Bài tập Giá trị lượng giá của một góc từ 0° đến 180°. Định lí côsin và định lí sin trong tam giác có đáp án

Cột cờ Lũng Cú là cột cờ Quốc gia, nằm ở đỉnh Lũng Cú hay còn gọi là đỉnh núi Rồng (Long Sơn) thuộc xã Lũng Cú, huyện Đồng Văn, tỉnh Hà Giang, cách cực Bắc Việt Nam khoảng 3,3 km. Thời nhà Lý, cột cờ Lũng Cú chỉ được làm bằng cây sa mộc. Ngày nay, cột cờ có độ cao 33,15 m bao gồm bệ cột cao 20,25 m và cán cờ cao 12,9 m. Chân bệ cột cờ có 8 mặt phù điêu bằng đá xanh mô phỏng hoa văn mặt của trống đồng Đông Sơn và những họa tiết minh họa các giai đoạn qua từng thời kì lịch sử của đất nước, cũng như con người, tập quán của các dân tộc ở Hà Giang. Trên đỉnh cột là Quốc kì Việt Nam có diện tích là 54 m$^{2}$, biểu tượng cho 54 dân tộc của đất nước ta.

Từ chân bệ cột cờ và đỉnh bệ cột cờ bạn Nam đo được góc nâng (so với phương nằm ngang) tới một vị trí dưới chân núi lần lượt là 45° và 50° (Hình 1).

Chiều cao h của đỉnh Lũng Cú so với chân núi là bao nhiêu mét?

Cho tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{ABC}=α$ (Hình 2).

a) Nhắc lại định nghĩa sin α, cos α, tan α, cot α.

b) Biểu diễn tỉ số lượng giác của góc 90° – α theo tỉ số lượng giác của góc α.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O nằm phía trên trục hoành bán kính R = 1 được gọi là nửa đường tròn đơn vị (Hình 3). Với mỗi góc nhọn α ta có thể xác định một điểm M duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}=α$. Giả sử điểm M có tọa độ (x$_{0}$; y$_{0}$). Hãy tính sin α, cos α, tan α, cot α theo x$_{0}$, y$_{0}$.

Trên nửa đường tròn đơn vị ta có dây cung MN song song với trục Ox và $\widehat{xOM}=α$ (Hình 6).

a) Chứng minh $\widehat{xON}=180^{\circ}-α.$

b) Biểu diễn giá trị lượng giác của góc 180° – α theo giá trị lượng giác của góc α.

Ta có thể tìm giá trị lượng giác (đúng hoặc gần đúng) của một góc (từ 0° đến 180°) bằng cách sử dụng các phím: $\boxed{\sin },\ \boxed{cos},\ \boxed{\tan }$ trên máy tính cầm tay.

Tính sin75°, cos175°, tan64° (làm tròn đến hàng phần chục nghìn).

Ta có thể tìm số đo (đúng hoặc gần đúng) của một góc từ 0° đến 180° khi biết giá trị lượng giác của góc đó bằng cách sử dụng các phím: $\boxed{SHIFT}$ cùng với $\boxed{\sin };\ \boxed{cos};\ \boxed{\tan }$ trên máy tính cầm tay.

Tìm số đo góc α (từ 0° đến 180°) và làm tròn đến độ, biết:

a) cos α = – 0,97;

b) tan α = 0,68;

c) sin α = 0,45.

Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, $\widehat{BAC}=α$. Kẻ đường cao BH.

Cho α là góc nhọn, chứng minh:

a) HC = |AC – AH| và BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ – 2AH . AC;

b) a$^{2}$ = b$^{2}$ + c$^{2}$ – 2bc cos α.

Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, $\widehat{BAC}=α$. Kẻ đường cao BH.

Cho α là góc tù. Chứng minh:

a) HC = AC + AH và BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ + 2 AH . AC;

b) a$^{2}$ = b$^{2}$ + c$^{2}$ – 2bc cos α.

Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, $\widehat{BAC}=α$. Kẻ đường cao BH.

Cho α là góc vuông. Chứng minh a$^{2}$ = b$^{2}$ + c$^{2}$ – 2bc cos α.

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R và có BC = a, $\widehat{BAC}=α$. Kẻ đường kính BD của đường tròn (O). Cho α là góc nhọn. Chứng minh:

a) $\widehat{BDC}=α$;

b) $\frac{a}{\sin α}=2R$.

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R và có BC = a, $\widehat{BAC}=α$. Kẻ đường kính BD của đường tròn (O). Cho α là tù. Chứng minh:

a) $\widehat{BDC}=180^{\circ}-α$;

b) $\frac{a}{\sin α}=2R.$

Tính giá trị đúng của các biểu thức sau (không dùng máy tính cầm tay):

a) A = cos 0° + cos 40° + cos 120° + cos 140°;

b) B = sin 5° + sin 150° – sin 175° + sin 180°;

c) C = cos 15° + cos 35° – sin 75° – sin 55°;

d) D = tan 25° . tan 45° . tan 115°;

e) E = cot 10° . cot 30° . cot 100°.

Cho tam giác ABC. Chứng minh:

a) $\sin \frac{A}{2}=cos\frac{B+C}{2}$;

b) $\tan \frac{B+C}{2}=\cot \frac{A}{2}$.

Để đo khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B ở hai bên bờ một cái ao, bạn An đi dọc bờ ao từ vị trí A đến vị trí C và tiến hành đo các góc BAC, BCA. Biết AC = 25 m, $\widehat{BAC}=59{,}95^{\circ},\ \widehat{BAC}=82{,}15^{\circ}$ (Hình 16). Hỏi khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Bạn A đứng ở đỉnh của tòa nhà và quan sát chiếc diều, nhận thấy góc nâng (góc nghiêng giữa phương từ mắt của bạn A tới chiếc diều và phương nằm ngang) là α = 35°; khoảng cách từ đỉnh tòa nhà tới mắt bạn A là 1,5 m. Cùng lúc đó ở dưới chân tòa nhà, bạn B cũng quan sát chiếc diều và thấy góc nâng là β = 75°; khoảng cách từ mặt đất đến mắt bạn B cũng là 1,5 m. Biết chiều cao của tòa nhà là h = 20 m (Hình 17). Chiếc diều bay cao bao nhiêu mét so với mặt đất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?