15 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Tích vô hướng của hai vectơ có đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Tam giác ACD vuông tại D: $\cos \widehat{CAD}=\frac{AD}{AC}$.

Tam giác ABC vuông tại B: $\cos \widehat{CAD}=\frac{AD}{AC}$.

Ta có $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}.(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$.

$=AC.AD.\cos \widehat{CAD}-AC.AB.\cos \widehat{CAB}$

$=AC.AD.\frac{AD}{AC}-AC.AB.\frac{AB}{AC}$

$=A{D}^{2}-A{B}^{2}=1-2=-1$.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên ta có CD = AB = $\sqrt{2}$ và AC = BD.

Tam giác ACD vuông tại D: $A{C}^{2}=A{D}^{2}+C{D}^{2}$ (Định lý Pytago)

$\Leftrightarrow A{C}^{2}={1}^{2}+{(\sqrt{2})}^{2}=3$

$\Rightarrow AC=\sqrt{3}$.

Do đó BD = AC = $\sqrt{3}$.

Lại có: $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=AC.BD.\cos (\overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{BD})$

$\Leftrightarrow -1=\sqrt{3}.\sqrt{3}.\cos (\overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{BD})$

$\Leftrightarrow \cos (\overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{BD})=\frac{-1}{3}$.

$\Rightarrow (\overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{BD})\approx 109^{\circ}{28}^{'}$.

Vậy ta chọn đáp án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vẽ $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BA}$.

Khi đó ta có $(\overrightarrow{AH},\ \overrightarrow{BA})=(\overrightarrow{AH},\ \overrightarrow{AE})=\widehat{HAE}=α$.

Tam giác ABC đều có AH là đường cao.

Suy ra AH cũng là đường phân giác của tam giác ABC.

Tam giác ABC đều, suy ra $\widehat{BAC}=60^{\circ}$.

Do đó $\widehat{HAB}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}=\frac{1}{2}.60^{\circ}=30^{\circ}$.

Ta có: $\widehat{HAE}+\widehat{HAB}=180^{\circ}$ (hai góc kề bù)

$\Leftrightarrow \widehat{HAE}=180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}$.

Vậy ta chọn đáp án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.\cos (\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b})$.

Vì $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ cùng hướng và đều khác $\overrightarrow{0}$ nên $(\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b})=0^{\circ}$, suy ra $\cos (\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b})=1$.

Ta suy ra $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|$

Vậy ta chọn đáp án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}).\overrightarrow{AB}=0\Leftrightarrow (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}).(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})=0$

$\Leftrightarrow {\overrightarrow{OB}}^{2}-{\overrightarrow{OA}}^{2}=0$
$\Leftrightarrow O{B}^{2}-O{A}^{2}=0$

⇔ OB = OA.

Do đó tam giác OAB cân tại O.

Vậy ta chọn đáp án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.\cos (\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b})$

$\Leftrightarrow \cos (\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|}=\frac{-3}{3.2}=\frac{-1}{2}$

$\Rightarrow (\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b})=120^{\circ}$.

Vậy ta chọn đáp án D.