Bài tập Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai có đáp án

Để tìm được giá trị của x, ta cần giải phương trình $\sqrt{{(8-40x)}^{2}+{(7-40x)}^{2}}=5$ (1).

Điều kiện xác định: (8 – 40x)$^{2}$ + (7 – 40x)$^{2}$ ≥ 0.

Sau bài học này, ta sẽ giải được phương trình trên như sau:

Bình phương hai vế ta có: (8 – 40x)$^{2}$ + (7 – 40x)$^{2}$ = 25

⇔ 1 600x$^{2}$ – 640x + 64 + 1 600x$^{2}$ – 560x + 49 = 25

⇔ 3 200x$^{2}$ – 1 200x + 88 = 0

⇔ 400x$^{2}$ – 150x + 11 = 0

Phương trình trên có hai nghiệm là x$_{1}$ = 0,1, x$_{2}$ = 0,275.

Thử lại với điều kiện, ta thấy x = 0,1 thỏa mãn.

Vậy x = 0,1.

Bình phương hai vế của (1) ta được: 3x$^{2}$ – 4x + 1 = x$^{2}$ + x – 1 (2).

Ta có: (2) ⇔ 2x$^{2}$ – 5x + 2 = 0$\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=2 \\ x=\frac{1}{2}\end{matrix}$ .

Thay lần lượt hai giá trị trên vào (1) ta thấy chỉ có x = 2 thỏa mãn.

Vậy phương trình (1) có nghiệm là x = 2.

Ta có: $\sqrt{3x-5}=x-1$ (1).

Trước hết ta giải bất phương trình x – 1 ≥ 0 (2).

Ta có: (2) ⇔ x ≥ 1.

Bình phương hai vế của (1) ta được 3x – 5 = (x – 1)$^{2}$ (3).

Ta có: (3) ⇔ 3x – 5 = x$^{2}$ – 2x + 1 ⇔ x$^{2}$ – 5x + 6 = 0 $\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=2 \\ x=3\end{matrix}$ .

Do đó phương trình (3) có hai nghiệm là x = 2 và x = 3.

Hai giá trị trên đều thỏa mãn x ≥ 1.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 2 và x = 3.

a) $\sqrt{2{x}^{2}-3x-1}=\sqrt{2x+3}$ (1)

Bình phương hai vế của (1) ta được: 2x$^{2}$ – 3x – 1 = 2x + 3

⇔ 2x$^{2}$ – 3x – 1 – 2x – 3 = 0

⇔ 2x$^{2}$ – 5x – 4 = 0$\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=\frac{5+\sqrt{57}}{4} \\ x=\frac{5-\sqrt{57}}{4}\end{matrix}$

Thử lại ta thấy cả hai giá trị trên đều thỏa mãn (1).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=\frac{5+\sqrt{57}}{4}$ và$x=\frac{5-\sqrt{57}}{4}$ .

b) $\sqrt{4{x}^{2}-6x-6}=\sqrt{{x}^{2}-6}$ (2)

Bình phương hai vế của (2) ta được: 4x$^{2}$ – 6x – 6 = x$^{2}$ – 6

⇔ 4x$^{2}$ – x$^{2}$ – 6x – 6 + 6 = 0

⇔ 3x$^{2}$ – 6x = 0

⇔ 3x(x – 2) = 0$\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=0 \\ x-2=0\end{matrix}\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=0 \\ x=2\end{matrix}$

Thử lại ta thấy hai giá trị x = 0 và x = 2 đều không thỏa mãn (2).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

c) $\sqrt{x+9}=2x-3$(3)

Trước hết ta giải bất phương trình 2x – 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ $\frac{3}{2}$ .

Bình phương cả hai vế của (3) ta được: x + 9 = (2x – 3)$^{2}$

⇔ x + 9 = 4x$^{2}$ – 12x + 9

⇔ 4x$^{2}$ – 12x + 9 – x – 9 = 0

⇔ 4x$^{2}$ – 13x = 0

⇔ x(4x – 13) = 0$\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=0 \\ 4x-13=0\end{matrix}\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=0 \\ x=\frac{13}{4}\end{matrix}$

Trong hai giá trị trên có giá trị x =$\frac{13}{4}$ thỏa mãn x ≥$\frac{3}{2}$ .

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x =$\frac{13}{4}$ .

d) $\sqrt{-{x}^{2}+4x-2}=2-x$ (4)

Trước hết ta giải bất phương trình: 2 – x ≥ 0 ⇔ x ≤ 2.

Bình phương hai vế của (4) ta được: – x$^{2}$ + 4x – 2 = (2 – x)$^{2}$

⇔ – x$^{2}$ + 4x – 2 = 4 – 4x + x$^{2}$

⇔ 2x$^{2}$ – 8x + 6 = 0

⇔ x$^{2}$ – 4x + 3 = 0$\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=3 \\ x=1\end{matrix}$

Trong hai giá trị trên có giá trị x = 1 thỏa mãn x ≤ 2.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 1.

a) $\sqrt{2-x}+2x=3$

$\Leftrightarrow \sqrt{2-x}=3-2x$ (1)

Ta giải bất phương trình: 3 – 2x ≥ 0 ⇔ x ≤ $\frac{3}{2}$ .

Bình phương hai vế của (1) ta được: 2 – x = (3 – 2x)$^{2}$

⇔ 2 – x = 9 – 12x + 4x$^{2}$

⇔ 4x$^{2}$ – 11x + 7 = 0$\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=1 \\ x=\frac{7}{4}\end{matrix}$

Trong hai giá trị trên ta thấy x = 1 thỏa mãn x ≤ $\frac{3}{2}$ .

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 1.

b) $\sqrt{-{x}^{2}+7x-6}+x=4$ (2)$\Leftrightarrow \sqrt{-{x}^{2}+7x-6}=4-x$

Ta giải bất phương trình: 4 – x ≥ 0 ⇔ x ≤ 4.

Bình phương hai vế của (2) ta được: – x$^{2}$ + 7x – 6 = (4 – x)$^{2}$

⇔ – x$^{2}$ + 7x – 6 = 16 – 8x + x$^{2}$

⇔ 2x$^{2}$ – 15x + 22 = 0$\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=2 \\ x=\frac{11}{2}\end{matrix}$

Trong hai giá trị trên có x = 2 thỏa mãn x ≤ 4.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2.