Toán · Lớp 11

Bài tập Sử dụng tính chất của lôgarit để biển đổi, rút gọn các biểu thức chứa biến lớp 11 (có lời giải)

25 câu · 38 phút · Ngân hàng đề TopStudy. Đáp án và lời giải do TopStudy biên soạn, mở ngay dưới từng câu.

Nội dung đề

Phần I. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn

Câu 1

1 điểm

Cho a > 0, a ≠ 2. Giá trị của

{\log }_{\frac{a}{2}}(\frac{{a}^{2}}{4})

bằng:

Đáp án A: $\frac{1}{2};$
Đáp án B: 2
Đáp án C: $\frac{-1}{2};$
Đáp án D: -2

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: B

Đáp án đúng là: B

Với a > 0, a ≠ 2 ta có: ${\log }_{\frac{a}{2}}(\frac{{a}^{2}}{4})={\log }_{\frac{a}{2}}(\frac{{a}^{2}}{{2}^{2}})={\log }_{\frac{a}{2}}{(\frac{a}{2})}^{2}=2.$

Câu 2

1 điểm

Nếu

{\log }_{4}\sqrt{a}=16

thì log

_{4}

a bằng:

Đáp án A: 32;
Đáp án B: 256;
Đáp án C: 8;
Đáp án D: 4.

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Đáp án đúng là: A

Với a > 0 ta có: ${\log }_{4}a={\log }_{4}{(\sqrt{a})}^{2}=2{\log }_{4}\sqrt{a}=2.16=32.$

Câu 3

1 điểm

Cho các số thực a, b > 1. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

Đáp án A: log $_{a \frac{a}{b}}$ = log $_{b}$ a;
Đáp án B: log $_{a \frac{a}{b}}$ = log $_{a}$ b;
Đáp án C: log $_{a}$ $\frac{a}{b}$ = 1 + log $_{a}$ b;
Đáp án D: log $_{a}$ $\frac{a}{b}$ = 1 – log $_{a}$ b.

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: D

Đáp án đúng là: D

Ta có: log $_{a \frac{a}{b}}$ = log $_{a}$ a – log $_{a}$ b = 1 – log $_{a}$ b.

Câu 4

1 điểm

Nếu log

_{a}

b = 2, log

_{a}

c = 3, thì log

_{a}

^{2}

^{3}

) bằng:

Đáp án A: 108;
Đáp án B: 13;
Đáp án C: 31;
Đáp án D: 36.

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: B

Đáp án đúng là: B

Với a > 0, b > 0, c > 0, a ≠ 1 ta có:

log $_{a}$ (b $^{2}$ c $^{3}$ ) = log $_{a}$ b $^{2}$ + log $_{a}$ c $^{3}$ = 2log $_{a}$ b + 3log $_{a}$ c = 2.2 + 3.3 = 13.

Câu 5

1 điểm

Cho a > 0, b > 0. Mệnh đề đúng là:

Đáp án A: log $_{2}$ $(\frac{2{a}^{3}}{b})$ = 1 + 3log $_{2}$ a – log $_{2}$ b;
Đáp án B: log $_{2}$ $(\frac{2{a}^{3}}{b})$ = 1 + log $_{2}$ a – log $_{2}$ b;
Đáp án C: log $_{2}$ $(\frac{2{a}^{3}}{b})$ = 1 + 3log $_{2}$ a + log $_{2}$ b;
Đáp án D: log $_{2}$ $(\frac{2{a}^{3}}{b})$ = 1 + log $_{2}$ a + log $_{2}$ b.

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Đáp án đúng là: A

Với a > 0, b > 0 ta có:

log $_{2}$ $(\frac{2{a}^{3}}{b})$ = log $_{2}$ 2a $^{3}$ – log $_{2}$ b

= log $_{2}$ 2 + log $_{2}$ a $^{3}$ – log $_{2}$ b

= 1 + 3log $_{2}$ a – log $_{2}$ b.

Câu 6

1 điểm

Nếu log

_{a}

b = 5 thì

{\log }_{{a}^{2}b}(a{b}^{2})

bằng:

Đáp án A: $\frac{11}{7};$
Đáp án B: 1;
Đáp án C: 4;
Đáp án D: $\frac{26}{7}.$

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 6

Câu 7

1 điểm

Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Rút gọn biểu thức

P=\log \frac{a}{b}+\log \frac{b}{c}+\log \frac{c}{d}-\log \frac{a}{d}

ta được kết quả là

Đáp án A: P = loga – logb;
Đáp án B: P = 2logd;
Đáp án C: P = 1;
Đáp án D: P = 0.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 7

Câu 8

1 điểm

Cho a > 0, b > 0 thỏa mãn a

^{2}

+ b

^{2}

= 7ab. Khi đó, log(a + b) bằng:

Đáp án A: $\log 9+\frac{1}{2}(\log a+\log b);$
Đáp án B: $\log 3+\frac{1}{2}\log a.\log b;$
Đáp án C: $\log 3+\frac{1}{2}\log a+\log b;$
Đáp án D: $\log 3+\frac{1}{2}(\log a+\log b).$

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 8

Phần II. Tự luận

Câu 9

1 điểm

Cho a > 0, a ≠ 1,

{a}^{\frac{1}{2}}=b.

Khi đó giá trị của

{\log }_{ab}(a\sqrt{b})

bằng

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 9

Phần III. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn

Câu 10

1 điểm

Nếu log

_{a}

b = 4 thì

{\log }_{a\sqrt[3]{b}}(\sqrt[4]{a\sqrt{b}})

bằng

Đáp án A: $\frac{9}{19};$
Đáp án B: $\frac{9}{28};$
Đáp án C: $\frac{9}{29};$
Đáp án D: $\frac{9}{39}.$

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 10

Câu 11

1 điểm

Cho a, b là các số thực dương tùy ý và a ≠ 1. Biến đổi biểu thức P = log

_{a}

^{3}

b) ta được kết quả nào sau đây?

Đáp án A: P = 3 + log $_{a}$ b.
Đáp án B: P = 3log $_{a}$ b.
Đáp án C: P = 1 + 3log $_{a}$ b.
Đáp án D: P = $\frac{3}{{{{\log }_a}b}}$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 11

Câu 12

1 điểm

Cho các số thực dương a, b với a ≠ 1. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Đáp án A: ${\log _{{a^2}}}(ab)$ = $\frac{1}{4}$ log $_{a}$ b.
Đáp án B: ${\log _{{a^2}}}(ab)$ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ log $_{a}$ b.
Đáp án C: ${\log _{{a^2}}}(ab)$ = $\frac{1}{2}$ log $_{a}$ b.
Đáp án D: ${\log _{{a^2}}}(ab)$ = 2 + 2log $_{a}$ b.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 12

Câu 13

1 điểm

Với a, b là các số thực dương tùy ý và a ≠ 1, đặt P = log

_{a}

^{3}

{\log _{{a^2}}}{b^6}

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Đáp án A: P = 27log $_{a}$ b.
Đáp án B: P = 15log $_{a}$ b.
Đáp án C: P = 9log $_{a}$ b.
Đáp án D: P = 6log $_{a}$ b.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 13

Câu 14

1 điểm

Với mọi số thực dương a, b thỏa mãn a ≠ 1, biểu thức M = log

_{a}

\left( {\frac{{{a^2}}}{{\sqrt b }}} \right)

bằng:

Đáp án A: 2 – 2log $_{a}$ b.
Đáp án B: 2 – $\frac{1}{2}$ log $_{a}$ b.
Đáp án C: 2 + $\frac{1}{2}$ log $_{a}$ b.
Đáp án D: 1 – $\frac{1}{2}$ log $_{a}$ b.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 14

Câu 15

1 điểm

Cho x, y là các số thực dương tùy ý, đặt log

_{3}

x = a; log

_{3}

y = b. Chọn mệnh đề đúng:

Đáp án A: ${\log _{\frac{1}{{27}}}}\left( {\frac{x}{{{y^3}}}} \right)$ = $\frac{1}{3}$ a – b.
Đáp án B: ${\log _{\frac{1}{{27}}}}\left( {\frac{x}{{{y^3}}}} \right)$ = $\frac{1}{3}$ a + b.
Đáp án C: ${\log _{\frac{1}{{27}}}}\left( {\frac{x}{{{y^3}}}} \right)$ = $- \frac{1}{3}$ a – b.
Đáp án D: ${\log _{\frac{1}{{27}}}}\left( {\frac{x}{{{y^3}}}} \right)$ = $- \frac{1}{3}$ a + b.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 15

Phần IV. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 16

1 điểm

Cho hai số thực dương x, y tùy ý. Xét tính đúng sai của các phép biến đổi biểu thức chứa lôgarit tự nhiên sau:

Ý a: ln(x $^{2}$ y) = 2lnx + lny.
Ý b: ln $\left( {\frac{e}{x}} \right)$ = 1 – lnx.
Ý c: ln(x + y) = lnx + lny.
Ý d: ln(x $^{2}$ y $^{4}$ ) = 2(lnx + 2lny).

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 16

Câu 17

1 điểm

Cho các biểu thức sau: A =

{\left( {{a^3}\sqrt a } \right)^{{{\log }_a}b}}

{\left( {\sqrt[3]{{{b^2}}}} \right)^{{{\log }_b}a}}

với a, b > 0; a, b ≠ 1 và B = log

\frac{a}{b}

+ log

\frac{b}{c}

+ log

\frac{c}{d}

– log

\frac{a}{d}

với a, b, c, d là các số dương. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Ý a: A = $\sqrt[3]{a}$ + $\sqrt {{b^4}}$ .
Ý b: B = $\frac{a}{b}$ .
Ý c: A + B $\sqrt a$ = $\sqrt[3]{{{a^2}}}$ + $\sqrt {{b^7}}$ .
Ý d: A – B $\sqrt b$ = 2 $\sqrt[3]{{{a^2}}}$ + $\sqrt {{b^7}}$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 17

Câu 18

1 điểm

Cho các số thực dương a, b thỏa mãn a

^{2}

+ b

^{2}

= 9ab. Xét tính đúng hay sai của các mệnh đề sau:

Ý a: (a + b) $^{2}$ = 11ab.
Ý b: 2ln(a + b) = ln11 + lna + lnb.
Ý c: ln $\frac{{a + b}}{{\sqrt {11} }}$ = lna + lnb.
Ý d: log $_{3}$ (a + b) – ${\log _3}\sqrt {ab}$ = $\frac{1}{2}$ log $_{3}$ 11.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 18

Câu 19

1 điểm

Với mọi số thực dương a, b và a, b ≠ 1. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Ý a: log(ab) = log a + log b.
Ý b: ${\log _{{a^{\frac{1}{4}}}}}\left( {ab} \right)$ = 4 + 4log $_{a}$ b.
Ý c: ${\log _a}\left( {\frac{a}{b}} \right)$ = 1 + log $_{a}$ b.
Ý d: Biết 2ln a – ln b = ln 4. Khi đó a $^{2}$ = 4b.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 19

Câu 20

1 điểm

Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn a $^{2}$ + 9b $^{2}$ = 10ab.

Xét biểu thức P = log $_{3}$ (a + 3b) – log $_{3}$ 4. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Ý a: Biến đổi giả thiết đã cho ta được phương trình (a + 3b) $^{2}$ = 16ab.
Ý b: log $_{3}$ (a + 3b) = 4log $_{3}$ 2 + $\frac{1}{2}$ (log $_{3}$ a + log $_{3}$ b).
Ý c: P = $\frac{1}{2}$ log $_{3}$ (ab).
Ý d: Khi a = 3 và b = 9, giá trị của biểu thức P bằng 2.