Bài tập Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai có đáp án

Để tìm được giá trị của x, ta cần giải phương trình $\sqrt{{(8-40x)}^{2}+{(7-40x)}^{2}}=5$ (1).

Điều kiện xác định: (8 – 40x)$^{2}$ + (7 – 40x)$^{2}$ ≥ 0.

Sau bài học này, ta sẽ giải được phương trình trên như sau:

Bình phương hai vế ta có: (8 – 40x)$^{2}$ + (7 – 40x)$^{2}$ = 25

⇔ 1 600x$^{2}$ – 640x + 64 + 1 600x$^{2}$ – 560x + 49 = 25

⇔ 3 200x$^{2}$ – 1 200x + 88 = 0

⇔ 400x$^{2}$ – 150x + 11 = 0

Phương trình trên có hai nghiệm là x$_{1}$ = 0,1, x$_{2}$ = 0,275.

Thử lại với điều kiện, ta thấy x = 0,1 thỏa mãn.

Vậy x = 0,1.

Bình phương hai vế của (1) ta được: 3x$^{2}$ – 4x + 1 = x$^{2}$ + x – 1 (2).

Ta có: (2) ⇔ 2x$^{2}$ – 5x + 2 = 0$\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=2 \\ x=\frac{1}{2}\end{matrix}$ .

Thay lần lượt hai giá trị trên vào (1) ta thấy chỉ có x = 2 thỏa mãn.

Vậy phương trình (1) có nghiệm là x = 2.

Ta có: $\sqrt{3x-5}=x-1$ (1).

Trước hết ta giải bất phương trình x – 1 ≥ 0 (2).

Ta có: (2) ⇔ x ≥ 1.

Bình phương hai vế của (1) ta được 3x – 5 = (x – 1)$^{2}$ (3).

Ta có: (3) ⇔ 3x – 5 = x$^{2}$ – 2x + 1 ⇔ x$^{2}$ – 5x + 6 = 0 $\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=2 \\ x=3\end{matrix}$ .

Do đó phương trình (3) có hai nghiệm là x = 2 và x = 3.

Hai giá trị trên đều thỏa mãn x ≥ 1.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 2 và x = 3.

a) $\sqrt{2{x}^{2}-3x-1}=\sqrt{2x+3}$ (1)

Bình phương hai vế của (1) ta được: 2x$^{2}$ – 3x – 1 = 2x + 3

⇔ 2x$^{2}$ – 3x – 1 – 2x – 3 = 0

⇔ 2x$^{2}$ – 5x – 4 = 0$\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=\frac{5+\sqrt{57}}{4} \\ x=\frac{5-\sqrt{57}}{4}\end{matrix}$

Thử lại ta thấy cả hai giá trị trên đều thỏa mãn (1).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=\frac{5+\sqrt{57}}{4}$ và$x=\frac{5-\sqrt{57}}{4}$ .

b) $\sqrt{4{x}^{2}-6x-6}=\sqrt{{x}^{2}-6}$ (2)

Bình phương hai vế của (2) ta được: 4x$^{2}$ – 6x – 6 = x$^{2}$ – 6

⇔ 4x$^{2}$ – x$^{2}$ – 6x – 6 + 6 = 0

⇔ 3x$^{2}$ – 6x = 0

⇔ 3x(x – 2) = 0$\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=0 \\ x-2=0\end{matrix}\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=0 \\ x=2\end{matrix}$

Thử lại ta thấy hai giá trị x = 0 và x = 2 đều không thỏa mãn (2).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

c) $\sqrt{x+9}=2x-3$(3)

Trước hết ta giải bất phương trình 2x – 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ $\frac{3}{2}$ .

Bình phương cả hai vế của (3) ta được: x + 9 = (2x – 3)$^{2}$

⇔ x + 9 = 4x$^{2}$ – 12x + 9

⇔ 4x$^{2}$ – 12x + 9 – x – 9 = 0

⇔ 4x$^{2}$ – 13x = 0

⇔ x(4x – 13) = 0$\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=0 \\ 4x-13=0\end{matrix}\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=0 \\ x=\frac{13}{4}\end{matrix}$

Trong hai giá trị trên có giá trị x =$\frac{13}{4}$ thỏa mãn x ≥$\frac{3}{2}$ .

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x =$\frac{13}{4}$ .

d) $\sqrt{-{x}^{2}+4x-2}=2-x$ (4)

Trước hết ta giải bất phương trình: 2 – x ≥ 0 ⇔ x ≤ 2.

Bình phương hai vế của (4) ta được: – x$^{2}$ + 4x – 2 = (2 – x)$^{2}$

⇔ – x$^{2}$ + 4x – 2 = 4 – 4x + x$^{2}$

⇔ 2x$^{2}$ – 8x + 6 = 0

⇔ x$^{2}$ – 4x + 3 = 0$\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=3 \\ x=1\end{matrix}$

Trong hai giá trị trên có giá trị x = 1 thỏa mãn x ≤ 2.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 1.

a) $\sqrt{2-x}+2x=3$

$\Leftrightarrow \sqrt{2-x}=3-2x$ (1)

Ta giải bất phương trình: 3 – 2x ≥ 0 ⇔ x ≤ $\frac{3}{2}$ .

Bình phương hai vế của (1) ta được: 2 – x = (3 – 2x)$^{2}$

⇔ 2 – x = 9 – 12x + 4x$^{2}$

⇔ 4x$^{2}$ – 11x + 7 = 0$\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=1 \\ x=\frac{7}{4}\end{matrix}$

Trong hai giá trị trên ta thấy x = 1 thỏa mãn x ≤ $\frac{3}{2}$ .

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 1.

b) $\sqrt{-{x}^{2}+7x-6}+x=4$ (2)$\Leftrightarrow \sqrt{-{x}^{2}+7x-6}=4-x$

Ta giải bất phương trình: 4 – x ≥ 0 ⇔ x ≤ 4.

Bình phương hai vế của (2) ta được: – x$^{2}$ + 7x – 6 = (4 – x)$^{2}$

⇔ – x$^{2}$ + 7x – 6 = 16 – 8x + x$^{2}$

⇔ 2x$^{2}$ – 15x + 22 = 0$\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=2 \\ x=\frac{11}{2}\end{matrix}$

Trong hai giá trị trên có x = 2 thỏa mãn x ≤ 4.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2.

Gọi chiều cao của bức tường là x (mét) (x > 0).

Vì chiếc thang cao hơn tường 1 m nên chiều cao của chiếc thang là x + 1 (m).

Khi đó quan sát Hình 33a ta thấy, AC = x, AB = x + 1, tam giác ABC vuông tại C, áp dụng định lý Pythagore ta có: AB$^{2}$ = AC$^{2}$ + BC$^{2}$

Suy ra: BC$^{2}$ = AB$^{2}$ – AC$^{2}$ = (x + 1)$^{2}$ – x$^{2}$ = 2x + 1 $\Rightarrow BC=\sqrt{2x+1}$ (m).

Quan sát Hình 33b, ta thấy chiều cao bức tường không thay đổi nên DG = x (m).

Khi bác Nam dịch chuyển chân thang vào gần tường thêm 0,5 m thì GE = BC – 0,5.

Suy ra $GE=\sqrt{2x+1}-0{,}5$ (m)

Lại có tam giác DGE vuông tại G nên ta có:$\tan \widehat{DEG}=\frac{DG}{GE}$

Mà $\widehat{DEG}=60^{\circ}$ , DG = x, $GE=\sqrt{2x+1}-0{,}5$

Do đó: $\frac{x}{\sqrt{2x+1}-0{,}5}=\tan 60^{\circ}=\sqrt{3}$

Suy ra: $x=\sqrt{3}(\sqrt{2x+1}-0{,}5)$

$\Leftrightarrow x=\sqrt{3(2x+1)}-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{3(2x+1)}=x+\frac{\sqrt{3}}{2}$(1)

Bình phương hai vế của (1) ta được: $3(2x+1)={(x+\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$

$\Leftrightarrow 6x+3={x}^{2}+\sqrt{3}x+\frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow {x}^{2}+(\sqrt{3}-6)x-\frac{9}{4}=0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=\frac{6-\sqrt{3}+\sqrt{48-12\sqrt{3}}}{2}\approx 4{,}7 \\ x=\frac{6-\sqrt{3}-\sqrt{48-12\sqrt{3}}}{2}\approx -0{,}5\end{matrix}$

Do x > 0 nên x ≈ 4,7 là giá trị thỏa mãn.

Vậy bức tường cao khoảng 4,7 m.

Đổi: 300 m = 0,3 km; 800 m = 0,8 km; 7,2 phút = 0,12 giờ.

Gọi độ dài khoảng cách từ vị trí C đến D là x (km, x > 0).

Khi đó ta có: AC = 0,3 km; CD = x km; BC = 0,8 km; DB = BC – CD = 0,8 – x (km).

Lại có tam giác ACD vuông tại C, áp dụng định lý Pythagore ta có:

AD$^{2}$ = AC$^{2}$ + CD$^{2}$ = (0,3)$^{2}$ + x$^{2}$ = 0,09 + x$^{2}$

$\Rightarrow AD=\sqrt{0{,}09+{x}^{2}}$ (km)

Do đó khoảng cách từ vị trí A đến vị trí D là $\sqrt{0{,}09+{x}^{2}}$ km, mà vận tốc chèo thuyền là 6 km/h và vận tốc dòng nước không đáng kể nên thời gian người đó chèo thuyền từ vị trí A đến vị trí D là ${t}_{1}=\frac{\sqrt{0{,}09+{x}^{2}}}{6}$ (giờ).

Quãng đường từ vị trí D đến vị trí B là 0,8 – x (km) và vận tốc chạy bộ là 10 km/h nên thời gian người đó chạy bộ từ vị trí D đến vị trí B là ${t}_{2}=\frac{0{,}8-x}{10}$ (giờ).

Tổng thời gian người đó chèo thuyền là t$_{1}$ + t$_{2}$ = t = 0,12 (giờ).

Khi đó ta có phương trình: $\frac{\sqrt{0{,}09+{x}^{2}}}{6}+\frac{0{,}8-x}{10}=0{,}12$

$\Leftrightarrow \frac{5\sqrt{0{,}09+{x}^{2}}}{30}+\frac{3(0{,}8-x)}{30}=0{,}12$

$\Leftrightarrow 5\sqrt{0{,}09+{x}^{2}}+2{,}4-3x=3{,}6$

$\Leftrightarrow 5\sqrt{0{,}09+{x}^{2}}=1{,}2+3x$ (1)

Bình phương cả hai vế của (1) ta được: 25.(0,09 + x$^{2}$) = (1,2 + 3x)$^{2}$

⇔ 2,25 + 25x$^{2}$ = 1,44 + 7,2x + 9x$^{2}$

⇔ 16x$^{2}$ – 7,2x + 0,81 = 0

⇔ x = 0,225 (thỏa mãn điều kiện x > 0)

Suy ra x = 0,225 km = 225 m.

Vậy khoảng cách từ vị trí C đến D là 225 m.

Đổi 148 phút = $\frac{37}{15}$ giờ.

Gọi khoảng cách từ vị trí B đến M là x (km, x > 0).

Khi đó ta có: AB = 4 km, BM = x km, BC = 7 km, MC = BC – BM = 7 – x (km).

Tam giác ABM vuông tại B, áp dụng định lý Pythagore ta có:

AM$^{2}$ = AB$^{2}$ + BM$^{2}$ = 4$^{2}$ + x$^{2}$ = 16 + x$^{2}$

$^{\Rightarrow AM=\sqrt{16+{x}^{2}}}$

Do đó khoảng cách từ vị trí A đến M là$\sqrt{16+{x}^{2}}$ km và vận tốc chèo thuyền là 3 km/h nên thời gian chèo thuyền từ A đến M là ${t}_{1}=\frac{\sqrt{16+{x}^{2}}}{3}$ (giờ).

Khoảng cách từ M đến C là 7 – x (km) và người đó đi bộ với vận tốc 5 km/h nên thời gian đi bộ từ M đến C là ${t}_{2}=\frac{7-x}{5}$ (giờ).

Thời gian người đó đi từ A đến C chính bằng tổng thời gian người đó đi từ A đến M và từ M đến C nên ta có t$_{1}$ + t$_{2}$ = t = $\frac{37}{15}$ (giờ).

Khi đó ta có phương trình: $\frac{\sqrt{16+{x}^{2}}}{3}+\frac{7-x}{5}=\frac{37}{15}$$\Leftrightarrow 5\sqrt{16+{x}^{2}}+3.(7-x)=37$

$\Leftrightarrow 5\sqrt{16+{x}^{2}}=16+3x$ (1)

Bình phương cả hai vế của (1) ta được: 25.(16 + x$^{2}$) = (16 + 3x)$^{2}$

⇔ 400 + 25x$^{2}$ = 256 + 96x + 9x$^{2}$

⇔ 16x$^{2}$ – 96x + 144 = 0

⇔ x = 3 (thỏa mãn điều kiện x > 0)

Vậy khoảng cách từ vị trí B đến vị trí M là 3 km.