B}=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}.

Lại có: tan B = ACAB\frac{AC}{AB} ⇒ AC = AB . tanB = 3 . tan 30° = 3\sqrt{3} .

Và sin B = ACBC\frac{AC}{BC} ⇒ BC =ACsin⁡B\frac{AC}{\sin B}=3sin⁡30∘=23=\frac{\sqrt{3}}{\sin 30^{\circ}}=2\sqrt{3} .

Ta có: BA→ . BC→ =\overrightarrow{BA}\ .\ \overrightarrow{BC}\ =∣BA→∣ . ∣BC→∣ . cos⁡(BA→, BC→)|\overrightarrow{BA}|\ .\ |\overrightarrow{BC}|\ .\ \cos (\overrightarrow{BA},\ \overrightarrow{BC}) =3 . 23 . cos⁡ABC^3\ .\ 2\sqrt{3}\ .\ \cos \widehat{ABC} = 63.cos⁡30∘=96\sqrt{3}.\cos 30^{\circ}=9 .

CA→ . CB→\overrightarrow{CA}\ .\ \overrightarrow{CB}= ∣CA→∣ . ∣CB→∣ . cos⁡(CA→, CB→)|\overrightarrow{CA}|\ .\ |\overrightarrow{CB}|\ .\ \cos (\overrightarrow{CA},\ \overrightarrow{CB}) = 3. 23 .cos⁡ACB^\sqrt{3}.\ 2\sqrt{3}\ .\cos \widehat{ACB} = 6 . cos 60° = 3.

Câu 3

1 điểm

Cho tam giác ABC đều cạnh a, AH là đường cao. Tính:

a) CB→ . BA→\overrightarrow{CB}\ .\ \overrightarrow{BA} ;

b) AH→ . BC→\overrightarrow{AH}\ .\ \overrightarrow{BC} .

Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hình minh hoạ

a) Tam giác ABC đều nên A^=B^=C^=60∘\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=60^{\circ} và AB = BC = AC = a.

Lại có: (BC→, BA→)=ABC^=60∘(\overrightarrow{BC},\ \overrightarrow{BA})=\widehat{ABC}=60^{\circ} .

Ta có: CB→ . BA→ = (−BC→) . BA→\overrightarrow{CB}\ .\ \overrightarrow{BA}\ =\ (-\overrightarrow{BC})\ .\ \overrightarrow{BA}=−(BC→ . BA→)=-(\overrightarrow{BC}\ .\ \overrightarrow{BA})

=−(∣BC→∣ . ∣BA→∣ . cos⁡(BC→, BA→))=-(|\overrightarrow{BC}|\ .\ |\overrightarrow{BA}|\ .\ \cos (\overrightarrow{BC},\ \overrightarrow{BA}))

=−(a . a . cos⁡60∘)=−a22=-(a\ .\ a\ .\ \cos 60^{\circ})=\frac{-{a}^{2}}{2}.

Vậy CB→ . BA→=−a22\overrightarrow{CB}\ .\ \overrightarrow{BA}=\frac{-{a}^{2}}{2} .

b) Do AH là đường cao của tam giác ABC nên AH ⊥ BC.

Do đó: AH→ ⊥BC→\overrightarrow{AH}\ \perp \overrightarrow{BC} nên AH→ . BC→ =0\overrightarrow{AH}\ .\ \overrightarrow{BC}\ =0 .

Câu 4

1 điểm

Chứng minh rằng với hai vectơ bất kì a→, b→\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b} , ta có: (a→+b→)2=a→2+2a→.b→+b→2{(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}

(a→−b→)2=a→2−2a→.b→+b→2{(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}

(a→−b→).(a→+b→)=a→2−b→2(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}).(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})={\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow{b}}^{2}

Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

+ Ta có:

(a→+b→)2=(a→+b→).(a→+b→){(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})}^{2}=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}).(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) (bình phương vô hướng của vectơ )

=a→ . a→ + a→ . b→ +b→ . a→ + b→ . b→=\overrightarrow{a}\ .\ \overrightarrow{a}\ +\ \overrightarrow{a}\ .\ \overrightarrow{b}\ +\overrightarrow{b}\ .\ \overrightarrow{a}\ +\ \overrightarrow{b}\ .\ \overrightarrow{b}

=a→2+a→. b→ + a→ . b→ + b→2={\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}.\ \overrightarrow{b}\ +\ \overrightarrow{a}\ .\ \overrightarrow{b}\ +\ {\overrightarrow{b}}^{2} (áp dụng tính chất giao hoán)

=a→2+2a→ . b→ + b→2={\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}\ .\ \overrightarrow{b}\ +\ {\overrightarrow{b}}^{2}

Vậy (a→+b→)2=a→2+2a→.b→+b→2{(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}.

+ Ta có:

(a→−b→)2=(a→−b→).(a→−b→){(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})}^{2}=(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}).(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) (bình phương vô hướng của vectơ )

=a→ . a→ − a→ . b→ −b→ . a→ + (−b→) . (−b→)=\overrightarrow{a}\ .\ \overrightarrow{a}\ -\ \overrightarrow{a}\ .\ \overrightarrow{b}\ -\overrightarrow{b}\ .\ \overrightarrow{a}\ +\ (-\overrightarrow{b})\ .\ (-\overrightarrow{b})

=a→2−a→. b→ − a→ . b→ + b→2={\overrightarrow{a}}^{2}-\overrightarrow{a}.\ \overrightarrow{b}\ -\ \overrightarrow{a}\ .\ \overrightarrow{b}\ +\ {\overrightarrow{b}}^{2} (áp dụng tính chất giao hoán)

=a→2−2a→ . b→ + b→2={\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}\ .\ \overrightarrow{b}\ +\ {\overrightarrow{b}}^{2}

Vậy (a→−b→)2=a→2−2a→.b→+b→2{(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}.

+ Ta có: (a→−b→)(a→+b→)(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=a→. a→ +a→ . b→ + (−b→).a→ +(−b→).b→=\overrightarrow{a}.\ \overrightarrow{a}\ +\overrightarrow{a}\ .\ \overrightarrow{b}\ +\ (-\overrightarrow{b}).\overrightarrow{a}\ +(-\overrightarrow{b}).\overrightarrow{b}

=a→2+a→.b→−a→. b→−b→. b→={\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}.\ \overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}.\ \overrightarrow{b} (áp dụng tính chất giao hoán)

=a→2−b→2={\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow{b}}^{2}.

Vậy (a→−b→).(a→+b→)=a→2−b→2(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}).(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})={\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow{b}}^{2}.

Câu 5

1 điểm
Sử dụng tích vô hướng, chứng minh minh định lí Pythagore: Tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi BC2^{2} = AB2^{2} + AC2^{2}.
Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

+ Ta chứng minh định lí thuận:

Có tam giác ABC vuông ở A, cần chứng minh BC2^{2} = AB2^{2} + AC2^{2}.

Hình minh hoạ

Tam giác ABC vuông tại A nên BAC^=90∘\widehat{BAC}=90^{\circ} .

Ta có: BC→2=(AC→−AB→)2=AC→2+AB→2−2AC→.AB→{\overrightarrow{BC}}^{2}={(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})}^{2}={\overrightarrow{AC}}^{2}+{\overrightarrow{AB}}^{2}-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}

Suy ra: BC2^{2} = AC2^{2} + AB2^{2} – 2 . AC . AB . cos(AC→, AB→)(\overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{AB})

= AB2^{2} + AC2^{2} – 2 . AC . AB . cosA

= AB2^{2} + AC2^{2} – 2 . AC . AB . cos 90°

= AB2^{2} + AC2^{2} – 2 . AC . AB . 0

= AB2^{2} + AC2^{2}.

Vậy BC2^{2} = AB2^{2} + AC2^{2}.

+ Ta chứng minh định lí đảo:

Cho tam giác ABC có BC2^{2} = AB2^{2} + AC2^{2} thì tam giác ABC vuông tại A.

Hình minh hoạ

Ta có: BC→2=(AC→−AB→)2=AC→2+AB→2−2AC→.AB→{\overrightarrow{BC}}^{2}={(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})}^{2}={\overrightarrow{AC}}^{2}+{\overrightarrow{AB}}^{2}-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}

Suy ra: BC2^{2} = AC2^{2} + AB2^{2} – 2 . AC . AB . cos(AC→, AB→)(\overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{AB}) (*)

Mà theo giả thiết ta có: BC2^{2} = AB2^{2} + AC2^{2} nên thay vào (*) ta được:

BC2^{2} = BC2^{2} – 2 . AC . AB . cos(AC→, AB→)(\overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{AB})

Suy ra: 2 . AC . AB . cos(AC→, AB→)(\overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{AB}) = 0

⇔cos⁡(AC→, AB→)=0\Leftrightarrow \cos (\overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{AB})=0 hay cos⁡BAC^=0\cos \widehat{BAC}=0

Do đó: BAC^=90∘\widehat{BAC}=90^{\circ} .

Vậy tam giác ABC vuông tại A.

Phần II. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn

Câu 6

1 điểm
Nếu hai điểm M, N thỏa mãn MN→ . NM→ =−4\overrightarrow{MN}\ .\ \overrightarrow{NM}\ =-4 thì độ dài đoạn thẳng MN bằng bao nhiêu?
  1. Đáp án A: MN = 4;
  2. Đáp án B: MN = 2;
  3. Đáp án C: MN = 16;
  4. Đáp án D: MN = 256.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 6

Câu 7

1 điểm
Phát biểu nào sau đây là đúng?
  1. Đáp án A: Nếu a→ , b→\overrightarrow{a}\ ,\ \overrightarrow{b} khác 0→\overrightarrow{0} và (a→, b→) < 90∘(\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b})\ <\ 90^{\circ} thì a→ . b → < 0;\overrightarrow{a}\ .\ \overrightarrow{b\ }\ <\ 0;
  2. Đáp án B: Nếu a→ , b→\overrightarrow{a}\ ,\ \overrightarrow{b} khác 0→\overrightarrow{0} và (a→, b→) > 90∘(\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b})\ >\ 90^{\circ} thì a→ . b → > 0;\overrightarrow{a}\ .\ \overrightarrow{b\ }\ >\ 0;
  3. Đáp án C: Nếu a→ , b→\overrightarrow{a}\ ,\ \overrightarrow{b} khác 0→\overrightarrow{0} và (a→, b→) < 90∘(\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b})\ <\ 90^{\circ} thì a→ . b → > 0;\overrightarrow{a}\ .\ \overrightarrow{b\ }\ >\ 0;
  4. Đáp án D: Nếu a→ , b→\overrightarrow{a}\ ,\ \overrightarrow{b} khác 0→\overrightarrow{0} và (a→, b→) ≠ 90∘(\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b})\ \ne \ 90^{\circ} thì a→ . b → < 0;\overrightarrow{a}\ .\ \overrightarrow{b\ }\ <\ 0;
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 7

Phần III. Tự luận

Câu 8

1 điểm

Tính a→ . b→\overrightarrow{a}\ .\ \overrightarrow{b} trong mỗi trường hợp sau:

a) ∣a→∣ =3, ∣b→∣ =4, (a→, b→)=30∘|\overrightarrow{a}|\ =3,\ |\overrightarrow{b}|\ =4,\ (\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b})=30^{\circ} ;

b) ∣a→∣ =5, ∣b→∣ =6, (a→, b→)=120∘|\overrightarrow{a}|\ =5,\ |\overrightarrow{b}|\ =6,\ (\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b})=120^{\circ} ;

c) ∣a→∣ =2, ∣b→∣ =3, |\overrightarrow{a}|\ =2,\ |\overrightarrow{b}|\ =3,\ a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b} cùng hướng;

d)∣a→∣ =2, ∣b→∣ =3, |\overrightarrow{a}|\ =2,\ |\overrightarrow{b}|\ =3,\ a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b} ngược hướng.

Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 8

Câu 9

1 điểm

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính các tích vô hướng sau:

a) AB→ . AC→\overrightarrow{AB}\ .\ \overrightarrow{AC} ;

b) AC→ . BD→\overrightarrow{AC}\ .\ \overrightarrow{BD} .

Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 9

Câu 10

1 điểm
Cho tam giác ABC. Chứng minh: AB2+AB→ . BC→ + AB→ .CA→ =0A{B}^{2}+\overrightarrow{AB}\ .\ \overrightarrow{BC}\ +\ \overrightarrow{AB}\ .\overrightarrow{CA}\ =0.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 10

Câu 11

1 điểm

Cho tam giác nhọn ABC, kẻ đường cao AH. Chứng minh rằng:

a) AB→. AH→=AC→.AH→\overrightarrow{AB}.\ \overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AH} ;

b) AB→ .BC→=HB→. BC→\overrightarrow{AB}\ .\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{HB}.\ \overrightarrow{BC} .

Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 11

Câu 12

1 điểm

Một máy bay đang bay từ hướng đông sang hướng tây với tốc độ 700 km/h thì gặp luồng gió thổi từ hướng đông bắc sang hướng tây nam với tốc độ 40 km/h (Hình 68). Máy bay bị thay đổi vận tốc sau khi gặp gió thổi. Tìm tốc độ mới của máy bay (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm theo đơn vị km/h).

Hình minh hoạ

Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 12

Câu 13

1 điểm

Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, BAC^=60∘\widehat{BAC}=60^{\circ} . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Điểm D thỏa mãn AD→=712AC→\overrightarrow{AD}=\frac{7}{12}\overrightarrow{AC} .

a) Tính AB→ . AC→\overrightarrow{AB}\ .\ \overrightarrow{AC} .

b) Biểu diễn AM→, BD→\overrightarrow{AM},\ \overrightarrow{BD} theo AB→, AC→\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC} .

c) Chứng minh AM ⊥ BD.

Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 13
Làm bài

Đề cùng chủ đề

Tất cả đề Tích vô hướng của hai vectơ · Các bộ sách Toán Lớp 10