Bài tập Dạng toán liên quan đến kiến thức hình học lớp 9 (có lời giải)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

Phương trình biểu diễn lần ca nô chạy trên sông trong 8 giờ là: $\frac{{81}}{x} + \frac{{105}}{y} = 8$.

b) Đúng.

Phương trình biểu diễn lần ca nô chạy trên sông trong 4 giờ là: $\frac{{54}}{x} + \frac{{42}}{y} = 4$.

c) Sai.

Hệ phương trình biểu diễn bài toán là: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{81}}{x} + \frac{{105}}{y} = 8\\\frac{{54}}{x} + \frac{{42}}{y} = 4\end{array} \right.$

Đặt $\frac{1}{x} = a;\,\,\frac{1}{y} = b$ được hệ $\left\{ \begin{array}{l}81a + 105b = 8\\54a + 42b = 4\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{{27}}\\b = \frac{1}{{21}}\end{array} \right.$, do đó $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{1}{{27}}\\\frac{1}{y} = \frac{1}{{21}}\end{array} \right.$ nên $\left\{ \begin{array}{l}x = 27\\y = 21\end{array} \right.$

Do đó, vận tốc xuôi dòng của ca nô là 27 km/h.

d) Đúng.

Vận tốc xuôi dòng hơn vận tốc ngược dòng là: 27 – 21 = 6 (km/h).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là:a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng

a) Sai.

Quãng đường ô tô đi được trong 2 giờ là $2x\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)$

Quãng đưỡng xe máy đi được trong 2 giờ là $2y\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)$.

Do đó, tổng quãng đường hai xe đi trong 2 giờ là $2x + 2y = 200\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)$ hay $x + y = 100$

b) Đúng.

Vì vận tốc ô tô tăng thêm $10\,\,{\rm{km/h}}$, vận tốc xe máy giảm đi $5\,\,{\rm{km/h}}$ thì vận tốc của ô tô bằng

2 lần vận tốc của xe máy nên ta có phương trình $x + 10 = 2\left( {y - 5} \right)$ hay $x - 2y = - 20$.

c) Sai.

Hệ phương trình biểu diễn bài toán là $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 100\\x - 2y = - 20\end{array} \right.$.

Giải hệ phương trình, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 100\\3y = 120\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}x = 60\\y = 40\end{array} \right.$ (thỏa mãn)

Vậy vận tốc của ô tô là 60 km/h, vận tốc của xe máy là 40 km/h.

d) Đúng.

Quãng đường ô tô đi được so với quãng đường xe máy đi được trong 2 giờ là: $\frac{{2 \cdot 60}}{{2 \cdot 40}} = \frac{3}{2} = 1{,}5$ (lần)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Theo đề, mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải là $15$ km nên $y - x = 15.$

Do đó, ý a) là đúng.

b) Sai.

Thời gian xe khách đã đi là: 1 giờ 40 phút + 40 phút = 2 giờ 20 phút = $\frac{7}{3}$ giờ.

Khi hai xe gặp nhau, xe khách đi được quãng đường là: $\frac{7}{3}y$ (km) và xe tải đi được quãng đường là $\frac{2}{3}x$ (km).

Theo bài, quãng đường Thành phố Hồ Chí Minh – Cần Thơ dài 170 km nên ta có phương trình: $\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}y = 170$.

Do đó, ý b) là sai.

c) Sai.

Từ đó, ta có hệ phương trình biểu diễn bài toán là: $\left\{ \begin{array}{l}y - x = 15\\\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}y = 170\end{array} \right.$.

Do đó, ý c) là sai.

d) Sai.

Thế $y = 15 + x$, thế vào phương trình $\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}y = 170$, ta được:

$\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}\left( {15 + x} \right) = 170$

$\frac{2}{3}x + 35 + \frac{7}{3}x = 170$

$3x = 135$

$x = 45$ (thỏa mãn).

Thay $x = 45$ vào phương trình (1), ta được: $y = 15 + 45 = 60$ (thỏa mãn).

Vậy vận tốc của xe tải là $45$km/h, vận tốc của xe khách là $60$ km/h.

Vậy ý d) là sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Sai. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai.

Vận tốc ca nô xuôi dòng là $x + y\,\,\,\left( {km/h} \right)$.

Do đó, thời gian ca nô xuôi dòng là $\frac{{78}}{{x + y}}\,\,\left( h \right)$.

b) Sai.

Vận tốc ca nô ngược dòng là $x - y\,\,\,\left( {km/h} \right)$.

Do đó, thời gian ca nô ngược dòng là: $\frac{{44}}{{x - y}}\,\,\left( h \right)$.

c) Sai.

Vì ca nô xuôi dòng 78 km và ngược dòng 44 km mất 5 giờ nên ta có phương trình:

$\frac{{78}}{{x + y}} + \frac{{44}}{{x - y}} = 5$ (1).

Nếu ca nô xuôi dòng 13 km và ngược dòng 11 km cùng với vận tốc dự định đó thì mất 1 giờ nên ta có phương trình $\frac{{13}}{{x + y}} + \frac{{11}}{{x - y}} = 1$ (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{78}}{{x + y}} + \frac{{44}}{{x - y}} = 5\\\frac{{13}}{{x + y}} + \frac{{11}}{{x - y}} = 1\end{array} \right.$.

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x + y}} = a\\\frac{1}{{x - y}} = b\end{array} \right.$ thì ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}78a + 44b = 5\\13a + 11b = 1\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}78a + 44b = 5\\52a + 44b = 4\end{array} \right.$

Từ theo vế hai phương trình được 26a = 1 nên a = $\frac{1}{{26}}$, suy ra b = $\frac{1}{{22}}$.

Do đó, $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 26\\x - y = 22\end{array} \right.$, suy ra $\left\{ \begin{array}{l}x = 24\\y = 2\end{array} \right.$.

d) Đúng.

Vậy vận tốc của ca nô là 24 km/h và vận tốc của dòng nước là 2 km/h.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Thời gian Nam đi học khi đạp xe với vận tốc hằng ngày là $\frac{{10}}{x}\,\,\left( {\rm{h}} \right)$.

b) Đúng.

Thời gian Nam đi học khi đạp xe với vận tốc hằng ngày là $\frac{{10}}{y}\,\,\left( {\rm{h}} \right)$.

c) Sai.

Vì nếu đạp xe với vận tốc lớn nhất thì thời gian đi học sẽ rút ngắn 10 phút $\left( { = \frac{1}{6}\,\,h} \right)$ so với đạp xe với vận tốc hằng ngày nên ta có phương trình $\frac{{10}}{x} - \frac{{10}}{y} = \frac{1}{6}$ (1).

Theo đề, tổng thời gian hôm nay Nam đi học là 35 phút $\left( { = \frac{7}{{12}}\,\,h} \right)$ nên ta có phương trình: $\frac{5}{x} + \frac{5}{y} = \frac{7}{{12}}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{10}}{x} - \frac{{10}}{y} = \frac{1}{6}\\\frac{5}{x} + \frac{5}{y} = \frac{7}{{12}}\end{array} \right.$.

Giải hệ, ta được $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{10}}{x} - \frac{{10}}{y} = \frac{1}{6}\\\frac{{10}}{x} + \frac{{10}}{y} = \frac{7}{6}\end{array} \right.$

Cộng hai phương trình theo vế được $\frac{{20}}{x} = \frac{8}{6}$ nên x = 15 (km/h)

Suy ra y = 20 (km/h).

d) Sai.

Vậy vận tốc hằng ngày của Nam là 15 km/h và vận tốc lớn nhất là 20 km/h.