Bài tập Tích vô hướng của hai vectơ có đáp án

Ta có tam giác ABC vuông ở A nên $\widehat{B}+\widehat{C}=90^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{C}=90^{\circ}-\widehat{B}=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$.

Lại có: tan B = $\frac{AC}{AB}$ ⇒ AC = AB . tanB = 3 . tan 30° = $\sqrt{3}$ .

Và sin B = $\frac{AC}{BC}$ ⇒ BC =$\frac{AC}{\sin B}$$=\frac{\sqrt{3}}{\sin 30^{\circ}}=2\sqrt{3}$ .

Ta có: $\overrightarrow{BA}\ .\ \overrightarrow{BC}\ =$$|\overrightarrow{BA}|\ .\ |\overrightarrow{BC}|\ .\ \cos (\overrightarrow{BA},\ \overrightarrow{BC})$ =$3\ .\ 2\sqrt{3}\ .\ \cos \widehat{ABC}$ = $6\sqrt{3}.\cos 30^{\circ}=9$ .

$\overrightarrow{CA}\ .\ \overrightarrow{CB}$= $|\overrightarrow{CA}|\ .\ |\overrightarrow{CB}|\ .\ \cos (\overrightarrow{CA},\ \overrightarrow{CB})$ = $\sqrt{3}.\ 2\sqrt{3}\ .\cos \widehat{ACB}$ = 6 . cos 60° = 3.

a) Tam giác ABC đều nên $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=60^{\circ}$ và AB = BC = AC = a.

Lại có: $(\overrightarrow{BC},\ \overrightarrow{BA})=\widehat{ABC}=60^{\circ}$ .

Ta có: $\overrightarrow{CB}\ .\ \overrightarrow{BA}\ =\ (-\overrightarrow{BC})\ .\ \overrightarrow{BA}$$=-(\overrightarrow{BC}\ .\ \overrightarrow{BA})$

$=-(|\overrightarrow{BC}|\ .\ |\overrightarrow{BA}|\ .\ \cos (\overrightarrow{BC},\ \overrightarrow{BA}))$

$=-(a\ .\ a\ .\ \cos 60^{\circ})=\frac{-{a}^{2}}{2}$.

Vậy $\overrightarrow{CB}\ .\ \overrightarrow{BA}=\frac{-{a}^{2}}{2}$ .

b) Do AH là đường cao của tam giác ABC nên AH ⊥ BC.

Do đó: $\overrightarrow{AH}\ \perp \overrightarrow{BC}$ nên $\overrightarrow{AH}\ .\ \overrightarrow{BC}\ =0$ .

+ Ta có:

${(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})}^{2}=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}).(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$ (bình phương vô hướng của vectơ )

$=\overrightarrow{a}\ .\ \overrightarrow{a}\ +\ \overrightarrow{a}\ .\ \overrightarrow{b}\ +\overrightarrow{b}\ .\ \overrightarrow{a}\ +\ \overrightarrow{b}\ .\ \overrightarrow{b}$

$={\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}.\ \overrightarrow{b}\ +\ \overrightarrow{a}\ .\ \overrightarrow{b}\ +\ {\overrightarrow{b}}^{2}$ (áp dụng tính chất giao hoán)

$={\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}\ .\ \overrightarrow{b}\ +\ {\overrightarrow{b}}^{2}$

Vậy ${(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$.

+ Ta có:

${(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})}^{2}=(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}).(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})$ (bình phương vô hướng của vectơ )

$=\overrightarrow{a}\ .\ \overrightarrow{a}\ -\ \overrightarrow{a}\ .\ \overrightarrow{b}\ -\overrightarrow{b}\ .\ \overrightarrow{a}\ +\ (-\overrightarrow{b})\ .\ (-\overrightarrow{b})$

$={\overrightarrow{a}}^{2}-\overrightarrow{a}.\ \overrightarrow{b}\ -\ \overrightarrow{a}\ .\ \overrightarrow{b}\ +\ {\overrightarrow{b}}^{2}$ (áp dụng tính chất giao hoán)

$={\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}\ .\ \overrightarrow{b}\ +\ {\overrightarrow{b}}^{2}$

Vậy ${(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$.

+ Ta có: $(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$$=\overrightarrow{a}.\ \overrightarrow{a}\ +\overrightarrow{a}\ .\ \overrightarrow{b}\ +\ (-\overrightarrow{b}).\overrightarrow{a}\ +(-\overrightarrow{b}).\overrightarrow{b}$

$={\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}.\ \overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}.\ \overrightarrow{b}$ (áp dụng tính chất giao hoán)

$={\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow{b}}^{2}$.

Vậy $(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}).(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})={\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow{b}}^{2}$.

+ Ta chứng minh định lí thuận:

Có tam giác ABC vuông ở A, cần chứng minh BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$.

Tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat{BAC}=90^{\circ}$ .

Ta có: ${\overrightarrow{BC}}^{2}={(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})}^{2}={\overrightarrow{AC}}^{2}+{\overrightarrow{AB}}^{2}-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$

Suy ra: BC$^{2}$ = AC$^{2}$ + AB$^{2}$ – 2 . AC . AB . cos$(\overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{AB})$

= AB$^{2}$ + AC$^{2}$ – 2 . AC . AB . cosA

= AB$^{2}$ + AC$^{2}$ – 2 . AC . AB . cos 90°

= AB$^{2}$ + AC$^{2}$ – 2 . AC . AB . 0

= AB$^{2}$ + AC$^{2}$.

Vậy BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$.

+ Ta chứng minh định lí đảo:

Cho tam giác ABC có BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ thì tam giác ABC vuông tại A.

Ta có: ${\overrightarrow{BC}}^{2}={(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})}^{2}={\overrightarrow{AC}}^{2}+{\overrightarrow{AB}}^{2}-2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$

Suy ra: BC$^{2}$ = AC$^{2}$ + AB$^{2}$ – 2 . AC . AB . cos$(\overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{AB})$ (*)

Mà theo giả thiết ta có: BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ nên thay vào (*) ta được:

BC$^{2}$ = BC$^{2}$ – 2 . AC . AB . cos$(\overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{AB})$

Suy ra: 2 . AC . AB . cos$(\overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{AB})$ = 0

$\Leftrightarrow \cos (\overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{AB})=0$ hay $\cos \widehat{BAC}=0$

Do đó: $\widehat{BAC}=90^{\circ}$ .

Vậy tam giác ABC vuông tại A.

Đáp án đúng là: B.

Ta có: $\overrightarrow{MN}\ .\ \overrightarrow{NM}\ =\overrightarrow{MN}.\ (-\overrightarrow{MN})=-(\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{MN})$$=-{\overrightarrow{MN}}^{2}=-M{N}^{2}$

Lại có: $\overrightarrow{MN}\ .\ \overrightarrow{NM}\ =-4$ , do đó: – MN$^{2}$ = – 4 ⇔ MN$^{2}$ = 4.

Suy ra MN = 2 (MN là độ dài đoạn thẳng nên MN > 0).

Vậy MN = 2.

Đáp án đúng là: C.

Với $\overrightarrow{a}\ ,\ \overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$ thì $(\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b})\ <\ 90^{\circ}$$\Rightarrow \cos (\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b})>0$

Do đó ta có: $\overrightarrow{a}\ .\ \overrightarrow{b}\ =|\overrightarrow{a}|\ .\ |\overrightarrow{b}|\ .\ \cos (\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b})>0$ .

Vậy $\overrightarrow{a}\ ,\ \overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$ và $(\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b})\ <\ 90^{\circ}$ thì $\overrightarrow{a}\ .\ \overrightarrow{b\ }\ >\ 0$

a) Ta có: $\overrightarrow{a}\ .\ \overrightarrow{b}\ =|\overrightarrow{a}|\ .\ |\overrightarrow{b}|\ .\cos (\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b})$ = 3 . 4 cos 30° = $6\sqrt{3}$ .

b) Ta có: $\overrightarrow{a}\ .\ \overrightarrow{b}\ =|\overrightarrow{a}|\ .\ |\overrightarrow{b}|\ .\cos (\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b})$ = 5 . 6 cos 120° = – 15.

c) Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng nên $\overrightarrow{a}\ .\ \overrightarrow{b}\ =|\overrightarrow{a}|\ .\ |\overrightarrow{b}|\ =\ 2\ .\ 3=6$.

d) Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng nên $\overrightarrow{a}\ .\ \overrightarrow{b}\ =-(|\overrightarrow{a}|\ .\ |\overrightarrow{b}|)\ =\ -(2\ .\ 3)=-6$.

a) ABCD là hình vuông nên đường chéo AC là tia phân giác của $\widehat{BAD}$ .

Do đó: $\widehat{BAC}=\frac{1}{2}\widehat{BAD}=\frac{1}{2}.90^{\circ}=45^{\circ}$

Ta có: $\overrightarrow{AB}\ .\ \overrightarrow{AC}\ =|\overrightarrow{AB}|\ .\ |\overrightarrow{AC}|\ .\ \cos (\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC})$

$=AB\ .AC.\cos \widehat{BAC}$

= a . a . cos 45°

$=\frac{{a}^{2}\sqrt{2}}{2}$.

Vậy $\overrightarrow{AB}\ .\ \overrightarrow{AC}$$=\frac{{a}^{2}\sqrt{2}}{2}$ .

b) ABCD là hình vuông nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.

Do đó: $\overrightarrow{AC}\perp \overrightarrow{BD}$ , nên $\overrightarrow{AC}\ .\ \overrightarrow{BD}=0$ .

Ta có: $A{B}^{2}+\overrightarrow{AB}\ .\ \overrightarrow{BC}\ +\ \overrightarrow{AB}\ .\overrightarrow{CA}\$

$=A{B}^{2}+\overrightarrow{AB}\ .(\overrightarrow{BC}\ +\ \overrightarrow{CA})$

$=A{B}^{2}+\overrightarrow{AB}\ .\ \overrightarrow{BA}$

$=A{B}^{2}+\overrightarrow{AB}\ .(-\overrightarrow{AB})$

$=A{B}^{2}-{\overrightarrow{AB}}^{2}$

$=A{B}^{2}-A{B}^{2}=0$.

Vậy $A{B}^{2}+\overrightarrow{AB}\ .\ \overrightarrow{BC}\ +\ \overrightarrow{AB}\ .\overrightarrow{CA}\ =0$.

Tam giác ABC nhọn nên H thuộc cạnh BC.

a) Do AH là đường cao của tam giác ABC nên AH ⊥ CB.

Do đó: $\overrightarrow{AH}\ .\ \overrightarrow{CB}=0$

Ta có: $\overrightarrow{AB}.\ \overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AH}$

$=\overrightarrow{AH}\ .\ \overrightarrow{AB}\ -\overrightarrow{AH}\ .\overrightarrow{AC}$ (tính chất giao hoán)

$=\overrightarrow{AH\ }\ .(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})$

$=\overrightarrow{AH}\ .\overrightarrow{CB}=0$

Do đó: $\overrightarrow{AB}.\ \overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AH}=0$$\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\ \overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AH}$.

Vậy $\overrightarrow{AB}.\ \overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AH}$.

b) Ta có: $\overrightarrow{AB}\ .\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{HB}.\ \overrightarrow{BC}$

$=\overrightarrow{BC}\ .\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\ .\overrightarrow{HB}$ (tính chất giao hoán)

$=\overrightarrow{BC}\ .(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{HB})$

$=\overrightarrow{BC}.\ (\overrightarrow{AB}-(-\overrightarrow{BH}))$

$=\overrightarrow{BC}\ .(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BH})$

$=\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AH}=0$.

Suy ra: $\overrightarrow{AB}\ .\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{HB}.\ \overrightarrow{BC}=0$$\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}\ .\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{HB}.\ \overrightarrow{BC}$.

Vậy $\overrightarrow{AB}\ .\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{HB}.\ \overrightarrow{BC}$.

Giả sử vận tốc của máy bay theo hướng đông sang tây là $\overrightarrow{{v}_{1}}$ , vận tốc của luồng gió theo hướng đông bắc sang tây nam là $\overrightarrow{{v}_{2}}$ và vận tốc mới của máy bay chính là $\overrightarrow{v}$ thỏa mãn $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{{v}_{1}}+\overrightarrow{{v}_{2}}$ . Ta cần tính độ dài vectơ $\overrightarrow{v}$ .

Theo bài ra ta có: $|\overrightarrow{{v}_{1}}|=700$ km/h, $|\overrightarrow{{v}_{2}}|=40$ km/h, $(\overrightarrow{{v}_{1}},\ \overrightarrow{{v}_{2}})=45^{\circ}$.

Biểu diễn bài toán như hình vẽ dưới đây:

Khi đó ta có: ABCD là hình bình hành có $\widehat{ABC}=45^{\circ}$ .

Suy ra:$\widehat{DAB}=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}$ ;$AD=|\overrightarrow{{v}_{2}}|=40$ , $AB=|\overrightarrow{{v}_{1}}|=700$ .

Ta cần tính độ dài đoạn thẳng BD, đây chính là độ dài vectơ $\overrightarrow{v}$ .

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABD, ta có:

BD$^{2}$ = AD$^{2}$ + AB$^{2}$ – 2 . AD . AB . cosA

= 40$^{2}$ + 700$^{2}$ – 2 . 40 . 700 . cos135°

≈ 531 197, 98

Suy ra BD ≈ 728,83 (km/h).

Vậy tốc độ mới của máy bay sau khi gặp gió thổi là 728,83 km/h.

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}\ .\ \overrightarrow{AC}=\ |\overrightarrow{AB}|.\ |\overrightarrow{AC}|.\ \cos (\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC})$

$=AB\ .\ AC\ .\ cos\widehat{BAC}$= 2 . 3 . cos60° = 3.

b) + Do M là trung điểm của BC nên với điểm A ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$$=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.

Do đó: $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.

+ Ta có: $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=(-\overrightarrow{AB})+\overrightarrow{AD}$

Mà $\overrightarrow{AD}=\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$

Nên $\overrightarrow{BD}=(-\overrightarrow{AB})+\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$$=-\overrightarrow{AB}+\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$.

Vậy $\overrightarrow{BD}=-\overrightarrow{AB}+\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$.

c) Ta có: $\overrightarrow{AM}\ .\ \overrightarrow{BD}=(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}).(-\overrightarrow{AB}+\frac{7}{12}\overrightarrow{AC})$

$=\frac{-1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}+\frac{7}{24}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+\frac{7}{24}{\overrightarrow{AC}}^{2}$

$=\frac{-1}{2}.A{B}^{2}+\frac{7}{24}.\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+\frac{7}{24}.A{C}^{2}$

$=\frac{-1}{2}{.2}^{2}+\frac{7}{24}.3-\frac{1}{2}.3+\frac{7}{24}{.3}^{2}$= 0

Suy ra: $\overrightarrow{AM}\ .\ \overrightarrow{BD}=0$ .

Vậy AM ⊥ BD.