Bài tập Một số bài toán thực tế ứng dụng tính đơn điệu và cực trị của hàm số (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Ta có v = S' = −t$^{2}$ + 8t + 9, t ∈ (0; 10).

Có v'(t) = −2t + 8 ; v'(t) = 0 $\Leftrightarrow$ t = 4 ∈ (0; 10).

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có trong khoảng thời gian (0; 4) thì vận tốc của vật tăng.

Đáp án đúng là: C

Có f'(t) = 90t – 3t$^{2}$; f"(t) = 90 – 6t; f"(t) = 0 $\Leftrightarrow$ t = 15.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có khoảng thời gian (15; 25) ngày thì tốc độ truyền bệnh giảm.

Đáp án đúng là: C

Khi bơi ngược dòng vận tốc của cá là: v – 6 (km/h)

Thời gian để cá vượt khoảng cách 300 km là $t = \frac{{300}}{{v - 6}}\left( {v > 6} \right)$.

Năng lượng tiêu hao của cá khi vượt khoảng cách 300km là:

E(v) = cv$^{3}$t $= c{v^3}.\frac{{300}}{{v - 6}} = 300c.\frac{{{v^3}}}{{v - 6}}$.

Có $E'\left( v \right) = 600c{v^2}\frac{{v - 9}}{{{{\left( {v - 6} \right)}^2}}};E'\left( v \right) = 0 \Rightarrow v = 9$ (vì v > 6).

Bảng biến thiên:

Vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên nằm ở khoảng (6; 9) thì năng lượng tiêu hao của cá giảm.

Đáp án đúng là: A

Ta có: G(x) = 0,75x$^{2}$ – 0,025x$^{3}$; G'(x) = 1,5x – 0,075x$^{2}$; G'(x) = 0 $\Leftrightarrow$ x = 0 hoặc x = 20.

Bảng biến thiên:

Liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân nằm trong khoảng (0; 20) thì huyết áp bệnh nhân tăng.

Đáp án đúng là: B

Ta có T' = −0,024t$^{2}$ – 0,16 < 0, ∀t ∈ [1; 10].

Suy ra hàm số T nghịch biến trên đoạn [1; 10].

Do đó nhiệt độ trong phòng giảm.

Đáp án đúng là: D

Xét hàm số P = 12I – 0,5I$^{2}$ với I ≥ 0.

Ta có P' = 12 – I; P' = 0 $\Leftrightarrow$ I = 12.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có công suất P tăng trong khoảng cường độ dòng điện (0; 12).

Đáp án đúng là: A

Ta có: $G\left( x \right) = 0{,}25{x^2}\left( {30 - x} \right) = \frac{3}{4}{x^2} - \frac{1}{{40}}{x^3}$

$G'\left( x \right) = \frac{3}{2}x - \frac{3}{{40}}{x^2}$

$G'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{3}{2}x - \frac{3}{{40}}{x^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 20\end{array} \right.$. Vì x > 0 nên x = 20.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên thì bệnh nhân cần tiêm một lượng thuốc 20 mg.

Đáp án đúng là: B

Ta có $h\left( t \right) = 2\cos \left( {\frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{3}} \right) + 5$$\Rightarrow h'\left( t \right) = - \frac{\pi }{6}\sin \left( {\frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{3}} \right)$.

$h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{{12}} + \frac{\pi }{3} = k\pi$$\Leftrightarrow t = - 4 + 12k\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Mà 0 ≤ t ≤ 24 nên $0 \le - 4 + 12k \le 24 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le k \le \frac{7}{3}$ $\Rightarrow$ k ∈ {1; 2}.

Do đó h'(t) = 0 $\Leftrightarrow$ t = 8 hoặc t = 20.

$\Rightarrow$ h(t) đồng biến trên khoảng (8; 20) hay trong khoảng từ 8 giờ đến 20 giờ độ sâu của mực nước trong kênh tăng dần.

Đáp án đúng là: B

Xét hàm số $y = C(x) = \frac{{30x}}{{{x^2} + 2}}$ trên khoảng x ∈ (0; 6).

Ta có: $y' = \frac{{ - 30{x^2} + 60}}{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}}$.

$y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 30{x^2} + 60}}{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt 2 \\x = - \sqrt 2 \,\end{array} \right.$do x ∈ (0; 6)$\Rightarrow x = \sqrt 2$.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra: nồng độ thuốc trong máu C(x) đạt giá trị cực đại là $\frac{{15\sqrt 2 }}{2}\left( {{\rm{mg/l}}} \right)$ trong khoảng thời gian 6 phút sau khi tiêm.

Đáp án đúng là: D

Ta có v(t) = x'(t) = 3t$^{2}$ – 12t + 9.

Xét v(t) = 3t$^{2}$ – 12t + 9

$\Rightarrow$v'(t) = 6t – 12 = 0 $\Leftrightarrow$ t = 2.

Bảng biến thiên

Vận tốc tăng trong khoảng thời gian t ∈ (2; 10) và giảm trong khoảng thời gian t ∈ (0; 2).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có C'(x) = 3x$^{2}$ – 12x + 9; C'(x) = 0 $\Leftrightarrow$ x = 1 hoặc x = 3.

Ta có bảng xét dấu của f'(x) như sau

Dựa vào bảng xét dấu của f'(x), trong khoảng (1; 3) chi phí sản xuất luôn giảm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Có s'(t) = 3t$^{2}$ – 18t + 24; s'(t) = 0 $\Leftrightarrow$ t = 2 hoặc t = 4.

Ta có bảng xét dấu của s'(t)

Dựa vào bảng xét dấu của s'(t), vận tốc của vận động viên đạt cực tiểu tại thời điểm t = 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Có L'(x) = −3x$^{2}$ + 12x – 9; L'(x) = 0 $\Leftrightarrow$ x = 1 hoặc x = 3.

Bảng xét dấu của L'(x) như sau:

Dựa vào bảng xét dấu của L'(x), ta có sản phẩm bán ra tăng từ x = 1 đến x = 3 thì lợi nhuận của cửa hàng luôn tăng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Có N'(x) = 3x$^{2}$ – 12x + 9; N'(x) = 0 $\Leftrightarrow$ x = 1 hoặc x = 3.

Ta có bảng xét dấu của N'(x)

Trong khoảng (0; 5) năng suất của công nhân giảm trong khoảng thời gian từ 1 đến 3 giờ.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Có C'(x) = 3x$^{2}$ – 12x + 9; C'(x) = 0 $\Leftrightarrow$ x = 1 hoặc x = 3.

Ta có bảng xét dấu của C'(x) như sau:

Trong khoảng từ x = 0 đến x = 5 chi phí vận hành đạt cực tiểu tại x = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Ta có v(t) = x'(t) = 3t$^{2}$ −12t + 9.

b) Đúng. Ta có a(t) = v'(t) = 6t – 12.

c) Sai. Ta có a(t) = 0 $\Leftrightarrow$ t = 2.

Bảng xét dấu của v'(t):

Dựa vào bảng xét dấu của v'(t), ta có trong khoảng từ t = 0 đến t = 2 thì vận tốc của chất điểm giảm.

d) Sai. Dựa vào bảng xét dấu của v'(t), ta có từ t = 2 trở đi thì vận tốc của chất điểm tăng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Ta có $c\left( 3 \right) = \frac{3}{{{3^2} + 1}} = \frac{3}{{10}}$.

b) Đúng. Ta có $c'\left( t \right) = \frac{{{t^2} + 1 - 2{t^2}}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{1 - {t^2}}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}}$.

c) Sai. Ta có c'(t) = 0 $\Leftrightarrow$ t = 1 hoặc t = −1.

Vì t > 0 nên t = 1.

Ta có bảng xét dấu của c'(t):

Dựa vào bảng xét dấu của c'(t), ta có nồng độ thuốc trong máu bệnh nhân tăng trong khoảng t $\in$ (0; 1).

d) Sai. Dựa vào bảng xét dấu của c'(t), ta có nồng độ thuốc trong máu bệnh nhân giảm khi t > 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

Ta có I'(t) = −sint; I'(t) = 0 $\Leftrightarrow$ t = 0 hoặc t = π (do 0 < t < 2π).

Bảng xét dấu của I'(t)

a) Đúng. Dựa vào bảng xét dấu của I'(t), ta có trong khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$, cường độ ánh sáng giảm.

b) Sai. Trong khoảng $\left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)$, cường độ ánh sáng giảm.

c) Sai. Tại t = 0 cường độ ánh sáng không đạt cực đại.

d) Đúng. Tại t = π cường độ ánh sáng đạt cực tiểu.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Có $P'\left( t \right) = \frac{1}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall t > 0$. Do đó tốc độ tăng trưởng dân số luôn tăng.

b) Đúng. Theo câu a, tốc độ tăng trưởng không có cực trị.

c) Đúng. $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } P\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{t}{{t + 1}} = 1$.

Vậy nếu kéo dài thời gian rất lâu, tốc độ tăng trưởng tiền gần đến 1 nghìn người/năm.

d) Sai. Tốc độ tăng trưởng không có cực trị.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

Có C'(x) = 3x$^{2}$ – 24x + 36; C'(x) = 0 $\Leftrightarrow$ x = 2 hoặc x = 6.

Bảng xét dấu của C'(x)

a) Đúng. Dựa vào bảng xét dấu ta có chi phí sản xuất tăng khi x ∈ (0; 2).

b) Đúng. Dựa vào bảng xét dấu ta có chi phí sản xuất giảm khi x ∈ (2; 6).

c) Đúng. x = 2, chi phí sản xuất đạt cực đại.

d) Đúng. x = 6, chi phí sản xuất đạt cực tiểu.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 256

Có R'(x) = −3x$^{2}$ + 24x; R'(x) = 0 $\Leftrightarrow$ x = 0 hoặc x = 8.

Ta có bảng xét dấu của R'(x) như sau:

Doanh thu cực đại của cửa hàng đạt được tại x = 8.

Khi đó R(8) = 256 triệu đồng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 160

Có L'(x) = −3x$^{2}$ + 48x; L'(x) = 0 $\Leftrightarrow$ x = 0 hoặc x = 16.

Bảng xét dấu của L'(x)

Dựa vào bảng xét dấu của L'(x), lợi nhuận cực đại khi bán được 16 chục chiếc xe máy tức là 160 chiếc xe máy.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 26

Vận tốc tức thời của chất điểm v(t) = s'(t) = −t$^{2}$ + 36t – 35.

Gia tốc tức thời của chất điểm a(t) = v'(t) = −2t + 36.

Vì vận tốc tức thời của chất điểm giảm nên a(t) < 0 $\Leftrightarrow$ −2t + 36 < 0 $\Leftrightarrow$ t > 18.

Do đó, trong 40 giây đầu tiên, chất điểm có vận tốc tức thời giảm trong khoảng thời gian (18; 40).

Suy ra a = 18; b = 40. Vậy P = 2b – 3a = 26.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 12

Số cá trên mỗi đơn vị diện tích mặt hồ có cân nặng trung bình là

f(n) = nP(n) = 480n – 20n$^{2}$ (gam).

Ta có f'(n) = 480 – 40n = 0 Û n = 12.

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, suy ra trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ, số cá cần thả trong khoảng (0; 12) thì cân nặng trung bình của số cá đó tăng.

Do đó b – a = 12.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 60

Ta có $v\left( t \right) = V'\left( t \right) = \frac{1}{{100}}\left( {90{t^2} - {t^3}} \right)$; $v'\left( t \right) = \frac{1}{{100}}\left( {180t - 3{t^2}} \right)$.

Có v'(t) = 0 $\Leftrightarrow$ t = 0 hoặc t = 60.

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có thời điểm tốc độ bơm nước đạt cực đại là t = 60 phút.