Bài tập Sử dụng tính chất của lôgarit để biển đổi, rút gọn các biểu thức chứa biến lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Với a > 0, a ≠ 2 ta có: ${\log }_{\frac{a}{2}}(\frac{{a}^{2}}{4})={\log }_{\frac{a}{2}}(\frac{{a}^{2}}{{2}^{2}})={\log }_{\frac{a}{2}}{(\frac{a}{2})}^{2}=2.$

Đáp án đúng là: A

Với a > 0 ta có: ${\log }_{4}a={\log }_{4}{(\sqrt{a})}^{2}=2{\log }_{4}\sqrt{a}=2.16=32.$

Đáp án đúng là: D

Ta có: log$_{a \frac{a}{b}}$ = log$_{a}$ a – log$_{a}$ b = 1 – log$_{a}$ b.

Đáp án đúng là: B

Với a > 0, b > 0, c > 0, a ≠ 1 ta có:

log$_{a}$(b$^{2}$c$^{3}$) = log$_{a}$b$^{2}$ + log$_{a}$c$^{3}$ = 2log$_{a}$b + 3log$_{a}$c = 2.2 + 3.3 = 13.

Đáp án đúng là: A

Với a > 0, b > 0 ta có:

log$_{2}$ $(\frac{2{a}^{3}}{b})$= log$_{2}$ 2a$^{3}$ – log$_{2}$ b

= log$_{2}$2 + log$_{2}$a$^{3}$ – log$_{2}$b

= 1 + 3log$_{2}$a – log$_{2}$b.

Đáp án đúng là: A

Với a > 0, b > 0, a ≠ 1 và log$_{a}$ b = 5 thì

${\log }_{{a}^{2}b}(a{b}^{2})=\frac{{\log }_{a}(a{b}^{2})}{{\log }_{a}({a}^{2}b)}=\frac{{\log }_{a}a+{\log }_{a}{b}^{2}}{{\log }_{a}{a}^{2}+{\log }_{a}b}\ =\frac{1+2{\log }_{a}b}{2+lo{g}_{a}b}=\frac{1+2.5}{2+5}=\frac{11}{7}.$

Đáp án đúng là: D

Với a, b, c là các số thực dương, ta có:

$P=\log \frac{a}{b}+\log \frac{b}{c}+\log \frac{c}{d}-\log \frac{a}{d}\ =\log (\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d})-\log \frac{a}{d}=\log (\frac{a}{d}:\frac{a}{d})=\log 1=0.$

Đáp án đúng là: D

Với a > 0, b > 0 ta có:

a$^{2}$ + b$^{2}$ = 7ab hay a$^{2}$ + 2ab + b$^{2}$ = 9ab ⇒ (a + b)$^{2}$ = 9ab.

$\Rightarrow a+b=\sqrt{9ab}\Rightarrow a+b=3{(ab)}^{\frac{1}{2}}$(do a > 0, b > 0).

Xét: $\log (a+b)=\log [3{(ab)}^{\frac{1}{2}}]$

$=\log 3+\log {(ab)}^{\frac{1}{2}}\ =\log 3+\frac{1}{2}(\log a+\log b).$

Đáp án đúng là: A

Với a > 0, a ≠ 1, ${a}^{\frac{1}{2}}=b$ ta có:

${\log }_{ab}(a\sqrt{b})={\log }_{a\cdot {a}^{\frac{1}{2}}}(a\sqrt{{a}^{\frac{1}{2}}})={\log }_{{a}^{\frac{3}{2}}}(a.{a}^{\frac{1}{4}})=\frac{2}{3}{\log }_{a}({a}^{1+\frac{1}{4}})$

$=\frac{2}{3}{\log }_{a}{a}^{\frac{5}{4}}=\frac{2}{3}.\frac{5}{4}=\frac{5}{6}.$

Đáp án đúng là: B

${\log }_{a\sqrt[3]{b}}(\sqrt[4]{a\sqrt{b}})=\frac{{\log }_{a}\sqrt[4]{a\sqrt{b}}}{{\log }_{a}a\sqrt[3]{b}}=\frac{{\log }_{a}\sqrt[4]{a{b}^{\frac{1}{2}}}}{{\log }_{a}(a{b}^{\frac{1}{3}})}=\frac{{\log }_{a}{(a{b}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{4}}}{{\log }_{a}(a{b}^{\frac{1}{3}})}$

$=\frac{{\log }_{a}({a}^{\frac{1}{4}}.{b}^{\frac{1}{2}.\frac{1}{4}})}{{\log }_{a}(a{b}^{\frac{1}{3}})}=\frac{{\log }_{a}({a}^{\frac{1}{4}}{b}^{\frac{1}{8}})}{{\log }_{a}(a{b}^{\frac{1}{3}})}=\frac{{\log }_{a}{a}^{\frac{1}{4}}+{\log }_{a}{b}^{\frac{1}{8}}}{{\log }_{a}a+{\log }_{a}{b}^{\frac{1}{3}}}$

$=\frac{\frac{1}{4}+\frac{1}{8}{\log }_{a}b}{1+\frac{1}{3}{\log }_{a}b}=\frac{\frac{1}{4}+\frac{1}{8}.4}{1+\frac{1}{3}.4}=\frac{9}{28}.$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: P = log$_{a}$(a$^{3}$b) = log$_{a}$a$^{3}$ + log$_{a}$b = 3log$_{a}$a + log$_{a}$b = 3 + log$_{a}$b.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: ${\log _{{a^2}}}(ab)$ = ${\log _{{a^2}}}a$ + ${\log _{{a^2}}}b$ = $\frac{1}{2}$log$_{a}$a + $\frac{1}{2}$log$_{a}$b = $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$log$_{a}$b.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: P = log$_{a}$b$^{3}$ + ${\log _{{a^2}}}{b^6}$ = 3log$_{a}$b + $\frac{1}{2}$⋅ 6log$_{a}$b

= (3 + $\frac{1}{2}$⋅ 6)log$_{a}$b = (3 + 3)log$_{a}$b = 6log$_{a}$b.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Ta có: M = log$_{a}$$\left( {\frac{{{a^2}}}{{\sqrt b }}} \right)$ = log$_{a}$(a$^{2}$) – log$_{a}$($\sqrt b$) = 2log$_{a}$a – log$_{a}$$\left( {{b^{\frac{1}{2}}}} \right)$ = 2 – $\frac{1}{2}$log$_{a}$b.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Do x, y là các số thực dương nên ta có:

${\log _{\frac{1}{{27}}}}\left( {\frac{x}{{{y^3}}}} \right)$ = log$_{3}$$^{–3}$$\left( {\frac{x}{{{y^3}}}} \right)$ = $- \frac{1}{3}$log$_{3}$$\left( {\frac{x}{{{y^3}}}} \right)$ = $- \frac{1}{3}$(log$_{3}$x – log$_{3}$y$^{3}$)

= $- \frac{1}{3}$(log$_{3}$x – 3log$_{3}$y) = $- \frac{1}{3}$log$_{3}$x + $\frac{1}{3}$⋅ 3log$_{3}$y = $- \frac{1}{3}$log$_{3}$x + log$_{3}$y.

Mà log$_{3}$x = a; log$_{3}$y = b ⇒ $- \frac{1}{3}$log$_{3}$x + log$_{3}$y = $- \frac{1}{3}$a + b.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Ta có: ln(x$^{2}$y) = ln(x$^{2}$) + lny = 2lnx + lny.

b) Đúng. Ta có: ln$\left( {\frac{e}{x}} \right)$ = ln e – lnx = 1 – lnx.

c) Sai. Ta có: lnx + lny = ln(xy) ≠ ln(x + y).

d) Đúng. Ta có: ln(x$^{2}$y$^{4}$) = ln(x$^{2}$) + ln(y$^{4}$) = 2lnx + 4lny = 2(lnx + 2lny).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai. Ta có: A = ${\left( {{a^3}\sqrt a } \right)^{{{\log }_a}b}}$ + ${\left( {\sqrt[3]{{{b^2}}}} \right)^{{{\log }_b}a}}$ = ${\left( {{a^3} \cdot {a^{\frac{1}{2}}}} \right)^{{{\log }_a}b}}$ + ${\left( {{b^{\frac{2}{3}}}} \right)^{{{\log }_b}a}}$

= ${\left( {{a^{\frac{7}{2}}}} \right)^{{{\log }_a}b}} + {\left( {{b^{\frac{3}{2}}}} \right)^{{{\log }_b}a}}$ = ${\left( {{a^{{{\log }_a}b}}} \right)^{\frac{7}{2}}} + {\left( {{b^{{{\log }_b}a}}} \right)^{\frac{2}{3}}}$ = ${b^{\frac{7}{2}}} + {a^{\frac{2}{3}}}$ = $\sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt {{b^7}}$.

b) Sai. Ta có: B = log$\frac{a}{b}$ + log$\frac{b}{c}$ + log$\frac{c}{d}$ – log$\frac{a}{d}$ = log$\left( {\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{d}} \right)$ – log$\frac{a}{d}$

= log$\frac{a}{d}$ – log$\frac{a}{d}$ = log$\left( {\frac{a}{d}:\frac{a}{d}} \right)$ = log1 = 0.

c) Đúng. A + B$\sqrt a$ = $\sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt {{b^7}}$+ 0 ⋅$\sqrt a$ = $\sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt {{b^7}}$.

d) Sai. A – B$\sqrt b$ = $\sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt {{b^7}}$– 0 ⋅ $\sqrt b$ = $\sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt {{b^7}}$ ≠ 2$\sqrt[3]{{{a^2}}}$ + $\sqrt {{b^7}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Ta có: a$^{2}$ + b$^{2}$ = 9ab. Cộng 2 vế của phương trình với 2ab:

⇔ a$^{2}$ + 2ab + b$^{2}$ = 11ab ⇔ (a + b)$^{2}$ = 11ab.

b) Đúng. Theo câu a), ta có: (a + b)$^{2}$ = 11ab

Lấy ln hai vế, ta được:

ln(a + b)$^{2}$ = ln(11ab) ⇔ 2ln(a + b) = ln11 + lna + lnb

c) Sai. Theo câu b), ta có: 2ln(a + b) = ln11 + lna + lnb

⇔ 2ln(a + b) – ln11 = lna + lnb ⇔ ln(a + b)$^{2}$ – ln11 = lna + lnb

⇔ $\ln \frac{{{{(a + b)}^2}}}{{11}}$ = lna + lnb ⇔ $\ln {\left( {\frac{{a + b}}{{\sqrt {11} }}} \right)^2}$ = lna + lnb

⇔ 2$\ln \frac{{a + b}}{{\sqrt {11} }}$ = lna + lnb ⇔ $\ln \frac{{a + b}}{{\sqrt {11} }}$ = $\frac{{\ln a + \ln b}}{2}$ ≠ lna + lnb.

d) Đúng. Theo câu a), ta có: (a + b)$^{2}$ = 11ab ⇔ $\frac{{{{(a + b)}^2}}}{{ab}}$ = 11

⇔ $\frac{{a + b}}{{\sqrt {ab} }}$ = $\sqrt {11}$

Lấy logarit cơ số 3 hai vế, ta được:

${\log _3}\frac{{a + b}}{{\sqrt {ab} }}$ = ${\log _3}\sqrt {11}$ ⇔ log$_{3}$(a + b) – ${\log _3}\sqrt {ab}$ = ${\log _3}{11^{\frac{1}{2}}}$

⇔ log$_{3}$(a + b) – ${\log _3}\sqrt {ab}$ = $\frac{1}{2}$log$_{3}$11.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng

a) Đúng. Ta có: log(ab) = log a + log b.

b) Đúng. Ta có: ${\log _{{a^{\frac{1}{4}}}}}\left( {ab} \right)$ = $\frac{1}{{\frac{1}{4}}}$log$_{a}$(ab) = 4log$_{a}$a + 4log$_{a}$b = 4 + 4log$_{a}$b.

c) Sai. Vì ${\log _a}\left( {\frac{a}{b}} \right)$ = log$_{a}$a – log$_{a}$b = 1 – log$_{a}$b ≠ 1 + log$_{a}$b.

d) Đúng. Ta có: 2ln a – ln b = ln 4.

⇔ ln a$^{2}$ – ln b = ln 4 ⇔ ln$\left( {\frac{{{a^2}}}{b}} \right)$ = ln 4 ⇔ $\frac{{{a^2}}}{b}$ = 4 ⇔ a$^{2}$ = 4b.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Ta có: a$^{2}$ + 9b$^{2}$ = 10ab. Cộng cả hai vế của phương trình với 6ab, ta được:

a$^{2}$ + 6ab + 9b$^{2}$ = 16ab ⇔ (a + 3b)$^{2}$ = 16ab.

b) Sai. Theo câu a), ta có: (a + 3b)$^{2}$ = 16ab. Lấy loogarit cơ số 3 hai vế (với a, b > 0), ta được:

⇒ log$_{3}$(a + 3b)$^{2}$ = log$_{3}$(16ab) ⇔ 2log$_{3}$(a + 3b) = log$_{3}$2$^{4}$ + log$_{3}$a + log$_{3}$b

⇔ 2log$_{3}$(a + 3b) = 4log$_{3}$2 + log$_{3}$a + log$_{3}$b ⇔ log$_{3}$(a + 3b) = 2log$_{3}$2 + $\frac{1}{2}$log$_{3}$a + $\frac{1}{2}$log$_{3}$b

⇔ log$_{3}$(a + 3b) = 2log$_{3}$2 + $\frac{1}{2}$(log$_{3}$a + log$_{3}$b) ≠ 4log$_{3}$2 + $\frac{1}{2}$(log$_{3}$a + log$_{3}$b).

c) Đúng. Theo câu b) ta có: log$_{3}$(a + 3b) = 2log$_{3}$2 + $\frac{1}{2}$(log$_{3}$a + log$_{3}$b)

⇔ P = 2log$_{3}$2 + $\frac{1}{2}$(log$_{3}$a + log$_{3}$b) – log$_{3}$4 = log$_{3}$2$^{2}$ + $\frac{1}{2}$(log$_{3}$a + log$_{3}$b) – log$_{3}$4

P = log$_{3}$4 + $\frac{1}{2}$(log$_{3}$a + log$_{3}$b) – log$_{3}$4 = $\frac{1}{2}$(log$_{3}$a + log$_{3}$b)

P = $\frac{1}{2}$log$_{3}$(ab).

d) Sai. Thay a = 3, b = 9 vào P, ta có: P = $\frac{1}{2}$log$_{3}$(3 ⋅ 9) = $\frac{1}{2}$log$_{3}$27 = $\frac{1}{2}$ ⋅ 3 = $\frac{3}{2}$

Vậy với a = 3, b = 9, P = $\frac{3}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 16

Ta có: ${\log _a}\sqrt[5]{{{a^{11}}}}$ = ${\log _a}{a^{\frac{{11}}{5}}}$ = $\frac{{11}}{5}$log$_{a}$a = $\frac{{11}}{5}$.

⇒ $\frac{m}{n}$ = $\frac{{11}}{5}$ ⇒ m + n = 11 + 5 = 16.

Vậy m + n = 16.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 25

Ta có: ${\log _{\sqrt a }}5$ = ${\log _{{a^{\frac{1}{2}}}}}5$ = 2log$_{a}$5 = log$_{a}$5$^{2}$ = log$_{a}$25

⇒ ${a^{{{\log }_{\sqrt a }}5}}$ = ${a^{{{\log }_a}25}}$.

Áp dụng tính chất lôgarit: ${a^{{{\log }_a}M}}$= M với 0 < a ≠ 1, M > 0 ⇒ ${a^{{{\log }_{\sqrt a }}5}}$ = ${a^{{{\log }_a}25}}$ = 25.

Vậy giá trị của biểu thức trên là 25.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 13

Ta có: Q = log$_{a}$(b$^{2}$c$^{3}$) = log$_{a}$b$^{2}$ + log$_{a}$c$^{3}$ = 2log$_{a}$b + 3log$_{a}$c

Mà log$_{a}$b = 2, log$_{a}$c = 3

⇒ Q = 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 3 = 4 + 9 = 13.

Vậy Q = 13.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Với a, b là các số thực dương khác 1, ta có:

ln a + ln(8b) = 2ln(a + 2b)

⇔ ln(8ab) = ln(a + 2b)$^{2}$ ⇔ 8ab = (a + 2b)$^{2}$

⇔ 8ab – (a + 2b)$^{2}$ = 0 ⇔ 8ab – (a$^{2}$ + 4ab + 4b$^{2}$) = 0

⇔ 8ab – a$^{2}$ – 4ab – 4b$^{2}$ = 0 ⇔ – a$^{2}$ + 4ab – 4b$^{2}$ = 0

⇔ a$^{2}$ – 4ab + 4b$^{2}$ = 0 ⇔ (a – 2b)$^{2}$ = 0 ⇔ a – 2b = 0 ⇔ a = 2b.

Thay a = 2b vào P, khi đó:

P = log$_{b}$(2a) + ${\log _{\frac{a}{2}}}(2b)$ – $\frac{1}{{{{\log }_8}b}}$ = log$_{b}$(4b) + log$_{b}$(2b) – log$_{b}$8 = ${\log _b}\left( {\frac{{4b \cdot 2b}}{8}} \right)$

= ${\log _b}\frac{{8{b^2}}}{8}$ = log$_{b}$b$^{2}$ = 2log$_{b}$b = 2.

Vậy P = 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Ta có: x$^{2}$ + y$^{2}$ = 14xy. Cộng cả 2 vế với 2xy:

⇒ x$^{2}$ + 2xy + y$^{2}$ = 14xy + 2xy ⇔ (x + y)$^{2}$ = 16xy

Vì x, y > 0 nên x + y > 0. Lấy logarit cơ số 2 hai vế của đẳng thức trên, ta được:

log$_{2}$${(x + y)^2}$ = log$_{2}$(16xy) ⇔ 2log$_{2}$(x + y) = log$_{2}$16 + log$_{2}$(xy)

⇔ 2log$_{2}$(x + y) = log$_{2}$2$^{4}$ + log$_{2}$(xy) ⇔ 2log$_{2}$(x + y) = 4 + log$_{2}$(xy)

⇔ log$_{2}$(x + y) = 2 + $\frac{1}{2}$log$_{2}$(xy)

⇒ a = 2

Vậy a = 2.