Bài tập Một số bài toán hàm hợp liên quan đến tính đơn điệu và cực trị lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Có y' = −2x.f'(2 – x$^{2}$).

Có y' > 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\1 < 2 - {x^2} < 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\\left[ \begin{array}{l}2 - {x^2} < 1\\2 - {x^2} > 2\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\ - 1 < x < 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\\left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 1\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < x < 1\\x < - 1\end{array} \right.$.

Do đó hàm số đồng biến trên (0; 1). Khi đó a = 0; b = 1 và a + 2b = 2.

Đáp án đúng là: B

Ta có g'(x) = −2f'(3 – 2x).

Có g'(x) > 0 $\Leftrightarrow$ f'(3 – 2x) < 0 $\Leftrightarrow$ 1 < 3 – 2x < 2 $\Leftrightarrow \frac{1}{2} < x < 1$.

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên $\left( {\frac{1}{2};1} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Từ đồ thị hàm số trên, ta có bảng biến thiên như sau:

$\Rightarrow$ f(x) < 0,∀x ≠ ±2.

Ta có g'(x) = 2f(x).f'(x).

$g'\left( x \right) = 2f\left( x \right).f'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 < x < 2\\x < - 2\end{array} \right.$.

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (1; 2).

Đáp án đúng là: B

Ta có f'(x) = x$^{2}$(x – 9)(x – 4)$^{2}$ $\Rightarrow$ g'(x) = 2x.x$^{4}$(x$^{2}$ – 9)(x$^{2}$ – 4)$^{2}$.

Có g'(x) = 0 $\Leftrightarrow$ 2x$^{5}$(x$^{2}$ – 9)(x$^{2}$ – 4)$^{2}$ = 0 $\Leftrightarrow$ x = 0 hoặc x = ±3 hoặc x = ±2.

Ta có bảng biến thiên

Vậy hàm số y = f(x$^{2}$) đồng biến trên khoảng (3; +∞).

Đáp án đúng là: C

Ta có: g'(x) = 2x.f'(x$^{2}$ - 2); $g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\f'\left( {{x^2} - 2} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 2 = - 1\\{x^2} - 2 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 1\\x = \pm 2\end{array} \right.$.

Ta có g'(x) > 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\f'\left( {{x^2} - 2} \right) > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\f'\left( {{x^2} - 2} \right) < 0\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^2} - 2 > 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\{x^2} - 2 < 2\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\left[ \begin{array}{l}x < - 2\\x > 2\end{array} \right.\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\ - 2 < x < 2\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\ - 2 < x < 0\end{array} \right.$.

Vậy hàm số g(x) đồng biến trên các khoảng (−2; 0) và (2; +∞) và nghịch biến trên các khoảng (−∞; −2) và (0; 2).

Đáp án đúng là: B

Ta có g'(x) = (2x – 2)f'(x$^{2}$ – 2x).

Có g'(x) = 0 $\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2x - 2 = 0}\\{{x^2} - 2x = - 1}\\{{x^2} - 2x = 2}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 1 + \sqrt 3 \\x = 1 - \sqrt 3 \end{array} \right.$.

Do g'(x) đổi dấu khi qua các nghiệm x = 1 và $x = 1 + \sqrt 3$ nên g(x) = f(x$^{2}$ – 2x) có 2 điểm cực trị trên khoảng (0; +∞).

Đáp án đúng là: B

Từ giả thiết, ta có bảng biến thiên của hàm số f(x)

Ta có g(x) = f(3 – x) $\Rightarrow$ g'(x) = −f'(3 – x).

Từ bảng biến thiên của hàm số f(x) ta có

g'(x) > 0 $\Leftrightarrow$ f'(3 – x) < 0$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3 - x < - 1\\1 < 3 - x < 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 4\\ - 1 < x < 2\end{array} \right.$.

Như thế ta có bảng biến thiên của hàm số g(x)

Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy hàm số g(x) có một điểm cực đại.

Đáp án đúng là: B

Ta có y' = (2x + 2)f'(x$^{2}$ + 2x) = 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\f'\left( {{x^2} + 2x} \right) = 0\quad \left( 1 \right)\end{array} \right.$.

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình $\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 2x = a < - 1\quad \quad \quad \left( 2 \right)\\{x^2} + 2x = b \in \left( { - 1;1} \right)\quad \quad \left( 3 \right)\\{x^2} + 2x = c > 1\quad \quad \quad \quad \left( 4 \right)\end{array} \right.$.

Đồ thị hàm số y = x$^{2}$ + 2x có dạng

Từ đồ thị hàm số y = x$^{2}$ + 2x ta thấy phương trình (2) vô nghiệm; phương trình (3) ; phương trình (4) đều có 2 nghiệm phân biệt.

Do đó y' = 0 có 5 nghiệm đơn phân biệt. Vậy hàm số y = f(x$^{2}$ + 2x) có 5 điểm cực trị.

Đáp án đúng là: B

Do hàm số y = f(x) có đúng hai điểm cực trị x = −1; x = 1 nên phương trình f'(x) = 0 có hai nghiệm bội lẻ phân biệt x = −1; x = 1.

Ta có y' = (2x – 2)f'(x$^{2}$ – 2x + 1) .

$y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 2 = 0\\{x^2} - 2x + 1 = - 1\\{x^2} - 2x + 1 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 0\\x = 2\end{array} \right.$.

Ta có

$y' > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x - 2 > 0\\f'({x^2} - 2x + 1) > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2x - 2 < 0\\f'({x^2} - 2x + 1) < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 1\\\left[ \begin{array}{l}{x^2} - 2x + 1 > 1\\{x^2} - 2x + 1 < - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 1\\ - 1 < {x^2} - 2x + 1 < 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 1\\\left[ \begin{array}{l}x > 2\\x < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 1\\0 < x < 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\0 < x < 1\end{array} \right.$.

Do đó ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta suy ra hàm số y = f(x$^{2}$ – 2x + 1) có 3 cực trị.

Đáp án đúng là: D

Ta có y = f(x$^{2}$ – 4x + 1)

$\Rightarrow$ g'(x) = 2(x – 2)f'(x$^{2}$ – 4x + 1).

Ta có g'(x) = 2(x – 2)f'(x$^{2}$ – 4x + 1) = 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\{x^2} - 4x + 1 = - 1\\{x^2} - 4x + 1 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 2 - \sqrt 2 \\x = 2 + \sqrt 2 \\x = 2 - \sqrt 6 \\x = 2 + \sqrt 6 \end{array} \right.$.

Ta có bảng xét dấu của g'(x).

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số g(x) = f(x$^{2}$ – 4x + 1 ) có 5 điểm cực trị.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Có y' = −f'(2 – x).

Hàm số y = f(2 – x) nghịch biến khi y' ≤ 0 $\Leftrightarrow$ f'(2 – x) ≥ 0.

Dựa vào đồ thị ta có $f'\left( {2 - x} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 - x \le - 1\\2 - x \ge 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 3\\x \le 1\end{array} \right.$.

Suy ra hàm số y = f(2 – x) nghịch biến trên các khoảng (−∞; 1) và (3; +∞).

Do đó hàm số f(2 – x) nghịch biến trên khoảng (−1; 0).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có y' = −3f'(5 – 3x).

Để hàm số nghịch biến thì y' ≤ 0 $\Leftrightarrow$ f'(5 – 3x) ≥ 0 $\Leftrightarrow$ 5 – 3x ≥ 2 $\Leftrightarrow$ x ≤1.

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 1).

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (−3; 1).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Có h'(x) = 2xf'(x$^{2}$).

Có h'(x) = 0 $\Leftrightarrow$ $\left[ \begin{array}{l}x = 0\\f'\left( {{x^2}} \right) = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = - 1\end{array} \right.$.

Bảng xét dấu của h'(x)

Dựa vào bảng xét dấu, ta có hàm số h(x) nghịch biến trên các khoảng (−∞; −1) và (0; 1).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có g'(x) = (2x – 2)f'(x$^{2}$ – 2x).

Có g'(x) = 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 2 = 0\\f'\left( {{x^2} - 2x} \right) = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 2 = 0\\{x^2} - 2x = - 2\\{x^2} - 2x = 1\\{x^2} - 2x = 3\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 1 + \sqrt 2 \\x = 1 - \sqrt 2 \\x = 3\\x = - 1\end{array} \right.$.

Ta có bảng xét dấu của g'(x) như sau

Dựa vào bảng xét dấu của g'(x), ta có hàm số có 3 điểm cực trị.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Có f'(x) = 3x$^{2}$ + 6x; f'(x) = 0 $\Leftrightarrow$ x = 0 hoặc x = −2.

Có g'(x) = (−2x + 3)f'(−x$^{2}$ + 3x);

g'(x) = 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2x + 3 = 0\\f'\left( { - {x^2} + 3x} \right) = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{3}{2}\\ - {x^2} + 3x = 0\\ - {x^2} + 3x = - 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{3}{2}\\x = 0\\x = 3\\x = \frac{{3 \pm \sqrt {17} }}{2}\end{array} \right.$.

Bảng xét dấu của g'(x) như sau:

Dựa vào bảng xét dấu của g'(x), ta có hàm số có 2 điểm cực tiểu.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

Ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ lần lượt là 0; a; b.

Ta có bảng biến thiên của hàm số y = f(x) như sau:

a) Sai. Điểm cực đại của hàm số là x = a.

b) Sai. Hàm số có hai cực trị.

c) Đúng. Vì số cực trị của hàm số y = f(3x – 2024) bằng số cực trị của hàm số y = f(x).

d) Sai. Ta có g'(x) = f'(x) + 2.

Có g'(x) = 0 $\Leftrightarrow$ f'(x) = −2 có đúng 2 nghiệm bội lẻ nên hàm số g(x) = f(x) + 2x có đúng 2 cực trị.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai. Từ đồ thị trên ta có bảng biến thiên của hàm số y = f(x) như sau:

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y = f(x) nghịch biến trên (−∞; −2).

b) Sai. Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y = f(x) có 1 điểm cực trị là x = 1.

c) Sai. Từ đồ thị hàm số f'(x) ta có f'(x) = a(x + 2)$^{2}$(x – 1).

Đồ thị hàm số y = f'(x) đi qua (0; −4) nên −4 = a(0 + 2)$^{2}$(0 – 1) Û a = 1.

Vậy f'(x) = (x + 2)$^{2}$(x – 1) Þ f'(2) = (2 + 2)$^{2}$(2 – 1) = 16.

d) Đúng. Ta có g'(x) = f'(x) – x + 1; g'(x) = 0 $\Leftrightarrow$ f'(x) = x – 1.

Nghiệm của phương trình trên là hoành độ giao điểm của đồ thị y = f'(x) và đường thẳng y = x – 1.

Dựa vào đồ thị ta có f'(x) = x – 1 $\Leftrightarrow$ x = −3 hoặc x = −1 hoặc x = 1.

Bảng biến thiên của hàm số g(x):

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (−3; −1).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

Ta có g'(x) = −e$^{x}$f'(2 – e$^{x}$); y' = 0 $\Leftrightarrow$ f'(2 – e$^{x}$) = 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 - {e^x} = - 1\\2 - {e^x} = 1\\2 - {e^x} = 4\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \ln 3\\x = 0\end{array} \right.$.

Bảng xét dấu của g'(x)

a) Đúng. Dựa vào bảng xét dấu của g'(x) ta có hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 0) và (ln3; +∞). Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞).

b) Đúng. Dựa vào bảng xét dấu của g'(x) ta có hàm số nghịch biến trên khoảng (0; ln3).

c) Đúng. Dựa vào bảng xét dấu của g'(x) ta có hàm số có 1 điểm cực tiểu.

d) Sai. Dựa vào bảng xét dấu của g'(x) ta có hàm số có 2 cực trị.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

Ta có g'(x) = 3f'(x). Do đó tính đồng biến, cực trị của hàm số g(x) trùng với hàm số f(x).

a) Sai. Hàm số g(x) = 3f(x) + 1 nghịch biến trên khoảng (−∞; −1).

b) Đúng. Hàm số g(x) = 3f(x) + 1 nghịch biến trên (0; 1).

c) Sai. Hàm số g(x) = 3f(x) + 1 đạt cực tiểu tại x = ±1.

d) Đúng. Hàm số g(x) = 3f(x) + 1 có 3 điểm cực trị.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

Dựa vào đồ thị hàm số y = f'(x) ta có bảng xét dấu của f'(x)

a) Đúng. Dựa vào bảng xét dấu của f'(x), hàm số y = f(x) có hai điểm cực trị.

b) Đúng. Dựa vào bảng xét dấu của f'(x), hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x = −2.

c) Sai. Có g'(x) = 2f'(2x + 4).

Có g'(x) = 0 $\Leftrightarrow$ f'(2x + 4) = 0 $\Leftrightarrow$ $\left[ \begin{array}{l}2x + 4 = - 2\\2x + 4 = 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = - 1\end{array} \right.$.

Bảng xét dấu của g'(x) như sau

Hàm số g(x) = f(2x + 4) đạt cực đại tại x = −3.

d) Đúng. h'(x) = 2xf'(x$^{2}$ – 2).

Ta có h'(x) = 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\f'\left( {{x^2} - 2} \right) = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 2 = - 2\\{x^2} - 2 = 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\\x = 2\end{array} \right.$.

Bảng xét dấu của h'(x) như sau:

Vậy hàm số h(x) có 3 điểm cực trị.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 12

Có g'(x) = $- \frac{1}{2}f'\left( {1 - \frac{x}{2}} \right) + 4$.

Để hàm số g(x) đồng biến thì $g'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{2}f'\left( {1 - \frac{x}{2}} \right) + 4 > 0$$\Leftrightarrow f'\left( {1 - \frac{x}{2}} \right) < 8$.

Có f'(x) < 8 $\Leftrightarrow$ x$^{2}$ – 2x < 8 $\Leftrightarrow$ −2 < x < 4.

Khi đó $f'\left( {1 - \frac{x}{2}} \right) < 8$ $\Leftrightarrow - 2 < 1 - \frac{x}{2} < 4$$\Leftrightarrow - 6 < x < 6$.

Vậy hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (−6; 6).

Suy ra a = −6; b = 6. Vậy b – a = 12.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 7

Có g'(x) = (−2x + 2)f'(−x$^{2}$ + 2x).

Có g'(x) = 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2x + 2 = 0\\f'\left( { - {x^2} + 2x} \right) = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\ - {x^2} + 2x = a\left( {a < - 2} \right)\\ - {x^2} + 2x = b\left( { - 2 < b < - 1} \right)\\ - {x^2} + 2x = c\left( {0 < c < 1} \right)\\ - {x^2} + 2x = d\left( {1 < d < 2} \right)\end{array} \right.$.

Đặt hàm số h(x) = −x$^{2}$ + 2x.

Ta có đồ thị hàm số h(x) như sau:

Từ đồ thị hàm số ta suy ra

+) –x$^{2}$ + 2x = a (a < −2) có 2 nghiệm phân biệt.

+) –x$^{2}$ + 2x = b (−2 < b < −1) có 2 nghiệm phân biệt.

+) –x$^{2}$ + 2x = c (0 < c < 1) có 2 nghiệm phân biệt.

+) –x$^{2}$ + 2x = d (1< d < 2) có vô nghiệm.

Suy ra số điểm cực trị của hàm số g(x) là 7.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Từ đồ thị hàm số y = f(x) ta có hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2).

Ta có y' = f'(x). Do đó hàm số y = f(x) + 2024 đồng biến trên (0; 2).

Suy ra a = 0; b = 2. Vậy a + b = 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1

Ta có f'(x) = 0 $\Leftrightarrow$ x = −1 hoặc x = 1 hoặc x = 4.

Bảng biến thiên của hàm số f(x) là

Ta có g'(x) = −f'(3 – x).

Ta có g'(x) ≥ 0 $\Leftrightarrow$ f'(3 – x) ≤ 0 $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3 - x \le - 1\\1 \le 3 - x \le 4\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 4\\ - 1 \le x \le 2\end{array} \right.$.

Ta có bảng biến thiên của hàm số g(x) như sau

Từ bảng biến thiên, ta có hàm số g(x) có 1 điểm cực đại.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Ta có y' = −2xf'(2 – x$^{2}$).

Ta có

$\begin{array}{l}y' = - 2x.f'\left( {2 - {x^2}} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\1 < 2 - {x^2} < 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\\left[ \begin{array}{l}2 - {x^2} < 1\\2 - {x^2} > 2\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\ - 1 < x < 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\\left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 1\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < x < 1\\x < - 1\end{array} \right.\\\end{array}$.

Suy ra hàm số y = f(2 – x$^{2}$) đồng biến trên khoảng (0; 1).

Khi đó a = 0; b = 1. Vậy a + 2b = 2.