Bài tập Dạng toán liên quan đến kiến thức hình học lớp 9 (có lời giải)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

Phương trình biểu diễn lần ca nô chạy trên sông trong 8 giờ là: $\frac{{81}}{x} + \frac{{105}}{y} = 8$.

b) Đúng.

Phương trình biểu diễn lần ca nô chạy trên sông trong 4 giờ là: $\frac{{54}}{x} + \frac{{42}}{y} = 4$.

c) Sai.

Hệ phương trình biểu diễn bài toán là: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{81}}{x} + \frac{{105}}{y} = 8\\\frac{{54}}{x} + \frac{{42}}{y} = 4\end{array} \right.$

Đặt $\frac{1}{x} = a;\,\,\frac{1}{y} = b$ được hệ $\left\{ \begin{array}{l}81a + 105b = 8\\54a + 42b = 4\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{{27}}\\b = \frac{1}{{21}}\end{array} \right.$, do đó $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{1}{{27}}\\\frac{1}{y} = \frac{1}{{21}}\end{array} \right.$ nên $\left\{ \begin{array}{l}x = 27\\y = 21\end{array} \right.$

Do đó, vận tốc xuôi dòng của ca nô là 27 km/h.

d) Đúng.

Vận tốc xuôi dòng hơn vận tốc ngược dòng là: 27 – 21 = 6 (km/h).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là:a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng

a) Sai.

Quãng đường ô tô đi được trong 2 giờ là $2x\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)$

Quãng đưỡng xe máy đi được trong 2 giờ là $2y\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)$.

Do đó, tổng quãng đường hai xe đi trong 2 giờ là $2x + 2y = 200\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)$ hay $x + y = 100$

b) Đúng.

Vì vận tốc ô tô tăng thêm $10\,\,{\rm{km/h}}$, vận tốc xe máy giảm đi $5\,\,{\rm{km/h}}$ thì vận tốc của ô tô bằng

2 lần vận tốc của xe máy nên ta có phương trình $x + 10 = 2\left( {y - 5} \right)$ hay $x - 2y = - 20$.

c) Sai.

Hệ phương trình biểu diễn bài toán là $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 100\\x - 2y = - 20\end{array} \right.$.

Giải hệ phương trình, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 100\\3y = 120\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}x = 60\\y = 40\end{array} \right.$ (thỏa mãn)

Vậy vận tốc của ô tô là 60 km/h, vận tốc của xe máy là 40 km/h.

d) Đúng.

Quãng đường ô tô đi được so với quãng đường xe máy đi được trong 2 giờ là: $\frac{{2 \cdot 60}}{{2 \cdot 40}} = \frac{3}{2} = 1{,}5$ (lần)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Theo đề, mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải là $15$ km nên $y - x = 15.$

Do đó, ý a) là đúng.

b) Sai.

Thời gian xe khách đã đi là: 1 giờ 40 phút + 40 phút = 2 giờ 20 phút = $\frac{7}{3}$ giờ.

Khi hai xe gặp nhau, xe khách đi được quãng đường là: $\frac{7}{3}y$ (km) và xe tải đi được quãng đường là $\frac{2}{3}x$ (km).

Theo bài, quãng đường Thành phố Hồ Chí Minh – Cần Thơ dài 170 km nên ta có phương trình: $\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}y = 170$.

Do đó, ý b) là sai.

c) Sai.

Từ đó, ta có hệ phương trình biểu diễn bài toán là: $\left\{ \begin{array}{l}y - x = 15\\\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}y = 170\end{array} \right.$.

Do đó, ý c) là sai.

d) Sai.

Thế $y = 15 + x$, thế vào phương trình $\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}y = 170$, ta được:

$\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}\left( {15 + x} \right) = 170$

$\frac{2}{3}x + 35 + \frac{7}{3}x = 170$

$3x = 135$

$x = 45$ (thỏa mãn).

Thay $x = 45$ vào phương trình (1), ta được: $y = 15 + 45 = 60$ (thỏa mãn).

Vậy vận tốc của xe tải là $45$km/h, vận tốc của xe khách là $60$ km/h.

Vậy ý d) là sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Sai. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai.

Vận tốc ca nô xuôi dòng là $x + y\,\,\,\left( {km/h} \right)$.

Do đó, thời gian ca nô xuôi dòng là $\frac{{78}}{{x + y}}\,\,\left( h \right)$.

b) Sai.

Vận tốc ca nô ngược dòng là $x - y\,\,\,\left( {km/h} \right)$.

Do đó, thời gian ca nô ngược dòng là: $\frac{{44}}{{x - y}}\,\,\left( h \right)$.

c) Sai.

Vì ca nô xuôi dòng 78 km và ngược dòng 44 km mất 5 giờ nên ta có phương trình:

$\frac{{78}}{{x + y}} + \frac{{44}}{{x - y}} = 5$ (1).

Nếu ca nô xuôi dòng 13 km và ngược dòng 11 km cùng với vận tốc dự định đó thì mất 1 giờ nên ta có phương trình $\frac{{13}}{{x + y}} + \frac{{11}}{{x - y}} = 1$ (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{78}}{{x + y}} + \frac{{44}}{{x - y}} = 5\\\frac{{13}}{{x + y}} + \frac{{11}}{{x - y}} = 1\end{array} \right.$.

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x + y}} = a\\\frac{1}{{x - y}} = b\end{array} \right.$ thì ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}78a + 44b = 5\\13a + 11b = 1\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}78a + 44b = 5\\52a + 44b = 4\end{array} \right.$

Từ theo vế hai phương trình được 26a = 1 nên a = $\frac{1}{{26}}$, suy ra b = $\frac{1}{{22}}$.

Do đó, $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 26\\x - y = 22\end{array} \right.$, suy ra $\left\{ \begin{array}{l}x = 24\\y = 2\end{array} \right.$.

d) Đúng.

Vậy vận tốc của ca nô là 24 km/h và vận tốc của dòng nước là 2 km/h.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Thời gian Nam đi học khi đạp xe với vận tốc hằng ngày là $\frac{{10}}{x}\,\,\left( {\rm{h}} \right)$.

b) Đúng.

Thời gian Nam đi học khi đạp xe với vận tốc hằng ngày là $\frac{{10}}{y}\,\,\left( {\rm{h}} \right)$.

c) Sai.

Vì nếu đạp xe với vận tốc lớn nhất thì thời gian đi học sẽ rút ngắn 10 phút $\left( { = \frac{1}{6}\,\,h} \right)$ so với đạp xe với vận tốc hằng ngày nên ta có phương trình $\frac{{10}}{x} - \frac{{10}}{y} = \frac{1}{6}$ (1).

Theo đề, tổng thời gian hôm nay Nam đi học là 35 phút $\left( { = \frac{7}{{12}}\,\,h} \right)$ nên ta có phương trình: $\frac{5}{x} + \frac{5}{y} = \frac{7}{{12}}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{10}}{x} - \frac{{10}}{y} = \frac{1}{6}\\\frac{5}{x} + \frac{5}{y} = \frac{7}{{12}}\end{array} \right.$.

Giải hệ, ta được $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{10}}{x} - \frac{{10}}{y} = \frac{1}{6}\\\frac{{10}}{x} + \frac{{10}}{y} = \frac{7}{6}\end{array} \right.$

Cộng hai phương trình theo vế được $\frac{{20}}{x} = \frac{8}{6}$ nên x = 15 (km/h)

Suy ra y = 20 (km/h).

d) Sai.

Vậy vận tốc hằng ngày của Nam là 15 km/h và vận tốc lớn nhất là 20 km/h.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 180

Gọi vận tốc ban đầu là $x\,\,\left( {x > 3,\,\,{\rm{km/h}}} \right)$, thời gian chạy dự định là $y\,\,\left( {y > 2} \right)$.

Do đó, độ dài quãng đường $AB$ là $xy\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)$.

Nếu ô tô tăng vận tốc 3 km/h thì rút ngắn 2 giờ so với dự định nên ta có phương trình:

$\left( {x + 3} \right)\left( {y - 2} \right) = xy\,\,\left( 1 \right)$

Nếu ô tô giảm vận tốc đi 3 km/h thì thời gian đi tăng thêm 3 giờ so với dự định nên ta có phương trình: $\left( {x - 3} \right)\left( {y + 3} \right) = xy\,\,\left( 2 \right)$.

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 3} \right)\left( {y - 2} \right) = xy\,\,\\\left( {x - 3} \right)\left( {y + 3} \right) = xy\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}3y - 2x = 6\\3x - 3y = 9\end{array} \right.$.

Giải phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3y - 2x = 6\\3x - 3y = 9\end{array} \right.$, ta có:

Cộng theo vế hai phương trình của hệ, ta được $x = 15$ (thỏa mãn).

Với $x = 15$ thì $y = 12$ (thỏa mãn).

Vậy độ dài quãng đường AB là: $12 \cdot 15 = 180\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 3,5

Gọi x, y (h) lần lượt là thời gian ô tô đi trên quãng đường AB và BC (x, y > 0, giờ).

Quãng đường AB có độ dài 50 (km).

Quãng đường BC có độ dài 45y (km).

Theo đề, tổng quãng đường AB và BC dài 165 km nên ta có 50x + 45y = 165.

Thời gian ô tô đi trên quãng đường AB ít hơn thời gian ô tô đi trên quãng đường BC là 30 phút (= 0,5 giờ) nên x + 0,5 = y (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}50x + 45y = 165\\x + 0{,}5 = y\end{array} \right.$.

Thay y = x + 0,5 vào phương trình (1) được 95x + 22,5 = 165.

Suy ra x = 1,5.

Thay x = 1,5 (thỏa mãn) vào phương trình (2) được y = 2 (thỏa mãn)

Do đó, thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là 1,5 giờ và thời gian để ô tô đi hết quãng đường BC là 2 giờ.

Vậy tổng thời gian ô tô đi trên quãng đường BC và AB là 1,5 + 2 = 3,5 (giờ).

Hướng dẫn giải

Đáp án: 10

Sơ đồ bài toán như sau:

Từ sơ đồ, trên đoạn CB dài 30 km, nếu giữ nguyên vận tốc x (km/h) thì sẽ đến B muộn 30 phút so với dự định và nếu tăng vận tốc thêm 5 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 30 phút so với dự định. (với x gọi là vận tốc ban đầu của người đi xe đạp, x > 0).

Gọi y là thời điểm người đi xe đạp đến B theo dự định.

Theo đề, khi giữ nguyên vận tốc x (km/h) thì thời gian đi đoạn CB là: $\frac{{30}}{x}\,\,\left( h \right)$

Do đến B muộn 30 phút (= 0,5 giờ) nên ta có phương trình $\frac{{30}}{x}\, = y + 0{,}5$ (1).

Khi tăng vận tốc thêm 5 km/h thì thời gian đi từ đoạn CB là $\frac{{30}}{{x + 5}}\,\,\left( h \right)$.

Do đến B sớm 30 phút nên ta có phương trình $\frac{{30}}{{x + 5}}\, = y - 0{,}5$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{30}}{x}\, = y + 0{,}5\\\frac{{30}}{{x + 5}}\, = y - 0{,}5\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{30}}{x}\, - 0{,}5 = y\\\frac{{30}}{{x + 5}}\, + 0{,}5 = y\end{array} \right.$

Suy ra $\frac{{30}}{x} - 0{,}5 = \frac{{30}}{{x + 5}} + 0{,}5$ hay $\frac{{30}}{x} - \frac{{30}}{{x + 5}} = 1$, được ${x^2} + 5x - 150 = 0$.

Suy ra x = 10 (tm) hoặc x = −15 (loại).

Vậy vận tốc ban đầu của người đi xe đáp đó là 10 km/h.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 60

Gọi x (km/h) là vận tốc ban đầu của ô tô (x > 0) và y (giờ) là thời gian đi đoạn đường AB theo dự định (y > 0).

Độ dài quãng đường AB là xy (km).

Khi vận tốc tăng thêm 30 km/h thì đến B sớm hơn 1 giờ nên ta có phương trình:

(x + 30)(y – 1) = xy (1)

Khi vận tốc giảm 15 km/h thì đến B muộn hơn 1 giờ nên ta có phương trình:

(x – 15)(y + 1) = xy (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 30} \right)\left( {y - 1} \right) = xy\\\left( {x - 15} \right)\left( {y + 1} \right) = xy\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l} - x + 30y = 30\\x - 15y = 15\end{array} \right.$

Cộng theo vế được 15y = 45 hay y = 3 (thỏa mãn).

Với y = 3 suy ra x = 60 (thỏa mãn).

Vậy vận tốc ban đầu của ô tô là 60 km/h.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 2

Gọi x (km/h) là vận tốc thực của ca nô và y (km/h) là vận tốc riêng của dòng nước (x > y > 0)

Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là x + y (km/h)

Vận tốc của ca nô khi ngược dòng là x – y (km/h).

Khi ca nô xuôi dòng một quãng sông dài 12 km rồi ngược dòng thì mất 2 giờ 30 phút (= 2,5 giờ) nên ta có phương trình $\frac{{12}}{{x + y}} + \frac{{12}}{{x - y}} = \frac{5}{2}\,\,\left( 1 \right)$

Khi ca nô xuôi dòng 4 km rồi ngược dòng 8 km thì hết 1 giờ 20 phút $\left( { = \frac{4}{3}\,\,h} \right)$ nên ta có phương trình: $\frac{4}{{x + y}} + \frac{8}{{x - y}} = \frac{4}{3}\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{12}}{{x + y}} + \frac{{12}}{{x - y}} = \frac{5}{2}\,\,\left( 1 \right)\\\frac{4}{{x + y}} + \frac{8}{{x - y}} = \frac{4}{3}\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x + y}} = a\,\\\frac{1}{{x - y}} = b\end{array} \right.$, do đó ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}12a + 12b = \frac{5}{2}\,\,\\4a + 8b = \frac{4}{3}\,\,\end{array} \right.$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{{12}}\,\,\\b = \frac{1}{8}\,\,\end{array} \right.$.

Do đó, $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 12\,\,\\x - y = 8\,\,\end{array} \right.$, giải ra được $\left\{ \begin{array}{l}x = 10\,\,\\y = 2\,\,\end{array} \right.$(t/m)

Vậy vận tốc của ca nô là 12 km/h và vận tốc riêng của dòng nước là 2 km/h.