Bài tập Giá trị lượng giá của một góc từ 0° đến 180°. Định lí côsin và định lí sin trong tam giác có đáp án

Ta có: Bx // CH $\Rightarrow \widehat{BCH}=\widehat{xBC}=50^{\circ}$ (hai góc so le trong)

Ay // CH $\Rightarrow \widehat{ACH}=\widehat{yAC}=45^{\circ}$ (hai góc so le trong)

Tam giác ACH vuông tại H có $\widehat{ACH}=45^{\circ}$ nên tam giác ACH vuông cân tại H

Suy ra CH = AH = h (m).

Ta có: BH = AB + AH = 20,25 + h

Tam giác BCH vuông tại H nên $\tan \widehat{BCH}=\frac{BH}{CH}$

Do đó ta có: $\frac{20{,}25+h}{h}=\tan 50^{\circ}\approx 1{,}2$

⇒ 20,25 + h = 1,2h

⇒ 0,2h = 20,25 ⇒ h = 101,25 m.

Vậy chiều cao h của đỉnh Lũng Cú so với chân núi là 101,25 m.

a) Tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{ABC}=α$. Khi đó ta có:

$\sin α=\frac{AC}{BC},\ \cos α=\frac{AB}{BC},\tan α=\frac{AC}{AB},\cot α=\frac{AB}{AC}$.

b) Áp dụng công thức tỉ số lượng giác của 2 góc phụ nhau, ta có:

sin(90° – α) = cos α;

cos(90° – α) = sin α;

tan(90° – α) = cot α;

cot(90° – α) = tan α.

Để tính sin α, cos α, tan α, cot α theo x$_{0}$, y$_{0}$, ta làm như sau:

Xét tam giác OMH vuông tại H, ta có:

$\sin α=\frac{MH}{OM}=\frac{{y}_{0}}{1}={y}_{0},\cos α=\frac{OH}{OM}=\frac{{x}_{0}}{1}={x}_{0},$

$\tan α=\frac{MH}{OH}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}},\cot α=\frac{OH}{MH}=\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$.

a) Do MN // Ox nên $\widehat{NMO}=\widehat{xOM}=α$ (hai góc so le trong).

Tam giác OMN có OM = ON (bán kính) nên tam giác OMN cân tại O.

Suy ra $\widehat{MON}=180^{\circ}-2\widehat{NMO}=180^{\circ}-2α$.

Ta lại có: $\widehat{xON}=\widehat{xOM}+\widehat{MON}=α+(180^{\circ}-2α)$$=180^{\circ}-α$

Vậy $\widehat{xON}=180^{\circ}-α.$

b) Do điểm M có tọa độ (x$_{0}$; y$_{0}$) thuộc nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}=α$ nên theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc có giá trị từ 0° đến 180° ta có:

sin α = y$_{0}$; cos α = x$_{0}$; $\tan α=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$; $\cot α=\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$ (1).

Do điểm N có tọa độ (– x$_{0}$; y$_{0}$) thuộc nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xON}=180^{\circ}-α$ nên theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc có giá trị từ 0° đến 180° ta có:

sin(180° – α) = y$_{0}$; cos(180° – α) = – x$_{0}$;$\tan (180^{\circ}-α)=\frac{{y}_{0}}{-{x}_{0}}=-\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$; $\cot (180^{\circ}-α)=\frac{-{x}_{0}}{{y}_{0}}=-\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$ (2).

Từ (1) và (2) ta có: sin(180° – α) = sin α;

cos(180° – α) = – cos α;

tan(180° – α) = – tan α;

cot(180° – α) = – cot α.

Để tính các giá trị lượng giác sin75°, cos175°, tan64°, sau khi đưa máy tính về chế độ “độ” ta làm như sau:

Vậy sin75° = 0,9659; cos175° = – 0,9962 , tan64° = 2,0503 (chú ý dấu phẩy thập phân trên máy tính cầm tay là dấu “.”).

Để tính gần đúng số đo góc α trong mỗi trường hợp trên, sau khi đưa máy tính về chế độ “độ”, ta làm như sau:

Ta có: Bx // CH $\Rightarrow \widehat{BCH}=\widehat{xBC}=50^{\circ}$ (hai góc so le trong)

Ay // CH $\Rightarrow \widehat{ACH}=\widehat{yAC}=45^{\circ}$ (hai góc so le trong)

Tam giác ACH vuông tại H có $\widehat{ACH}=45^{\circ}$ nên tam giác ACH vuông cân tại H

Suy ra CH = AH = h (m).

Ta có: BH = AB + AH = 20,25 + h

Tam giác BCH vuông tại H nên $\tan \widehat{BCH}=\frac{BH}{CH}$

Do đó ta có: $\frac{20{,}25+h}{h}=\tan 50^{\circ}\approx 1{,}2$

⇒ 20,25 + h = 1,2h

⇒ 0,2h = 20,25 ⇒ h = 101,25 m.

Vậy chiều cao h của đỉnh Lũng Cú so với chân núi là 101,25 m.

a) Nếu góc C nhọn thì H nằm giữa A và C.

Do đó: HC = AC – AH = |AC – AH|.

Nếu góc C tù thì C nằm giữa A và H.

Do đó: HC = AH – AC = |AC – AH|.

Nếu góc C vuông thì C trùng với H. Do đó: HC = 0 = |AC – AH|.

Trong mọi trường hợp, ta đều có HC = |AC – AH|.

Xét các tam giác vuông BHC và AHB, áp dụng định lí Pythagore, ta có:

BC$^{2}$ = BH$^{2}$ + HC$^{2}$ = BH$^{2}$ + (AC – AH)$^{2}$ = (BH$^{2}$ + AH$^{2}$) + AC$^{2}$ – 2AH . AC

= AB$^{2}$ + AC$^{2}$ – 2AH . AC.

b) Xét tam giác vuông AHB, ta có: AH = AB cosA = cosα.

Do đó BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ – 2 . AH . AC = b$^{2}$ + c$^{2}$ – 2bc cosα.

Vậy a$^{2}$ = b$^{2}$ + c$^{2}$ – 2bc cos α.

a) Do α là góc tù nên A nằm giữa H và C. Do đó: HC = AC + AH.

Xét các tam giác vuông BHC và AHB, áp dụng định lí Pythagore, ta có:

BC$^{2}$ = BH$^{2}$ + HC$^{2}$ = BH$^{2}$ + (AC + AH)$^{2}$

= (BH$^{2}$ + AH$^{2}$) + AC$^{2}$ + 2AH . AC

= AB$^{2}$ + AC$^{2}$ + 2AH . AC.

b) Xét tam giác AHB vuông tại H, ta có:

AH = AB cos(180° – α) = – c cos α.

Do đó BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ + 2AH . AC = b$^{2}$ + c$^{2}$ – 2bc cos α.

Vậy a$^{2}$ = b$^{2}$ + c$^{2}$ – 2bc cos α.

Do α = 90° ⇒ cos α = cos 90° = 0

⇒ 2bc cos α = 2 bc cos 90° = 0

Tam giác ABC vuông tại A (do α = 90°), áp dụng định lí Pythagore ta có:

BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ = c$^{2}$ + b$^{2}$ – 0 = b$^{2}$ + c$^{2}$ – 2bc cos α.

Vậy a$^{2}$ = b$^{2}$ + c$^{2}$ – 2bc cos α.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ – 2 AB . AC . cos A

$\Rightarrow cos\ A=\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2AB.AC}$.

Thay số vào ta được: $\cos A=\frac{{5}^{2}+{6}^{2}-{7}^{2}}{2.5.6}=\frac{1}{5}=0{,}2$.

Vậy cos A = 0,2.

Do α là góc nhọn ta vẽ được hình như sau:

a) Trong đường tròn (O) có góc BAC và góc BDC là các góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ BC.

Do đó: $\widehat{BDC}=\widehat{BAC}=α$.

Vậy $\widehat{BDC}=α$.

b) Xét tam giác BDC, ta có $\widehat{BDC}=α$.

Vì BD là đường kính của đường tròn (O) nên $\widehat{BCD}=90^{\circ}$.

Do đó: $\sin \widehat{BDC}=\frac{BC}{BD}$, tức là $\sin α=\frac{a}{2R}$ hay $\frac{a}{\sin α}=2R.$

Do α là góc tù ta vẽ được hình như sau:

a) Tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp đường tròn (O) nên $\widehat{BAC}+\widehat{BDC}=180^{\circ}$ (hai góc đối)

Suy ra $\widehat{BDC}=180^{\circ}-\widehat{BAC}=180^{\circ}-α.$

Vậy $\widehat{BDC}=180^{\circ}-α$.

b) Xét tam giác BCD, ta có $\widehat{BDC}=180^{\circ}-α$ và BD là đường kính của đường tròn (O) nên $\widehat{BCD}=90^{\circ}$.

Do đó: $\sin \widehat{BDC}=\frac{BC}{BD}$, tức là $\sin (180^{\circ}-α)=\frac{a}{2R}$.

Mà sin(180° – α) = sin α nên $\sin α=\frac{a}{2R}$ hay $\frac{a}{\sin α}=2R.$

Do tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có $\widehat{BAC}=α=90^{\circ}$ nên BC là đường kính của đường tròn (O), khi đó C ≡ D và BC = a = 2R nên $\frac{a}{2R}=1$.

Lại có: sin α = sin 90° = 1 .

Do đó: $\sin α=\frac{a}{2R}$ hay $\frac{a}{\sin α}=2R$.

Tam giác ABC có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{A}=180^{\circ}-(\widehat{B}+\widehat{C})=180^{\circ}-(65^{\circ}+85^{\circ})=30^{\circ}$.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:

$\frac{BC}{\sin A}=2R\Rightarrow BC=2R\sin A$

Do đó: BC = 2 . 6 . sin 30° = 6.

Vậy BC = 6.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ – 2AB.AC cosA = (3,5)$^{2}$ + (7,5)$^{2}$ – 2 . 3,5 . 7,5 . cos135° ≈ 31,4

Suy ra BC ≈ 5,6.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

$\frac{BC}{\sin A}=2R\Rightarrow R=\frac{5{,}6}{2\sin 135^{\circ}}\approx 4$

Vậy R = 4.

Tam giác ABC có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{A}=180^{\circ}-(\widehat{B}+\widehat{C})=180^{\circ}-(75^{\circ}+45^{\circ})=60^{\circ}$.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$

Do đó: $AB=\frac{BC\sin C}{\sin A}=\frac{50.\sin 45^{\circ}}{\sin 60^{\circ}}=\frac{50\sqrt{6}}{3}.$

Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

$\cos A=\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2AB.AC}\$$=\frac{{6}^{2}+{7}^{2}-{8}^{2}}{2.6.7}=\frac{1}{4}$> 0.

Do đó góc A nhọn nên ta có: sin$^{2}$A + cos$^{2}$A = 1.

Suy ra sin$^{2}$A = 1 – cos$^{2}$A = $1-{(\frac{1}{4})}^{2}=\frac{15}{16}$

Do đó: $\sin A=\frac{\sqrt{15}}{4}$.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

$\frac{BC}{\sin A}=2R\Rightarrow R=\frac{8}{2.\frac{\sqrt{15}}{4}}=\frac{16\sqrt{15}}{15}$.

Chú ý: Nếu không nhớ công thức sin$^{2}$A + cos$^{2}$A = 1 (đã học ở lớp 9), ta có thể tính góc A khi biết cosA để từ đó suy ra sinA.

a) A = cos 0° + cos 40° + cos 120° + cos 140°

= cos 0° + cos 40° + cos 120° + cos (180° – 40°)

= cos 0° + cos 40° + cos 120° – cos 40°

= cos 0° + cos 120°

= 1 + $(-\frac{1}{2})$ (giá trị lượng giác của góc đặc biệt)

= $\frac{1}{2}.$

b) B = sin 5° + sin 150° – sin 175° + sin 180°

= sin 5° + sin 150° – sin (180° – 5°) + sin 180°

= sin 5° + sin 150° – sin 5° + sin 180°

= sin 150° + sin 180°

= $\frac{1}{2}+0$ (giá trị lượng giác của các góc đặc biệt)

= $\frac{1}{2}.$.

c) C = cos 15° + cos 35° – sin 75° – sin 55°

= cos 15° + cos 35° – sin (90° – 15°) – sin (90° – 35°)

= cos 15° + cos 35° – cos 15° – cos 35° (giá trị lượng giác của hai góc phụ nhau)

= 0.

d) D = tan 25° . tan 45° . tan 115°

= tan (90° – 65°) . tan 45° . tan (180° – 65°)

= cot 65° . tan 45° . (– tan 65°)

= – (cot 65° . tan 65°) . tan 45°

= $-(\frac{cos65^{\circ}}{\sin 65^{\circ}}.\frac{\sin 65^{\circ}}{cos65^{\circ}}).\tan 45^{\circ}$

= (– 1) . 1 = – 1.

e) E = cot 10° . cot 30° . cot 100°

= cot (90° – 80°) . cot 30° . cot (180° – 80°)

= tan 80° . cot 30° . (– cot 80°)

= – (tan 80° . cot 80°) . cot 30°

= (– 1) . $\sqrt{3}$ = $-\sqrt{3}$.

Tam giác ABC có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra: $\frac{\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}}{2}=\frac{180^{\circ}}{2}=90^{\circ}$ hay $\frac{\widehat{A}}{2}+\frac{\widehat{B}+\widehat{C}}{2}=90^{\circ}\Rightarrow \frac{\widehat{B}+\widehat{C}}{2}=90^{\circ}-\frac{\widehat{A}}{2}$.

Áp dụng giá trị lượng giác của hai góc phụ nhau ta có:

$\sin \frac{A}{2}=cos(90^{\circ}-\frac{A}{2})=cos\frac{B+C}{2}$ (đpcm câu a)

$\cot \frac{A}{2}=\tan (90^{\circ}-\frac{A}{2})=\tan \frac{B+C}{2}$ (đpcm câu b).

Ba vị trí A, B, C tạo thành 3 đỉnh của một tam giác.

Tam giác ABC có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra: $\widehat{B}=180^{\circ}-(\widehat{A}+\widehat{C})=180^{\circ}-(59{,}95^{\circ}+82{,}15^{\circ})=37{,}9^{\circ}$.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}$

Do đó: $AB=\frac{AC\sin C}{\sin B}=\frac{25.\sin 82{,}15^{\circ}}{\sin 37{,}9^{\circ}}\approx 40$ (m).

Vậy khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B khoảng 40 m.

Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 8 hải lí một giờ nên sau 2,5 giờ thì tàu thứ nhất chạy được 8 . 2,5 = 20 (hải lí).

Tàu thứ hai chạy với tốc độ 12 hải lí một giờ nên sau 2,5 giờ thì tàu thứ hai chạy được 12 . 2,5 = 30 (hải lí).

Hai tàu cùng chạy từ bến A và đi thẳng về 2 vùng biển khác nhau theo hướng tạo với nhau góc 75°, giả sử tàu thứ nhất chạy về vùng biển B và tàu thứ hai chạy về vùng biển C, ta có hình vẽ mô phỏng như sau:

Khi đó khoảng cách giữa hai tàu sau 2,5 giờ chính là khoảng cách giữa B và C.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ – 2AB. AC. cos A = 20$^{2}$ + 30$^{2}$ – 2 . 20 . 30 . cos 75° ≈ 989,4

Suy ra: BC ≈ 31,5 (hải lí).

Vậy sau 2,5 giờ thì khoảng cách giữa hai tàu là 31,5 hải lí.

Ta đặt tên các điểm như trên hình vẽ dưới:

Ta có: AI là khoảng cách từ đỉnh của tòa nhà tới mắt bạn A nên AI = 1,5 m.

BE là khoảng cách từ mặt đất tới mắt của bạn B nên BE = 1,5 m.

Lại có: h = IB + BE ⇒ IB = h – BE = 20 – 1,5 = 18,5 (m).

Và AB = AI + IB = 1,5 + 18,5 = 20 (m).

Ta có: $\widehat{CAB}=α+90^{\circ}=35^{\circ}+90^{\circ}=125^{\circ}$; $\widehat{ABC}=90^{\circ}-β=90^{\circ}-75^{\circ}=15^{\circ}$

Tam giác ABC có $\widehat{ABC}+\widehat{CAB}+\widehat{ACB}=180^{\circ}$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

Suy ra $\widehat{ACB}=180^{\circ}-(\widehat{ABC}+\widehat{CAB})=180^{\circ}-(15^{\circ}+125^{\circ})=40^{\circ}$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}}=\frac{BC}{\sin \widehat{CAB}}$

Do đó: $BC=\frac{AB.\sin \widehat{CAB}}{\sin \widehat{ACB}}=\frac{20.\sin 125^{\circ}}{\sin 40^{\circ}}\approx 25{,}5$.

Tam giác CBH vuông tại H nên $\sin \widehat{CBH}=\frac{CH}{BC}$

⇒ CH = BC . sin β = 25,5 . sin 75° ≈ 24,6.

Lại có HK = BE = 1,5 m.

Do đó CK = CH + HK = 24,6 + 1,5 = 26,1 (m).

Vậy chiếc diều bay cao 26,1 m so với mặt đất.