Bài tập Tích vô hướng của hai vectơ có đáp án

a) Vì ABCD là hình vuông nên đường chéo DB cũng là phân giác của góc ADC.

Suy ra: $\widehat{BDC}=\frac{1}{2}\widehat{ADC}=\frac{1}{2}.90^{\circ}=45^{\circ}$

Do đó: $\widehat{IDC}=\widehat{BDC}=45^{\circ}$

b) Vectơ có điểm đầu là D và điểm cuối là I là vectơ $\overrightarrow{DI}$ .

Vectơ có điểm đầu là D và điểm cuối là C là vectơ $\overrightarrow{DC}$ .

c) I là giao hai đường chéo của hình vuông ABCD nên I là trung điểm của BD và AC.

Vì I là trung điểm của BD nên $\overrightarrow{DI}=\overrightarrow{IB}$

Vì AB // = DC nên $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$

Vậy hai vectơ cùng có điểm đầu là D và lần lượt bằng $\overrightarrow{IB}$ và $\overrightarrow{AB}$ là các vectơ $\overrightarrow{DI}$ và $\overrightarrow{DC}$ .

Tam giác ABC đều có H là trung điểm BC nên AH là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác.

+ Ta có: $(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC})=\widehat{BAC}=60^{\circ}$ (tam giác ABC đều).

+ Qua A kẻ đường thẳng song song với BC về phía C, lấy điểm D sao cho AD = BC.

Khi đó ta có $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ .

Suy ra: $(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{BC})=(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AD})=\widehat{BAD}$ .

Lại có: $\widehat{CAD}=\widehat{ACB}=60^{\circ}$ (AD // BC, hai góc so le trong)

Nên $\widehat{BAD}=\widehat{BAC}+\widehat{CAD}=60^{\circ}+60^{\circ}=120^{\circ}$ .

Do đó: $(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{BC})=(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AD})=\widehat{BAD}=120^{\circ}$ .

+ Do AH vuông góc với BC nên $\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{BC}$ , do đó $(\overrightarrow{AH},\ \overrightarrow{BC})=90^{\circ}$ .

+ Do hai vectơ $\overrightarrow{BH}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng nên $(\overrightarrow{BH},\ \overrightarrow{BC})=0^{\circ}$

+ Do hai vectơ $\overrightarrow{HB}$ và $\overrightarrow{BC}$ ngược hướng nên $(\overrightarrow{HB},\ \overrightarrow{BC})=180^{\circ}$ .

Cường độ của lực $\overrightarrow{F}$ là 10 N.

Độ dài quãng đường là 100 m.

Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{F}$ và độ dịch chuyển $\overrightarrow{d}$ là 45°.

Vậy công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ là:

A = 10 . 100 . cos45° = $500\sqrt{2}$ (J).

Tam giác ABC vuông cân tại A nên AB = AC, BC = $\sqrt{2}$ và $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=45^{\circ}$ .

Đặt AB = AC = a > 0.

Theo định lí Pytahgore ta có: BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$

Suy ra: ${(\sqrt{2})}^{2}={a}^{2}+{a}^{2}$$\Leftrightarrow 2{a}^{2}=2\Leftrightarrow {a}^{2}=1\Rightarrow a=1$ .

Do đó: AB = AC = 1.

+ Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AC}|.cos(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC})$ = 1 . 1 . cos90° = 0.

+ Có: $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=(-\overrightarrow{CA}).(-\overrightarrow{CB})=\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}$

$=|\overrightarrow{CA}|.|\overrightarrow{CB}|.cos(\overrightarrow{CA},\ \overrightarrow{CB})$

$=CA.CB.cos\widehat{ACB}$

= 1 . $\sqrt{2}$ . cos45° = 1.

+ Và $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{BA}|.|\overrightarrow{BC}|.cos(\overrightarrow{BA},\ \overrightarrow{BC})$$=BA.BC.cos\widehat{ABC}$$=1.\sqrt{2}.\cos 45^{\circ}=1\$ .

Ta có: $|\overrightarrow{a}|=3,\ |\overrightarrow{b}|=8,\ \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=12\sqrt{2}$ .

Mà $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.cos(\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b})$

Suy ra: $cos(\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|}=\frac{12\sqrt{2}}{3.8}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Do đó: $(\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b})=45^{\circ}$ .

Vậy góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là 45°.

Vì lực $\overrightarrow{F}$ cùng hướng với hướng dịch chuyển của vật nên góc tạo bởi lực $\overrightarrow{F}$ và hướng dịch chuyển là 0°.

Vậy công sinh bởi lực F là:

A = 20 . 50 . cos0° = 1000 (J).

Hai vectơ $\overrightarrow{i},\ \overrightarrow{j}$vuông góc nên $(\overrightarrow{i},\ \overrightarrow{j})=90^{\circ}$ .

Ta có: $\overrightarrow{i}\ .\ \overrightarrow{j}\ =\ |\overrightarrow{i}|.|\overrightarrow{j}|.cos(\overrightarrow{i},\ \overrightarrow{j})=1.1.cos90^{\circ}=0$ .

a) ${(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j})}^{2}={\overrightarrow{i}}^{2}+2\overrightarrow{i}\ .\ \overrightarrow{j}+{\overrightarrow{j}}^{2}$$={|\overrightarrow{i}|}^{2}+2\overrightarrow{i}\ .\ \overrightarrow{j}+{|\overrightarrow{j}|}^{2}$ = 1$^{2}$ + 2 . 0 + 1$^{2}$ = 2.

${(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j})}^{2}={\overrightarrow{i}}^{2}-2\overrightarrow{i}\ .\ \overrightarrow{j}+{\overrightarrow{j}}^{2}$$={|\overrightarrow{i}|}^{2}-2\overrightarrow{i}\ .\ \overrightarrow{j}+{|\overrightarrow{j}|}^{2}$ = 1$^{2}$ – 2 . 0 + 1$^{2}$ = 2.

$(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}).(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j})={\overrightarrow{i}}^{2}-{\overrightarrow{j}}^{2}={|\overrightarrow{i}|}^{2}-{|\overrightarrow{j}|}^{2}={1}^{2}-{1}^{2}=0$

b) Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=(2\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}).(3\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j})$$=2(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}).3(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j})=6.(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}).(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j})=6.0=0$ .

Do đó $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\Leftrightarrow \overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$ .

Vậy $(\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b})=90^{\circ}$ .

Theo bài ra ta có: $|\overrightarrow{{μ}_{1}}|=|\ \overrightarrow{{μ}_{2}}|=1{,}6;\ (\overrightarrow{{μ}_{1}},\ \overrightarrow{{μ}_{2}})=\widehat{OSO}=120^{\circ}$ .

Do đó: $\overrightarrow{{μ}_{1}}.\overrightarrow{{μ}_{2}}=|\overrightarrow{{μ}_{1}}|.|\overrightarrow{{μ}_{2}}|.cos(\overrightarrow{{μ}_{1}},\ \overrightarrow{{μ}_{2}})$ = 1,6 . 1,6 . cos120° = – 1,28.

Vì $\overrightarrow{μ}=\overrightarrow{{μ}_{1}}+\overrightarrow{{μ}_{2}}$ nên để tính độ dài của $\overrightarrow{μ}$ , ta tính độ dài của vectơ tổng $\overrightarrow{{μ}_{1}}+\overrightarrow{{μ}_{2}}$ .

Ta có: ${(\overrightarrow{{μ}_{1}}+\overrightarrow{{μ}_{2}})}^{2}={\overrightarrow{{μ}_{1}}}^{2}+2\overrightarrow{{μ}_{1}}.\overrightarrow{{μ}_{2}}+{\overrightarrow{{μ}_{2}}}^{2}$$={|\overrightarrow{{μ}_{1}}|}^{2}+2\overrightarrow{{μ}_{1}}.\overrightarrow{{μ}_{2}}+{|\overrightarrow{{μ}_{2}}|}^{2}$

= 1,6$^{2}$ + 2 . (– 1,28) + 1,6$^{2}$ = 2,56

Suy ra ${|\overrightarrow{{μ}_{1}}+\overrightarrow{{μ}_{2}}|}^{2}={(\overrightarrow{{μ}_{1}}+\overrightarrow{{μ}_{2}})}^{2}=2{,}56\Rightarrow |\overrightarrow{{μ}_{1}}+\overrightarrow{{μ}_{2}}|=1{,}6$ .

Vậy $|\overrightarrow{μ}|=|\overrightarrow{{μ}_{1}}+\overrightarrow{{μ}_{2}}|=1{,}6$ .

Vì ABCD là hình vuông nên $\widehat{BAD}=90^{\circ},\ \widehat{BAC}=\frac{1}{2}\widehat{BAD}=45^{\circ}$ , $\widehat{ACB}=45^{\circ}$ , hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.

AC = BD = $\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}=a\sqrt{2}$ .

+) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AD}|.cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})$$=AB.AD.\cos \widehat{BAD}$ = a . a . cos90° = 0.

+) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AC}|.cos(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC})$$=AB.AC.cos\widehat{BAC}$$=a.a\sqrt{2}.cos45^{\circ}={a}^{2}$ .

+) $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}=(-\overrightarrow{CA}).\overrightarrow{CB}=-(\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB})$$=-(|\overrightarrow{CA}|.|\overrightarrow{CB}|.cos(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}))$$=-(CA.CB.\cos \widehat{ACB})$$=-(a\sqrt{2}.a.cos45^{\circ})=-{a}^{2}$

+) Do AC và BD vuông góc với nhau nên $\overrightarrow{AC}\perp \overrightarrow{BD}$ , do đó: $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=0$ .

Vì ABCD là hình chữ nhật nên BC = AD = a, CD = AB = 2a, hai đường chéo AC và BD bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông ABC ta có:

AC$^{2}$ = AB$^{2}$ + BC$^{2}$ = (2a)$^{2}$ + a$^{2}$ = 5a$^{2}$ $\Rightarrow AC=a\sqrt{5}$ .

Do đó: $BD=AC=a\sqrt{5}$ .

Suy ra: $AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}.a\sqrt{5}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$ .

Ta có: $\text{co}s\widehat{BAO}\text{= co}s\widehat{BAC}=\frac{AB}{AC}=\frac{2a}{a\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$ .

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AO}=|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AO}|.cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AO})$$=AB.AO.\cos \widehat{BAO}$$=2a.\frac{a\sqrt{5}}{2}.\frac{2}{\sqrt{5}}=2{a}^{2}$ .

b) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AD}|.cos(\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AD})$$=AB.AD.cos\widehat{BAD}$ = 2a . a . cos90° = 0.

a) Điểm O nằm ngoài đoạn thẳng AB

Khi đó hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ cùng hướng nên $(\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{OB})=0^{\circ}$ .

Do đó: $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=|\overrightarrow{OA}|.|\overrightarrow{OB}|.cos(\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{OB})$$=a.b.cos0^{\circ}=ab$ .

b) Điểm O nằm trong đoạn thẳng AB

Khi đó hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ ngược hướng nên $(\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{OB})=180^{\circ}$ .

Do đó: $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=|\overrightarrow{OA}|.|\overrightarrow{OB}|.cos(\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{OB})$$=a.b.cos180^{\circ}=-ab$ .

Vì O là trung điểm của AB nên OA = OB và $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}$

Do hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ ngược hướng nên $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})=180^{\circ}$

Do đó: $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=|\overrightarrow{OA}|.|\overrightarrow{OB}|.cos(\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{OB})$$=OA.OB.cos180^{\circ}=-OA.OA=-O{A}^{2}$

Với điểm M tùy ý ta có:$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}).(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB})$$={\overrightarrow{MO}}^{2}+\overrightarrow{MO}.\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}$$={|\overrightarrow{MO}|}^{2}+(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}).\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}$$=M{O}^{2}+\overrightarrow{0}.\overrightarrow{MO}+(-O{A}^{2})$

Vậy $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=M{O}^{2}-O{A}^{2}$

Lực $\overrightarrow{F}$ có độ lớn là 90 N.

Quãng đường dịch chuyển của vật là 100 m.

Góc tạo bởi lực $\overrightarrow{F}$ với hướng dịch chuyển là 60°.

Vây công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ là:

A = 90 . 100 . cos60° = 4500 (J).

Giả sử hai vectơ đề bài cho là $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ .

Theo bài ra ta có: $|\overrightarrow{a}|=3,\ |\overrightarrow{b}|=4,\ \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-6$ .

Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.cos(\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b})$

Suy ra: $cos(\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|}=\frac{-6}{3.4}=\frac{-1}{2}$ .

Vậy $(\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b})=120^{\circ}$ .