Bài tập Tích vô hướng của hai vectơ có đáp án

a) Vì ABCD là hình vuông nên đường chéo DB cũng là phân giác của góc ADC.

Suy ra: $\widehat{BDC}=\frac{1}{2}\widehat{ADC}=\frac{1}{2}.90^{\circ}=45^{\circ}$

Do đó: $\widehat{IDC}=\widehat{BDC}=45^{\circ}$

b) Vectơ có điểm đầu là D và điểm cuối là I là vectơ $\overrightarrow{DI}$ .

Vectơ có điểm đầu là D và điểm cuối là C là vectơ $\overrightarrow{DC}$ .

c) I là giao hai đường chéo của hình vuông ABCD nên I là trung điểm của BD và AC.

Vì I là trung điểm của BD nên $\overrightarrow{DI}=\overrightarrow{IB}$

Vì AB // = DC nên $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$

Vậy hai vectơ cùng có điểm đầu là D và lần lượt bằng $\overrightarrow{IB}$ và $\overrightarrow{AB}$ là các vectơ $\overrightarrow{DI}$ và $\overrightarrow{DC}$ .

Tam giác ABC đều có H là trung điểm BC nên AH là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác.

+ Ta có: $(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC})=\widehat{BAC}=60^{\circ}$ (tam giác ABC đều).

+ Qua A kẻ đường thẳng song song với BC về phía C, lấy điểm D sao cho AD = BC.

Khi đó ta có $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ .

Suy ra: $(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{BC})=(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AD})=\widehat{BAD}$ .

Lại có: $\widehat{CAD}=\widehat{ACB}=60^{\circ}$ (AD // BC, hai góc so le trong)

Nên $\widehat{BAD}=\widehat{BAC}+\widehat{CAD}=60^{\circ}+60^{\circ}=120^{\circ}$ .

Do đó: $(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{BC})=(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AD})=\widehat{BAD}=120^{\circ}$ .

+ Do AH vuông góc với BC nên $\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{BC}$ , do đó $(\overrightarrow{AH},\ \overrightarrow{BC})=90^{\circ}$ .

+ Do hai vectơ $\overrightarrow{BH}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng nên $(\overrightarrow{BH},\ \overrightarrow{BC})=0^{\circ}$

+ Do hai vectơ $\overrightarrow{HB}$ và $\overrightarrow{BC}$ ngược hướng nên $(\overrightarrow{HB},\ \overrightarrow{BC})=180^{\circ}$ .

Cường độ của lực $\overrightarrow{F}$ là 10 N.

Độ dài quãng đường là 100 m.

Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{F}$ và độ dịch chuyển $\overrightarrow{d}$ là 45°.

Vậy công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ là:

A = 10 . 100 . cos45° = $500\sqrt{2}$ (J).

Tam giác ABC vuông cân tại A nên AB = AC, BC = $\sqrt{2}$ và $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=45^{\circ}$ .

Đặt AB = AC = a > 0.

Theo định lí Pytahgore ta có: BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$

Suy ra: ${(\sqrt{2})}^{2}={a}^{2}+{a}^{2}$$\Leftrightarrow 2{a}^{2}=2\Leftrightarrow {a}^{2}=1\Rightarrow a=1$ .

Do đó: AB = AC = 1.

+ Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AC}|.cos(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC})$ = 1 . 1 . cos90° = 0.

+ Có: $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=(-\overrightarrow{CA}).(-\overrightarrow{CB})=\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}$

$=|\overrightarrow{CA}|.|\overrightarrow{CB}|.cos(\overrightarrow{CA},\ \overrightarrow{CB})$

$=CA.CB.cos\widehat{ACB}$

= 1 . $\sqrt{2}$ . cos45° = 1.

+ Và $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{BA}|.|\overrightarrow{BC}|.cos(\overrightarrow{BA},\ \overrightarrow{BC})$$=BA.BC.cos\widehat{ABC}$$=1.\sqrt{2}.\cos 45^{\circ}=1\$ .

Ta có: $|\overrightarrow{a}|=3,\ |\overrightarrow{b}|=8,\ \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=12\sqrt{2}$ .

Mà $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.cos(\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b})$

Suy ra: $cos(\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|}=\frac{12\sqrt{2}}{3.8}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Do đó: $(\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b})=45^{\circ}$ .

Vậy góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là 45°.