Bài tập Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ có đáp án

Sau bài học này ta sẽ trả lời được:

Với góc α cho trước, 0$^{o}$< α < 180$^{o}$.

Trên nửa đường tròn đơn vị, vẽ điểm M(x$_{0}$; y$_{0}$) sao cho $\widehat{xOM}=α$ .

Khi đó: sinα = y$_{0}$; cosα = x$_{0}$;

tanα = $\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$(x$_{0}$ ≠ 0); cotα = $\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$(y$_{0}$≠ 0).

a)

Gọi điểm A có tọa độ A(1; 0).

• α = 90$^{o}$ hay $\widehat{AOM}={90}^{o}$ . Khi đó, điểm M có tọa độ M(0; 1).

• α < 90$^{o}$ hay $\widehat{AOM}<{90}^{o}$ .

Do đó, điểm M(x$_{0}$; y$_{0}$) nằm trên cung tròn (không tính điểm C) thỏa mãn 0 < x$_{0}$ ≤ 1, 0 ≤ y$_{0}$ < 1.

• α > 90$^{o}$ hay .

Do đó, điểm M(x$_{0}$; y$_{0}$) nằm trên cung tròn (không tính điểm C) thỏa mãn −1 ≤ x$_{0}$ < 0, 0 ≤ y$_{0}$ < 1.

b) Khi 0$^{o}$ < α < 90$^{o}$

Kẻ MH ^ Ox, MK ^ Oy (H Î Ox, H Î Oy). Khi đó $\widehat{MOH}=α$ .

Gọi điểm M có tọa độ M(x$_{0}$; y$_{0}$).

Xét tứ giác MKOH có:

(Ox ^ Oy)

(MH ^ Ox)

(MK ^ Oy)

Do đó tứ giác MKOH là hình chữ nhật.

Suy ra OH = |x$_{0}$| = x$_{0}$; MH = OK = |y$_{0}$| = y$_{0}$.

Ta có OM = 1 (bán kính đường tròn đơn vị).

Xét ∆MHO vuông tại H, ta có:

$\sin α=\frac{MH}{OM}=\frac{{y}_{0}}{1}={y}_{0}$.

Hay sin α = y$_{0}$.

Ta lại có: $\cos α=\frac{OH}{OM}=\frac{{x}_{0}}{1}={x}_{0}$ .

Hay cos α = x$_{0}$.

Vậy cos α là hoành độ của điểm M và sin α là tung độ của điểm M.

Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}={120}^{0}$. Gọi H, K tương ứng là hình chiếu vuông của M lên các trục Ox, Oy.

Điểm M nằm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho .

Hai điểm N, P tương ứng là hình chiếu vuông của M lên hai trục Ox, Oy.

Ta có: OM = 1 (bán kính đường tròn đơn vị).

Ta có $\widehat{xOM}+\widehat{NOM}={180}^{o}$ .

$\widehat{NOM}={180}^{o}-\widehat{xOM}={180}^{o}-{120}^{o}={60}^{o}$

Xét tam giác vuông MON, có:

+$\sin \widehat{MON}=\frac{MN}{OM}=\frac{MN}{1}=MN$

$\Rightarrow MN=OP=\sin {60}^{o}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

+$\cos \widehat{MON}=\frac{ON}{OM}=\frac{ON}{1}=ON$

$\Rightarrow ON=\cos {60}^{o}=\frac{1}{2}$.

Ta có điểm M nằm bên trái trục Oy (vì là góc tù).

Suy ra điểm M có tọa độ là M$(-\frac{1}{2};\ \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

Suy ra

+$\tan {120}^{o}=\frac{\sin {120}^{o}}{\cos {120}^{o}}=\frac{\sqrt{3}}{2}:(-\frac{1}{2})\ =\frac{\sqrt{3}}{2}\ .\ (-2)=-\sqrt{3}\ \cot {120}^{o}=\frac{\cos {120}^{o}}{\sin {120}^{o}}\ =(-\frac{1}{2}).\frac{2}{\sqrt{3}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$

Hai điểm M và M’ đối xứng với nhau qua trục Oy.

Tọa độ của hai điểm M và M’ là: M(x$_{0}$; y$_{0}$), M’(–x$_{0}$; y$_{0}$).

Ta có: $\widehat{xOM}=α,\ \widehat{xOM'}={180}^{o}-α$ .

Khi đó:

∙ sin α = y$_{0}$, cos α = x$_{0}$.

∙ sin (180$^{o}$ – α) = y$_{0}$, cos (180$^{o}$ – α) = –x$_{0}$ hay x$_{0}$ = – cos (180$^{o}$ – α).

Do đó: sin α = sin (180$^{o}$ – α) (= y$_{0}$), cos α = – cos (180$^{o}$ – α) (= x$_{0}$).

Vậy sin α = sin (180$^{o}$ – α), cos α = – cos (180$^{o}$ – α).

Ta có:$α=\widehat{AOM};\ {90}^{o}-α=\widehat{AON}$

Dễ thấy: $\widehat{AON}=\ {90}^{o}-α={90}^{o}-\widehat{NOB\Rightarrow α=\widehat{NOB}}$ .

Xét ∆NOQ và ∆MOP có:

$\widehat{MPO}=\widehat{NQO}={90}^{o}$

OM = ON = 1 (bán kính đường tròn đơn vị).

$\widehat{POM}=\widehat{QON}\ (\widehat{AOM}=\widehat{NOB}=α)$.

Do đó ΔNOQ = ΔMOP (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra OP = OQ (hai cạnh tương ứng)

Ta có: OP = cos α, OQ = sin (90$^{o}$ – α).

Ta có: OP = $\text{cos}α$, OQ = $\text{sin}({90}^{0}-α)$

$\Rightarrow \text{sin}({90}^{0}-α)=cosα$.

Do đó: cos α = sin (90$^{o}$ − α).

Giả sử chiếc đu quay quay theo chiều kim đồng hồ.

Gọi M là vị trí thấp nhất của cabin, M’ là vị trí của cabin sau 20 phút và các điểm A, A’, B, H (như hình vẽ).

Vì đi cả vòng quay mất 30 phút nên sau 20 phút, cabin sẽ đi quãng đường bằng chu vi đường tròn.

Sau 15 phút, cabin di chuyển từ điểm M đến điểm B, đi được chu vi đường tròn.

Trong 5 phút tiếp theo, cabin đi chuyển từ điểm B đến điểm M’ tương ứng chu vi đường tròn hay cung tròn .

Do đó: $\widehat{BOM'}=\frac{1}{3}\ .\ {180}^{o}={60}^{o}$

$\Rightarrow \widehat{AOM'}={90}^{o}-{60}^{o}={30}^{o}$

Ta có $M'H=\sin {30}^{o}\ .\ OM'=\frac{1}{2}\ .\ 75=37{,}5$ (m).

Do đó, độ cao của người đó là:

37,5 + 90 = 127,5 (m).

Vậy sau 20 phút quay người đó ở độ cao 127,5 m.

a) Đặt A = (2sin 30$^{o}$ + cos 135$^{o}$ – 3tan 150$^{o}$) . (cos 180$^{o}$ – cot 60$^{o}$).

Ta có: cos 135$^{o}$ = – cos 45$^{o}$; cos 180$^{o}$ = – cos 0$^{o}$; tan 150$^{o}$ = – tan30$^{o}$; cot60° = tan 30°.

Þ A = (2sin30$^{o}$ – cos 45$^{o}$ + 3tan 30$^{o}$) . (– cos 0$^{o}$ – tan 30$^{o}$).

Sử dụng bảng lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

$\sin {30}^{o}=\frac{1}{2};\tan {30}^{o}=\frac{\sqrt{3}}{3};\cos {45}^{o}=\frac{\sqrt{2}}{2};\cos 0o=1.$

Do đó

$A=(2\ .\ \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}+3\ .\ \frac{\sqrt{3}}{3})\ .\ (-1-\frac{\sqrt{3}}{3})\ =-(1-\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{3})\ .\ (1+\frac{\sqrt{3}}{3})\ =-\frac{2-\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{2}\ .\ \frac{3+\sqrt{3}}{3}\ =-\frac{(2-\sqrt{2}+2\sqrt{3})\ .\ (3+\sqrt{3})}{6}\ =-\frac{6+2\sqrt{3}-3\sqrt{2}-\sqrt{6}+6\sqrt{3}+6}{6}\ =-\frac{12+8\sqrt{3}-3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{6}\$

b) Đặt B = sin$^{2}$90$^{o}$ + cos$^{2}$120$^{o}$ + cos$^{2}$0$^{o}$ – tan$^{2}$60$^{o}$ + cot$^{2}$135$^{o}$.

Ta có: cos 120$^{o}$ = – cos 60$^{o}$; cot 135$^{o}$ = – cot 45$^{o}$

Þ cos$^{2}$120$^{o}$ = cos$^{2}$60$^{o}$; cot$^{2}$135$^{o}$ = cot$^{2}$45$^{o}$

Khi đó B = sin$^{2}$90$^{o}$ + cos$^{2}$60$^{o}$ + cos$^{2}$0$^{o}$ – tan$^{2}$60$^{o}$ + cot$^{2}$45$^{o}$.

Sử dụng bảng lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

cos 0$^{o}$ = 1; cot 45$^{o}$ = 1; $\cos {60}^{o}=\frac{1}{2}$ ; $\tan {60}^{o}=\sqrt{3}$ ; sin 90$^{o}$ = 1.

Do đó

$B={1}^{2}+{(\frac{1}{2})}^{2}+{1}^{2}-{(\sqrt{3})}^{2}+{1}^{2}\ =1+\frac{1}{4}+1-3+1$

c) Đặt C = cos 60$^{o}$. sin 30$^{o}$ + cos$^{2}$30$^{o}$

Sử dụng bảng lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

$\sin {30}^{o}=\frac{1}{2};\cos {30}^{o}=\frac{\sqrt{3}}{2};\cos {60}^{o}=\frac{1}{2}$

Do đó

$C=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}+{(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}\ =\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\frac{4}{4}=1$

a) sin100$^{0}$ + sin80$^{0}$ + cos16$^{0}$ + cos 164$^{0}$

= sin100$^{0}$ + sin100$^{0}$ + cos164$^{0}$ + cos164$^{0}$

= 2sin100$^{0}$ + 2cos164$^{0}$.

b)

Với 0$^{o}$ < α < 90$^{o}$, ta có:

sin (180$^{o}$ – α) = sin α; cos (180$^{o}$ – α) = – cos α;

tan (180$^{o}$ – α) = – tan α; cot (180$^{o}$ – α) = – cot α.

Khi đó,

2sin (180$^{o}$ – α) . cot α – cos (180$^{o}$ – α) . tan α . cot (180$^{o}$ – α)

= 2sin α . cot α – (– cos α) . tan α . (– cot α)

= 2sin α . cot α – cos α . tan α . cot α

= 2sin α . $\frac{\cos α}{\sin α}$ – cos α . $\frac{\sin α}{\cos α}\ .\ \frac{\cos α}{\sin α}$

= 2cos α – cos α = cos α.

a)

Lấy điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho $\widehat{xOM}=α$. Từ M kẻ MH $\perp$ Ox và MK $\perp$ Oy. Khi đó:

$\cos α=OH,\sin α=OK$

Xét tam giác OHK vuông tại O, ta có:

OH$^{2}$ + OK$^{2}$ = HK$^{2}$ (Py – ta – go)

Mà HK = OM = 1

⇒ OH$^{2}$ + OK$^{2}$ = 1

Hay ${\cos }^{2}α+{\sin }^{2}α=1$ (đpcm).

b) Ta có:

$1+{\tan }^{2}α=1+{(\frac{\sin α}{\cos α})}^{2}=1+\frac{{\sin }^{2}α}{{\text{cos}}^{2}α}=\frac{{\text{cos}}^{2}α+{\sin }^{2}α}{{\text{cos}}^{2}α}=\frac{1}{{\text{cos}}^{2}α}(α\ne {90}^{0});$

c) Ta có:

$1+{\cot }^{2}α=1+{(\frac{cosα}{\sin α})}^{2}=1+\frac{co{s}^{2}α}{{\text{sin}}^{2}α}=\frac{{\text{cos}}^{2}α+{\sin }^{2}α}{{\text{sin}}^{2}α}=\frac{1}{{\text{sin}}^{2}α}({0}^{0}<α<{180}^{0});$

Ta có: $1+{\tan }^{2}α=\frac{1}{{\cos }^{2}α}$ (α ≠ 90$^{o}$)

$\Rightarrow \frac{1}{{\cos }^{2}α}=1+{3}^{2}=10$

$\Rightarrow {\cos }^{2}α=\frac{1}{10}\Leftrightarrow \cos α=\pm \frac{\sqrt{10}}{10}$

Vì 0$^{o}$ < α < 180$^{o}$ nên sin α > 0.

Mà tan α = 3 > 0 Þ cos α > 0 Þ $\cos α=\frac{\sqrt{10}}{10}$ .

Lại có: sin α = cos α . tan α = $3\ .\ \frac{\sqrt{10}}{10}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$ .

Do đó $P=\frac{2\sin α-3\cos α}{3\sin α+2\cos α}=\frac{2\ .\ \frac{3\sqrt{10}}{10}-3\ .\ \frac{\sqrt{10}}{10}}{3\ .\ \frac{3\sqrt{10}}{10}+2\ .\ \frac{\sqrt{10}}{10}}$

$=\frac{\frac{\sqrt{10}}{10}(2\ .\ 3-3)\ }{\frac{\sqrt{10}}{10}(3\ .\ 3+2)}=\frac{3}{11}$

Vậy với α (0$^{o}$ < α < 180$^{o}$) thỏa mãn tan α = 3 thì .