Giải SBT Toán 10 Bài 4. Tích vô hướng của hai vectơ có đáp án

Do tam giác ABC vuông tại A nên AB ⊥ AC ⇒ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\text{AC}}$ = 0;

Ta có: CB = $\sqrt{{\text{AB}}^{2}+{\text{AC}}^{2}}$ = $\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}$= a$\sqrt{2}$

Tam giác ABC vuông cân tại A nên $\widehat{\text{ACB}}$ = 45°

Như vậy: $\overrightarrow{\text{AC}}.\overrightarrow{\text{CB}}$ = $-\overrightarrow{\text{CA}}.\overrightarrow{\text{CB}}$ = $-(\overrightarrow{\text{CA}}.\overrightarrow{\text{CB}})$ = $-\overrightarrow{|\text{CA}|}.\overrightarrow{|\text{CB}|}.\cos 45^{\circ}$ = – a. a$\sqrt{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}$ = –a$^{2}$

Vậy $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\text{AC}}$ = 0 và $\overrightarrow{\text{AC}}.\overrightarrow{\text{CB}}$= –a$^{2}$.

a) Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB = CD = a, AD = BC = 2a.

Ta có: AC = $\sqrt{{\text{AB}}^{2}+{\text{BC}}^{2}}$ = $\sqrt{{\text{a}}^{2}+{(2\text{a})}^{2}}$ = a$\sqrt{5}$.

Xét tam giác BAC vuông tại B, có: cos$\widehat{\mathrm{BAO}}$ = cos$\widehat{\mathrm{BAC}}$= $\frac{\text{AB}}{\text{AC}}=\frac{a}{\sqrt{5}a}=\frac{1}{\sqrt{5}}$.

ABCD là hình chữ nhật nên O là trung điểm của AC và BD

⇒ AO = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{\text{a}\sqrt{5}}{2}$.

$\overrightarrow{\text{AB}}.\overrightarrow{\text{AO}}$ = $\overrightarrow{|\text{AB}|}$. $\overrightarrow{|\text{AO}|}$. cos$\widehat{\mathrm{BAO}}$ = a.$\frac{\text{a}\sqrt{5}}{2}$. $\frac{1}{\sqrt{5}}$ = $\frac{{\text{a}}^{2}}{2}$.

Vậy $\overrightarrow{\text{AB}}.\overrightarrow{\text{AO}}$ = $\frac{{\text{a}}^{2}}{2}$.