Bài tập Hệ thức lượng trong tam giác có đáp án

Sau bài này ta sẽ trả lời được:

Đặt cọc tiêu (vật cố định) tại vị trí đứng, kí hiệu là điểm A.

Sau đó, di chuyển một đoạn d (m) đến vị trí B. Gọi C là vị trí của tháp Rùa.

Tại A và B xác định góc A và góc B của tam giác ABC.

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC để tính độ dài cạnh AC.

a) Giả sử tàu xuất phát từ điểm O như hình dưới đây.

Trong 1 giờ, tàu di chuyển theo hướng đông từ O đến A với quãng đường là:

20 . 1 = 20 (km) tương ứng với 20 cm trên sơ đồ.

Trong 0,5 giờ tiếp theo, tàu di chuyển theo hướng đông nam từ A đến B với quãng đường là:

20 . 0,5 = 10 (km) tương ứng với 10 cm trên sơ đồ.

b) Trên sơ đồ, khoảng cách từ cảng đến tàu là đoạn OB dài khoảng 28 cm.

Do đó, khoảng cách từ cảng đến tàu thực tế khoảng 28 km.

c) Nếu sau khi đi được 2 giờ, tàu chuyển sang hướng nam (thay vì hướng đông nam) thì sơ đồ đường đi của tàu như sau:

Trong 2 giờ, tàu di chuyển từ điểm xuất phát O theo hướng đông đi đến A với quãng đường OA là 20 . 2 = 40 (km) tương ứng với 40 cm trên sơ đồ.

Sau đó tàu di chuyển từ A theo hướng nam tới vị trí điểm B. Ta có thể tính được quãng đường AB khi biết thời gian di chuyển.

Ta có: AB ⊥ OA nên tam giác OAB vuông tại A.

Khi đó áp dụng định lí Pythagore ta có thể tính được chính xác OB với OB = = , do đó ta có thể xác định được chính xác khoảng cách từ điểm B nơi tàu đến tới cảng Vân Phong.

a) Xét ΔBDC vuông tại D, có:

BC$^{2}$ = BD$^{2}$ + DC$^{2}$ (py – ta – go)

Hay a$^{2}$ = BD$^{2}$ + DC$^{2}$

b) Xét ΔBDA vuông tại D, có:

BA$^{2}$ = BD$^{2}$ + DA$^{2}$

Suy ra BD$^{2}$ = BA$^{2}$ – DA$^{2}$ = c$^{2}$ – DA$^{2}$ (*)

Mà DC = DA + AC = DA + b nên DC$^{2}$ = (DA + b)$^{2}$ (**)

Thay (*) và (**) vào (1), ta được:

a$^{2}$ = c$^{2}$ – DA$^{2}$ + (DA + b)$^{2}$ = c$^{2}$ – DA$^{2}$ + DA$^{2}$ + 2.DA.b + b$^{2}$

= c$^{2}$ + b$^{2}$ + 2.DA.b.

Vậy a$^{2}$ = c$^{2}$ + b$^{2}$ + 2.DA.b (2)

c) Xét ΔBDA vuông tại D, có:

Þ DA = c. cos α.

Mà cos α = cos (180$^{o}$ – A) = − cos A (do góc α và góc A bù nhau)

d) Thay DA = − c. cos A vào biểu thức (2), ta được:

a$^{2}$ = c$^{2}$ + b$^{2}$ + 2b . (− c. cos A)

= b$^{2}$ + c$^{2}$ − 2bc. cos A.

Vậy a$^{2}$ = b$^{2}$ + c$^{2}$ − 2bc. cos A (đpcm).

Giả sử ta có tam giác ABC vuông tại A có BC = a, AC = b, AB = c.

Theo định lí côsin ta có: a$^{2}$ = b$^{2}$ + c$^{2}$ – 2bc cosA.

Mà nên cosA = 0.

Do đó, a$^{2}$ = b$^{2}$ + c$^{2}$ – 2bc . 0 = b$^{2}$ + c$^{2}$.

Khi đó: a$^{2}$ = b$^{2}$ + c$^{2}$ hay bình phương cạnh huyền bằng tổng các bình phương hai cạnh góc vuông. (nội dung của định lí Pythagore).

Vậy định lý Pythagore là một trường hợp đặc biệt của định lý côsin.

Theo định lí côsin, ta có:

a$^{2}$ = b$^{2}$ + c$^{2}$ − 2bc . cos A (1)

b$^{2}$= a$^{2}$ + c$^{2}$ −2ac . cos B (2)

c$^{2}$ = b$^{2}$ + a$^{2}$ −2ab . cos C (3)

Ta có (1) Û 2bc . cos A = b$^{2}$ + c$^{2}$ − a$^{2}$ Û$\cos A=\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$ .

Tương tự từ (2) và (3) suy ra $\cos B=\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$; $\cos C=\frac{{b}^{2}+{a}^{2}-{c}^{2}}{2ba}$.

Vậy $\cos A=\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$ ; $\cos B=\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$; $\cos C=\frac{{b}^{2}+{a}^{2}-{c}^{2}}{2ba}$.